高三数形结合.doc

高三数学 数形结合专题

要点一　利用数形结合思想研究函数的零点、方程的根、图象的交点问题
1．已知函数f(x)＝其中m>0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________．

2．若方程x＋k＝有且只有一个解，则k的取值范围是(　　)
A．[－1,1) B．k＝± C．[－1,1] D．k＝或k∈[－1,1)

3．记实数x1，x2，…，xn中最小数为min{x1，x2，…，xn}，则定义在区间[0，＋∞)上的函数f(x)＝min{x2＋1，x＋3,13－x}的最大值为(　　)
A．5 B．6 C．8 D．10

4.设函数，若无最大值，则实数的取值范围是________.

5．若偶函数y＝f(x)，x∈R，满足f(x＋2)＝－f(x)，且x∈[0，2]时，
f(x)＝2－x2，则方程f(x)＝sin|x|在[－10，10]内的根的个数为________．

6.已知f(x)＝若函数g(x)＝|f(x)|－3x＋n有三个零点，求实数n的取值范围．

7．已知函数f(x)＝t∈R.若函数g(x)＝f(f(x)－1)恰有4个不同的零点，则t的取值范围为________．

8. 已知函数,则方程恰有两个不同实数根时,实数的取值范围是（ ）（注：为自然对数的底数）
A． B． C． D．

9. 函数若关于的方程有五个不同的实数解,则的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.

要点二　利用数形结合思想解决最值问题
1．若x，y满足约束条件则z＝x2＋2x＋y2的最小值为(　　)
A． B． C．－ D．－

2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4≥10，S5≤15，则a4的最大值为________．

3、求y= 的 最大值,其中x∈（0,π）。

4.在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若=+，则+的最大值为（）
A．3 B．2 C． D．2

5．已知直线l：x－y＝1与圆M：x2＋y2－2x＋2y－1＝0相交于A，C两点，点B，D分别在圆M上运动，且位于直线AC两侧，求四边形ABCD面积的最大值．

6．设A，B在圆x2＋y2＝1上运动，且|AB|＝，点P在直线l：3x＋4y－12＝0上运动，则|＋|的最小值为(　　)
A．3 B．4 C． D．

7．已知抛物线的方程为x2＝8y，F是其焦点，点A(－2,4)，在此抛物线上求一点P，使△APF的周长最小，此时点P的坐标为________．

8.如图，已知抛物线，点A，，抛物线上的点．过点B作直线AP的垂线Q．
求的最大值．

要点三　利用数形结合思想解决不等式、参数问题
1．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋2x，若f(2－a2)>f(a)，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－1,2)
C．(－2,1) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)

2.设,,若对任意恒成立,求实数a的取值范围.

高三数学 数形结合专题
要点一　利用数形结合思想研究函数的零点、方程的根、图象的交点问题
1．已知函数f(x)＝其中m>0.若存在实数b，使得关于x的方程

f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________．
[解析]　作出f(x)的图象如图所示．当x>m时，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2，∴要使方程f(x)＝b有三个不同的根，则有4m－m2<m，即m2－3m>0.又m>0，解得m>3.[答案]　(3，＋∞)
2．(2018·宝鸡质检)若方程x＋k＝有且只有一个解，则k的取值范围是(　　)
A．[－1,1) B．k＝± C．[－1,1] D．k＝或k∈[－1,1)
[解析]　

令y1＝x＋k，y2＝，
则x2＋y2＝1(y≥0)．
作出图象如图：
而y1＝x＋k中，k是直线的纵截距，由图知：方程有一个解⇔直线与上述半圆只有一个公共点⇔k＝或－1≤k<1，故选D．
[答案]　D
3．记实数x1，x2，…，xn中最小数为min{x1，x2，…，xn}，则定义在区间[0，＋∞)上的函数f(x)＝min{x2＋1，x＋3,13－x}的最大值为(　　)
A．5 B．6 C．8 D．10
[解析]　

在同一坐标系中作出三个函数y＝x2＋1，y＝x＋3，y＝13－x的图象如图：由图可知，在实数集R上，min{x2＋1，x＋3,13－x}为y＝x＋3上A点下方的射线，抛物线AB之间的部分，线段BC，与直线y＝13－x点C下方的部分的组合图．显然，在区间[0，＋∞)上，在C点时，y＝min{x2＋1，x＋3,13－x}取得最大值．
解方程组得点C(5,8)．所以f(x)max＝8.[答案]　C
4.设函数，若无最大值，则实数的取值范围是________.
【解析】：如图作出函数与直线的图象，它们的交点是，，，由，知是函数的极大值点，
①当时，，因此的最大值是；
②由图象知当时，有最大值是；只有当时，由，因此无最大值，∴所求的范围是，故填：．

5．若偶函数y＝f(x)，x∈R，满足f(x＋2)＝－f(x)，且x∈[0，2]时，f(x)＝2－x2，则方程f(x)＝sin|x|在[－10，10]内的根的个数为________．
答案：10.

解析：偶函数
f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，故函数f(x)的周期为4.当x∈[0，2]时，f(x)＝2－x2，故当x∈[－2，0]时，f(x)＝2－x2.则方程f(x)＝sin|x|的根的个数等于函数y＝f(x)的图象与函数y＝sin|x|的图象的交点个数．在同一个坐标系中画出函数y＝f(x)与函数y＝sin|x|在[0，10]上的图象，可知有5个交点，故函数y＝f(x)的图象与函数y＝sin|x|的图象在[－10，10]上有10个交点．
6.已知f(x)＝若函数g(x)＝|f(x)|－3x＋n有三个零点，求实数n的取值范围．
解析：令g(x)＝0，即|f(x)|＝3x－n，设函数y＝|f(x)|，y＝3x－n，分别作出两个函数的图象，问题转化为所作的两个函数有三个不同的交点，求n的取值范围问题．

当x≥0时，直线y＝3x－n过原点，即n＝0时，两曲线恰有三个交点，当直线y＝3x－n(n＜0)与y＝4x－x2相切时，两条曲线有2个交点，即方程x2－x－n＝0的判别式Δ＝1＋4n＝0，即n＝－，所以当－＜n≤0时，g(x)＝0有三个零点．当x＜0时，直线y＝3x－n(n＜0)与y＝－相切时，两曲线有2个交点，当直线y＝3x－n与y＝－相交时，两曲线有3个交点，即方程3x2－nx＋3＝0的判别式Δ＝n2－36＞0，解得n＜－6，当n＜－6时，g(x)＝0有三个零点．综上所述，当n∈(－∞，－6)∪时，g(x)＝0有三个零点．
7．已知函数f(x)＝t∈R.若函数g(x)＝f(f(x)－1)恰有4个不同的零点，则t的取值范围为________．
解析：当x＜0时，f′(x)＝－3x2＋6x＝－3x(x－2)＜0，所以f(x)在x＜0时单调递减，

如图，作出函数f(x)＝
的图象，
设f(x)－1＝m，则f(x)＝1＋m①，f(m)＝0②.
若t≥0，则函数g(x)＝f(f(x)－1)恰有1个或2个不同的零点，不合题意，所以t＜0.由②得，m＝0或m＝m1＜0，
当m＝0时，由①得，f(x)＝1，此时f(x)＝1有2个不同的根；
当m＝m1＜0时，由①得，f(x)＝1＋m1，此时f(x)＝1＋m1也必须有2个不同的根，所以1＋m1≥0，所以－1≤m1＜0，又－m13＋3m12＋t＝0，所以t＝m13－3m12，且t＝m13－3m12在－1≤m1＜0时单调增，所以t的取值范围为[－4，0)．
8. 已知函数,则方程恰有两个不同实数根时,实数的取值范围是（ ）（注：为自然对数的底数）
A． B． C． D．
【答案】C

9. 函数若关于的方程有五个不同的实数解,则的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵,∴,∴或,
∴由图像可知：的取值范围是.

要点二　利用数形结合思想解决最值问题
1．若x，y满足约束条件则z＝x2＋2x＋y2的最小值为(　　)
A． B．
C．－ D．－

[解析]　画出约束条件对应的平面区域，如图中阴影部分所示，z＝x2＋2x＋y2＝(x＋1)2＋y2－1，其几何意义是平面区域内的点(x，y)到定点(－1,0)的距离的平方再减去1，观察图形可得，平面区域内的点到定点(－1,0)的距离的最小值为，故z＝x2＋2x＋y2的最小值为zmin＝－1＝－，选D．
2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4≥10，S5≤15，则a4的最大值为________．
[解析]　由题意可得

即又a4＝a1＋3d，故此题可转化为线性规划问题．画出可行域如图阴影部分所示．
作出直线a1＋3d＝0，经平移可知当直线a4＝a1＋3d过可行域内点A(1,1)时，纵截距最大，此时a4取最大值4.
[答案]　4
3、求y= 的 最大值,其中x∈（0,π）。
分析：由k= 可知 表示两点（sinx,cosx）和（0，2）的斜率，数形结可知y =-.
4.在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若=+，则+的最大值为（）
A．3 B．2 C． D．2
【解析】如图所示，建立平面直角坐标系，根据等面积公式可得圆的半径即圆的方程是，若满足即设即点在圆上，所以圆心到直线的距离即解得所以的最大值为3.
5．已知直线l：x－y＝1与圆M：x2＋y2－2x＋2y－1＝0相交于A，C两点，点B，D分别在圆M上运动，且位于直线AC两侧，求四边形ABCD面积的最大值．
[解]　

把圆M：x2＋y2－2x＋2y－1＝0化为标准方程：(x－1)2＋(y＋1)2＝3，圆心(1，－1)，半径r＝.直线l与圆M相交，圆心到直线l的距离d＝＝，
所以弦长|AC|＝2× ＝.
又B，D两点在圆上，且位于直线l的两侧，四边形ABCD的面积可以看成是两个三角形△ABC和△ACD的面积之和，如图所示，当B，D为如图所示位置，即BD为弦AC的垂直平分线时(即为直径时)，两三角形的面积之和最大，即四边形ABCD的面积最大，
最大面积为S＝|AC|×|BE|＋|AC|×|DE|
＝|AC|×|BD|＝××2＝.
6．设A，B在圆x2＋y2＝1上运动，且|AB|＝，点P在直线l：3x＋4y－12＝0上运动，则|＋|的最小值为(　　)
A．3 B．4 C． D．

[解析]　设AB的中点为D，则＋＝2.
∴当且仅当O，D，P三点共线时，|＋|取得最小值，
此时OP⊥AB，且OP⊥l.
∵圆心到直线的距离为＝，|OD|＝ ＝，
∴|＋|的最小值为2＝.[答案]　D
7．已知抛物线的方程为x2＝8y，F是其焦点，点A(－2,4)，在此抛物线上求一点P，使△APF的周长最小，此时点P的坐标为________．
[解析]　因为(－2)2<8×4，所以点A(－2,4)在抛物线x2＝8y的内部，

如图，设抛物线的准线为l，
过点P作PQ⊥l于点Q，过点A作AB⊥l于点B，连接AQ，由抛物线的定义可知△APF的周长为|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PQ|＋|PA|＋|AF|≥|AQ|＋|AF|≥|AB|＋|AF|，当且仅当P，B，A三点共线时，△APF的周长取得最小值，即|AB|＋|AF|.因为A(－2,4)，所以不妨设△APF的周长最小时，点P的坐标为(－2，y0)，
代入x2＝8y，得y0＝，故使△APF的周长最小的抛物线上的点P的坐标为
，故填.
8.如图，已知抛物线，点A，，抛物线上的点．过点B作直线AP的垂线Q．
求的最大值．
【解析】：联立直线AP与BQ的方程

解得点Q的横坐标是，因为|PA|==
|PQ|= ，所以|PA||PQ|=
令，因为，所以 f(k)在区间上单调递增，上单调递减，因此当k=时，取得最大值．
要点三　利用数形结合思想解决不等式、参数问题
1．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋2x，若f(2－a2)>f(a)，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－1,2)
C．(－2,1) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)

[解析]　因为f(x)是奇函数，所以当x<0时，f(x)＝－x2＋2x.作出函数f(x)的大致图象(如图中实线所示)，结合图象可知f(x)是R上的增函数，由f(2－a2)>f(a)，得2－a2>a，解得－2<a<1.故选C．
2.设,,若对任意恒成立,求实数a的取值范围.
【解析】当时显然成立,当时不等式可转化为 作的图像,使其图像在图像上方,可得,解得