北师大版高中数学(选修21)《空间向量数量积运算》.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1,空间向量的数量积运算,北师大版高中数学选修,2-1,第二章,空间向量与立体几何,法门高中姚连省制作,2,一、共线向量,:,零向量与任意向量共线,.,1.,共线向量,:,如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量,(,或平行向量,),记作,2.,共线向量定理,:,对空间任意两个向量 的充要条件是存在实数,使,3,推论,:,如果 为经过已知点,A,且平行已知非零向量 的直线,那么对任一点,O,点,P,在直线 上的充要条件是存在实数,t,满足等式,OP=OA+t,其中向量,a,叫做直线的方向向量,.,O,A,B,P,a,若,P,为,A,B,中点,则,4,2.,共面向量定理,:,如果两个向量,不共线,则向量 与向量 共面的充要,条件是存在实数对 使,5,推论,:,空间一点,P,位于平面,MAB,内的充要条件是存在有序实数对,x,y,使,或对空间任一点,O,有,注意：,空间四点,P,、,M,、,A,、,B,共面,实数对,6,平面向量数量积的相关知识,复习：,平面向量的夹角：,A,O,B,A,B,叫做向量,a,与,b,的夹角。,已知两个非零向量,a,和,b,，,在平面上取一点,O,，,作,OA,=a,OB,=b,则,7,平面向量的数量积的定义：,平面向量的数量积,已知两个非零向量,a,b,，则,|a|b|cos,叫做向量,a,b,的数量积，记作,即,并规定,0,8,教学过程,一、几个概念,1,）两个向量的夹角的定义,O,A,B,9,2,）两个向量的数量积,注意：,两个向量的数量积是数量，而不是向量,.,零向量与任意向量的数量积等于零。,10,3,）射影,B,A,A,1,B,1,注意：是轴,l,上的正射影,A,1,B,1,是一个可正可负的实数，它的符号代表向量与,l,的方向的相对关系，大小代表在,l,上射影的长度。,11,4),空间向量的数量积性质,注意：,性质,2,）是证明两向量垂直的依据；,性质,3,）是求向量的长度（模）的依据；,对于非零向量，有：,12,5),空间向量的数量积满足的运算律,注意：,数量积不满足结合律,13,二、课堂练习,14,三、典型例题,例,1,：已知,m,n,是平面,内的两条相交直线，直线,l,与,的交点为,B,，且,lm,，,ln,，求证：,l,分析：由定义可知，只需证,l,与平面内任意直线,g,垂直。,n,m,g,g,m,n,l,l,要证,l,与,g,垂直，只需证,l,g,0,而,m,，,n,不平行，由共面向量定理知，存在唯一的有序实数对,(x,y),使得,g=xm+yn,要证,l,g,0,只需,l,g=xl,m+yl,n=0,而,l,m,0,，,l,n,0,故,l,g,0,15,三,、,典型例题,例,1,：已知,m,n,是平面,内的两条相交直线，直线,l,与,的交点为,B,，且,lm,，,ln,，求证：,l,n,m,g,g,m,n,l,l,证明：在,内作不与,m,、,n,重合的任一条直线,g,在,l,、,m,、,n,、,g,上取非零向量,l,、,m,、,n,、,g,，因,m,与,n,相交，得向量,m,、,n,不平行，由共面向量定理可知，存在唯一的有序实数对（,x,，,y,），使,g=xm+yn,lg=xlm+yln,lm=0,ln=0 lg=0,lg,这就证明了直线,l,垂直于平面,内的任一条直线，所以,l,16,例,2,：已知：在空间四边形,OABC,中,OABC,，,OBAC,，求证：,OCAB,A,B,C,O,17,巩固练习：,利用向量知识证明三垂线定理,a,A,O,P,18,例,3,如图，已知线段在平面 内，线段,，线段，线段，如,果，求、之间的距离。,解：由，可知,.,由 知,.,19,例,4,已知在平行六面体中，,求对角线的长。,解：,20,1.,已知线段、在平面 内，线段,，如果，求、之间的距离,.,解：,21,2.,已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于,，点分别是边的中点。,求证：。,证明：因为,所以,同理，,22,3.,已知空间四边形,，求证：。,证明：,23,4.,如图，已知正方体，和 相交于,点，连结，求证：。,24,已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于,点分别是的中点，求下列向量的,数量积：,作业讲评,25,A,D,F,C,B,E,