2.2直接证明与间接证明(三种方法)(人教A选修12).ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.2,直接证明与间接证明,2.2.1,综合法和分析法,复习,合情推理的结论,不一定正确,有待证明,;,演绎推理得到的结论,一定正确,.,已知,a0,b0,求证,a(b,2,+c,2,)+b(c,2,+a,2,)4abc,因为,b,2,+c,2,2bc,a0,所以,a(b,2,+c,2,)2abc.,又因为,c,2,+a,2,2ac,b0,所以,b(c,2,+a,2,)2abc.,因此,a(b,2,+c,2,)+b(c,2,+a,2,)4abc.,证明,:,探究任务一：综合法的应用,综合法,利用已知条件和某些数学定义、定理、,公理等，经过一系列的推理论证，最后推导,出所要证明的结论或所要解决的问题的结果。,条件,结论,数学推理,条件,定理,公理,定义,P Q,1,Q,1,Q,2,Q,2,Q,3,Q,n,Q,变式,1,：,变式,2,：,变式,3,：,典型例题：,1,、在,ABC,中，三个内角,A,B,C,对应的边分别是,a,b,c,，且,A,B,C,成等差数列，,a,b,c,成等比数列。求证：,ABC,是等边三角形。,【,分析,】,条件是什么？,A,B,C,成等差数列,2B=A+C,a,b,c,成等比数列,b,2,=a c,典型例题：,1,、在中，三个内角、对应的边分别为,a,、,b,、,c,，且、成等差数列，,a,、,b,、,c,成等比数列，求证为等边三角形,证明：由,A,B,C,成等差数列，有,2B=A+C,，,-,因为,A+B+C=180,o,，,-,所以,B=60,o,。,-,由,a,b,c,成等比数列，有,b,2,=ac,-,则,b,2,=a,2,+c,2,-2ac,cosB=a,2,+c,2,-ac,再有,得,a,2,+c,2,-ac,=ac,，即,(a-c),2,=0,因此,a=c,。从而有,A=C-,则由,得,A=B=C=60,o,。,所以三角形,ABC,是等边三角形。,回顾基本不等式：,(a0,b0),的证明,.,证明,:,因为,;,所以,所以,所以 成立,证明,:,要证,;,只需证,;,只需证,;,只需证,;,因为,;,成立,所以 成立,一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做,分析法,特点：,执果索因,.,用框图表示分析法的思考过程、特点,.,得到一个明显成立的结论,分析法又叫执果索因法或叫逆推证法,例,1:,求证,证明：,为了证,只需证,展开得,即,只需证,1512,，因为,1512,成立，,所以不等式 成立。,例,2,:,如图,SA,平面,ABC,ABBC,过,A,作,SB,的垂线,垂足为,E,过,E,作,SC,的垂线,垂足为,F,求证,AFSC,F,E,S,C,B,A,证明,:,要证,AF,SC,只需证,:SC,平面,AEF,只需证,:SC,AE,只需证,:AE,平面,SBC,只需证,:AE,BC,只需证,:BC,平面,SAB,只需证,:BC,SA,只需证,:SA,平面,ABC,因为,:SA,平面,ABC,成立,所以,.AF,SC,成立,(,因为,SCEF),(,因为,AESB),(,因为,SCAB),证明：要证,a,3,+b,3,a,2,b+ab,2,成立，,只需证,a,3,+b,3,-a,2,b-ab,2,0,成立，,即证,a,2,(a-b)+b,2,(b-a)0,成立。,只需,(a,2,-b,2,)(a-b)0,证成立，,也就是要证,(a+b)(a-b),2,0,成立。,即证,(a-b),2,0,成立（,a+b,0,）,而由已知条件可知，,ab,，有,a-b0,，,所以,(a-b),2,0,显然成立，由此命题得证。,设,a,、,b,是两个正实数，且,ab,，求证：,a,3,+b,3,a,2,b+ab,2,一般地，利用已知条件和某些已经学过的定义、定理、公理等，经过一系列的推理、论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做,综合法,。,特点,:“,由因导果,”,小结,综合法又叫由因导果法或顺推证法,.,1.,综合法的定义,:,一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做,分析法,2.,分析法的定义,:,分析法又叫执果索因法或叫逆推证法,特点,:“,执果索因,”,2.2,直接证明与间接证明,2.2.2,反 证 法,复习,1.,直接证明的两种基本证法：,综合法和分析法,2.,这两种基本证法的推证过程和特点：,由因导果,执果索因,3,、在实际解题时，两种方法如何运用？,通常用分析法,寻求思路,，再由综合法,书写过程,综合法,已知条件,结论,分析法,结论,已知条件,思考？,将,9,个球分别染成红色或白色,.,那么无论怎样染,至少有,5,个球是同色的,你能证明这个结论吗,?,分析,:,假设有某种染法使红色球和白色球的个数都不超过,4,则球的总数应不超过,4+4=8,这与球的总数是,9,矛盾,.,因此,无论怎样染,至少有,5,个球是同色的,.,把这种不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法称为,间接证明,注：反证法,是最常见的,间接证法,，,一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），,经过正确的推理，,最后得出矛盾。,因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，,这样的证明方法叫做,反证法,（归谬法）。,理论,试一试：,反证法的证明过程：,否定结论,推出矛盾,肯定结论，,即分三个步骤：,反设,归谬,存真,反设,假设命题的结论不成立；,存真,由矛盾结果，断定反设不成立，从而,肯定原结论成立。,归谬,从假设出发，经过一系列正确的推理，,得出,矛盾,；,用,反证法证明命题的过程用框图表示为：,肯定条件,否定结论,导 致,逻辑矛盾,反设,不成立,结论,成立,反证法的思维方法：,正难则反,例,1,已知,a0,，证明,x,的方程,ax=b,有且只有一个根。,证：由于,a 0,，因此方程至少有一个根,x=b/a,，,注,:,结论中的有且只有,(,有且仅有,),形式出现,是,唯一性问题,常用反证法,如果方程不只一个根，不妨设,x,1,x,2,（,x,1,x,2,),是方程的两个根,.,归纳总结：,三个步骤：,反设,归谬,存真,归缪矛盾：,（,1,）与已知条件,矛盾,；,（,2,）与已有公理、定理、定义,矛盾；,（,3,）自相矛盾。,一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），,经过正确的推理，,最后得出矛盾。,因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，,这样的证明方法叫做,反证法,。,（,1,）直接证明有困难,正难则反,!,归纳总结：,哪些命题适宜用反证法加以证明？,牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”,（,3,）唯一性命题,（,2,）否定性命题,（,4,）至多，至少型命题,推理与证明,推理,证明,合情推理,演绎推理,直接证明,间接证明,类比推理,归纳推理,分析法,综合法,反证法,知识结构,