高三文科椭圆题型全解.doc

高三文科数学椭圆练习2014.1.24
1．“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的____________条件．

2．已知椭圆＋＝1，长轴在y轴上．若焦距为4，则m等于___________.

3．若椭圆＋＝1（m＞n＞0）上的点到右准线的距离是到右焦点距离的3倍，则＝________.

4．过椭圆＋＝1（a＞b＞0）的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠PF2F1＝30°，则椭圆的离心率为________________.

5．从一块短轴长为2b的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是[3b2,4b2]，则这一椭圆离心率e的取值范围是________________.

6．已知椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，右准线为l，点A∈l，线段AF交C于点B.若＝3，则||＝_____________.

7．过椭圆＋＝1内的一点P（2，－1）的弦，恰好被P点平分，则这条弦所在的直线方程___________.

8．椭圆＋＝1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上．若|PF1|＝4，则|PF2|＝__________；
∠F1PF2的大小为__________．

9．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为____________．

10．已知A、B为椭圆C：＋＝1的长轴的两个端点，P是椭圆C上的动点，且∠APB的最大值是，则实数m的值是__________．

11．已知A、B两点分别是椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左顶点和上顶点，而F是椭圆C的右焦点，若·＝0，则椭圆C的离心率e＝________.

12．直线l：x－2y＋2＝0过椭圆左焦点F1和一个顶点B，则该椭圆的离心率为___________.

13．已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1、F2，M是椭圆上一点，N是MF1的中点，若|ON|＝1，则MF1的长等于______________.

14．过椭圆＋＝1（a＞b＞0）的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率__________.

15．知椭圆＋＝1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若＝2，则椭圆的离心率是_________.

16．椭圆5x2－ky2＝5的一个焦点是（0，2），那么k＝________.

17．F1、F2是椭圆＋＝1的左、右两焦点，P为椭圆的一个顶点，若△PF1F2是等边三角形，则a2＝________.

18．已知F1、F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点．若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________.

19．已知（－2，0），B（2，0），过点A作直线l交以A、B为焦点的椭圆于M、N两点，线段MN的中点到y轴的距离为，且直线l与圆x2＋y2＝1相切，求该椭圆的方程．

20．设A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆＋＝1（a＞b＞0）上的两点，m＝（，），n＝（，），且满足m·n＝0，椭圆的离心率e＝，短轴长为2，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若存在斜率为k的直线AB过椭圆的焦点F（0，c）（c为半焦距），求直线AB的斜率k的值．

21．在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限、半径为的圆与直线相切于坐标原点．椭圆与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为．
（Ⅰ）求圆的方程；
（Ⅱ）试探究圆上是否存在异于原点的点，使到椭圆右焦点的距离等于线段的长．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

高三文科数学椭圆练习答案与解析2011.11.27
1．解析：把椭圆方程化为＋＝1.若m>n>0，则>>0.所以椭圆的焦点在y轴上．反之，若椭圆的焦点在y轴上，则>>0即有m>n>0.故为充要条件。
2．解析：因为椭圆＋＝1的长轴在y轴上，所以⇔6<m<10，又焦距为4，所以m－2－10＋m＝4⇔m＝8.
3．解析：由题意得该椭圆的离心率e＝＝，因此1－＝，＝，＝。
4．解析：∵|PF1|＋|PF2|＝2a，又∠F1PF2＝60°，∴|PF1|＝|PF2|，∴|PF2|＝2a⇒|PF2|＝a，|PF1|＝a，在Rt△PF1F2中，|PF1|2＋|F1F2|2＝|PF2|2，∴2＋(2c)2＝2⇒e＝＝.
5．解析：设椭圆的长轴长为2a，则矩形的最大面积为2ab，∴3b2≤2ab≤4b2，即≤≤2，又∵b＝，∴∈[，]，即∈[，]，解得：e∈[，]．
6．解析：如图，BM垂直于右准线于M，右准线与x轴交于N，易求得椭圆的离心率为e＝，由椭圆的第二定义得BM＝，在Rt△AMB中，＝＝＝，它为等腰直角三角形，则△ANF也为等腰直角三角形，FN＝＝1，则||＝.
7．解析：设过点P的弦与椭圆交于A1(x1，y1)，A2(x2，y2)两点，则，且x1＋x2＝4，y1＋y2＝－2，∴(x1－x2)－(y1－y2)＝0，∴kA1A2＝＝.∴弦所在直线方程为y＋1＝(x－2)，即5x－3y－13＝0.
8．解析：依题知a＝3，b＝，c＝.由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝6，∵|PF1|＝4，∴|PF2|＝2.又|F1F2|＝2.在△F1PF2中由余弦定理可得cos∠F1PF2＝－，∴∠F1PF2＝120°答案：2　120°
9．解析：由题意得2a＝12，＝，所以a＝6，c＝3，b＝3.故椭圆方程为＋＝1.
10．解析：由椭圆知，当点P位于短轴的端点时∠APB取得最大值，根据题意则有tan＝⇒m＝.
11．解析：A(－a,0)，B(0，b)，F(c,0)，∴＝(a，b)，＝(c，－b)∴ac＝b2，即ac＝a2－c2，∴e＝1－e2，解得e＝.答案：
12．解析：选D.在l：x－2y＋2＝0上，令y＝0得F1(－2,0)，令x＝0得B(0,1)，即c＝2，b＝1.∴a＝，e＝＝.
13．解析：由椭圆方程知a＝4，∴|MF1|＋|MF2|＝8，∴|MF1|＝8－|MF2|＝8－2|ON|＝8－2＝6.
14．解析：由题意知点P的坐标为(－c，)或(－c，－)，∵∠F1PF2＝60°，∴＝，即2ac＝b2＝(a2－c2)．∴e2＋2e－＝0，∴e＝或e＝－(舍去)．
15．解析：如图，由于BF⊥x轴，故xB＝－c，yB＝，设P(0，t)，∵＝2，∴(－a，t)＝2(－c，－t)．∴a＝2c，∴e＝＝.
16．解析：方程可化为x2＋＝1.∵焦点(0,2)在y轴上，∴a2＝－，b2＝1，又∵c2＝a2－b2＝4，∴a2＝5，解得k＝－1.
17．解析：由题意，因为△PF1F2是等边三角形，故2c＝a，又b＝3，所以a2＝12. 答案：12
18．解析：由椭圆的定义得两式相加得|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝20，即|AB|＋12＝20，∴|AB|＝8.
19．解：易知直线l与x轴不垂直，设直线l的方程为y＝k(x＋2)．①
又设椭圆方程为＋＝1(a2>4)． ②
因为直线l与圆x2＋y2＝1相切，故＝1，解得k2＝.将①代入②整理得，
(a2k2＋a2－4)x2＋4a2k2x＋4a2k2－a4＋4a2＝0，而k2＝，即(a2－3)x2＋a2x－a4＋4a2＝0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－，
由题意有＝2×(a2>3)，求得a2＝8.经检验，此时Δ>0.故所求的椭圆方程为＋＝1.
20．解：(1)2b＝2，b＝1，e＝＝＝⇒a＝2，c＝.故椭圆的方程为＋x2＝1.
(2)设AB的方程为y＝kx＋，由⇒(k2＋4)x2＋2kx－1＝0.x1＋x2＝，x1x2＝，由已知0＝m·n＝＋＝x1x2＋(kx1＋)(kx2＋)＝(1＋)x1x2＋(x1＋x2)＋
＝·(－)＋·＋，解得k＝±.
21．答案：(1)设圆心坐标为(m，n)（m<0，n>0）,则该圆的方程为(x-m)2+(y-n)2=8已知该圆与直线y=x相切，那么圆心到该直线的距离等于圆的半径，则=2
即=4 ①
又圆与直线切于原点，将点(0，0)代入得 m2+n2=8 ②
联立方程①和②组成方程组解得
故圆的方程为(x+2)2+(y-2)2=8
(2)=5，∴a2=25，则椭圆的方程为+=1
其焦距c==4，右焦点为(4，0)，那么=4。
要探求是否存在异于原点的点Q，使得该点到右焦点F的距离等于的长度4，我们可以转化为探求以右焦点F为顶点，半径为4的圆(x─4)2+y2=16与(1)所求的圆的交点数。
通过联立两圆的方程解得x=，y=
即存在异于原点的点Q(，)，使得该点到右焦点F的距离等于的长。