平行四边形全章知识点教学内容.doc

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平行四边形全章知识点总结
定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形
平行四边形的性质：
（1）：平行四边形对边相等 (即：AB=CD,AD=BC)；
（2）：平行四边形对边平行 (即：AB//CD,AD//BC)；
（3）：平行四边形对角相等 (即：∠A=∠C,∠B=∠D)；
（4）：平行四边形对角线互相平分 (即：OA=OC，OB=OD)；
平行四边形的判定方法：
1. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义判定法）；
2. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
3. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
4. 对角线互相平分的四边形是平行四边形；
5. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
考点1 特殊的平行四边形的性质与判定
1．矩形的定义、性质与判定
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
（2）矩形的性质：矩形的对角线_________；矩形的四个角都是________角。矩形具有________的一切性质。矩形是轴对称图形，对称轴有_____________条，矩形也是中心对称图形，对称中心为_____________的交点。矩形被对角线分成了____________个等腰三角形。
（3）矩形的判定
有一个是直角的平行四边形是矩形；有三个角是_____________的四边形是矩形；对角线_____的平行四边形是矩形。
温馨提示：矩形的对角线是矩形比较常用的性质，当对角线的夹角中，有一个角为60度时，则构成一个等边三角形；在判定矩形时，要注意利用定义或对角线来判定时，必须先证明此四边形为平行四边形，然后再请一个角为直角或对角线相等。很多同学容易忽视这个问题。

2．菱形的定义、性质与判定
（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
（2）菱形的性质
菱形的_______都相等；菱形的对角线互相_______，并且每一条对角线______一组对角；菱形也具有平行四边形的一切性质。菱形即是轴对称图形，对称轴有____条。
（3）菱形的面积
菱形的面积=底×高，菱形的面积=ab，其中a，b分别为菱形两条对角线的长。菱形被对角线分成了4个全等的直角三角形。
（4）菱形的判定：______________都相等的四边形是菱形；对角线____________的平行四边形是菱形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
温馨提示：在利用菱形的判定时，也要注意所要证明的四边形是不是平行四边形，而你用的判定定理需不需要证明它是平行四边形，有对角线时，通常考虑利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形来证明，否则一般不利用此定理。

3．正方形的性质及判定方法
（1）正方形的性质：正方形的四个角都是_____________，四条边都_____________；
正方形的两条对角线____________，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形即是轴对称图形也是中心对称图形。
正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。
（2）正方形的判定方法：有一组邻边相等的____是正方形；对角线互相____的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形；对角线________的菱形是正方形。
温馨提示：无论是正方形的性质还是正方形的判定，它的中心思想就是正方形即是矩形，又是菱形，如果都从这个出发，则一切的性质与判定就都有了。但要注意在利用对角线判定正方形时，“平分”这个前提，因为只有对角线平分了，此四边形才是平行四边形了，然后再证明是矩形又是菱形。
一．正确理解定义
（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
平行四边形的定义揭示了图形的最本质的属性，它既是平行四边形的一条性质，又是一个判定方法．
（2）表示方法：用“ ”表示平行四边形，例如：平行四边形ABCD记作 ABCD，读作“平行四边形ABCD”．
2．熟练掌握性质
平行四边形的有关性质和判定都是从 边、角、对角线 三个方面的特征进行简述的．
（1）角：平行四边形的邻角互补，对角相等；
（2）边：平行四边形两组对边分别平行且相等；
（3）对角线：平行四边形的 对角线互相平分；
（4）面积：①；
②平行四边形的对角线将四边形分成4个面积相等的三角形．
3．平行四边形的判别方法
①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形
②方法1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
③方法2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形
④方法3：对角线互相平分的四边形是平行四边形
⑤方法4：一组平行且相等的四边形是平行四边形
二、．几种特殊四边形的有关概念
（1）矩形：有一个角是直角 的平行四边形 是矩形，它是研究矩形的基础，它既可以看作是矩形的性质，也可以看作是矩形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：① 平行四边形； ② 一个角是直角，两者缺一不可．
（2）菱形：有一组邻边相等 的平行四边形 是菱形，它是研究菱形的基础，它既可以看作是菱形的性质，也可以看作是菱形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：① 平行四边形；② 一组邻边相等，两者缺一不可．
（3）正方形：有一组邻边相等且有一个直角 的平行四边形 叫做正方形，它是最特殊的平行四边形，它既是平行四边形，还是菱形，也是矩形，它兼有这三者的特征，是一种非常完美的图形．
（4）梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形，对于这个定义，要注意把握：
①一组对边平行；② 另一组对边不平行
（5）等腰梯形：是一种特殊的梯形，它是两腰相等 的梯形，特殊梯形还有直角梯形．
2．几种特殊四边形的有关性质
（1）矩形： ①边：对边平行且相等；
②角：对角相等、邻角互补；
③对角线：对角线互相平分且相等；
④对称性：轴对称图形（对边中点连线所在直线，2条）．
（2）菱形：①边：四条边都相等；
②角：对角相等、邻角互补；
③对角线：对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角；
④对称性：轴对称图形（对角线所在直线，2条）．
（3）正方形：①边：四条边都相等；
②角：四角相等；
③对角线：对角线互相垂直平分且相等，对角线与边的夹角为450；
④对称性：轴对称图形（4条）．
（4）等腰梯形：①边：上下底平行但不相等，两腰相等；
②角：同一底边上的两个角相等；对角互补
③对角线：对角线相等；
④对称性：轴对称图形（上下底中点所在直线）．
3．几种特殊四边形的判定方法
（1）矩形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形
①有一个角是直角的平行四边形；
②对角线相等的平行四边形；
③四个角都相等
（2）菱形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形
①有一组邻边相等的平行四边形；
②对角线互相垂直的平行四边形；
③四条边都相等．
（3）正方形的判定：满足下列条件之一的四边形是正方形．
① 有一组邻边相等 且有一个直角 的平行四边形
② 有一组邻边相等 的矩形；
③ 对角线互相垂直 的矩形．
④ 有一个角是直角 的菱形
⑤ 对角线相等 的菱形；
（4）等腰梯形的判定：满足下列条件之一的梯形是等腰梯形
① 同一底两个底角相等的梯形；
② 对角线相等的梯形．

4．几种特殊四边形的常用说理方法与解题思路分析
（1）识别矩形的常用方法
① 先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任意一个角为直角．
② 先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的对角线相等．
③ 说明四边形ABCD的三个角是直角．

（2）识别菱形的常用方法
① 先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任一组邻边相等．
② 先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明对角线互相垂直．
③ 说明四边形ABCD的四条相等．
（3）识别正方形的常用方法
① 先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的一个角为直角且有一组邻边相等．
② 先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明对角线互相垂直且相等．
③ 先说明四边形ABCD为矩形，再说明矩形的一组邻边相等．
④ 先说明四边形ABCD为菱形，再说明菱形ABCD的一个角为直角．
（4）识别等腰梯形的常用方法
① 先说明四边形ABCD为梯形，再说明两腰相等．
② 先说明四边形ABCD为梯形，再说明同一底上的两个内角相等．
③ 先说明四边形ABCD为梯形，再说明对角线相等．
5．几种特殊四边形的面积问题
① 设矩形ABCD的两邻边长分别为a,b，则S矩形=ab．
② 设菱形ABCD的一边长为a，高为h，则S菱形=ah；若菱形的两对角线的长分别为a,b，
则S菱形=．
③ 设正方形ABCD的一边长为a，则S正方形=；若正方形的对角线的长为a，则S正方形=．
④ 设梯形ABCD的上底为a，下底为b，高为h，则S梯形=．

平行四边形
矩形
菱形
正方形
图形

性质
1．对边
且 ；
2．对角 ；
邻角 ；
3．对角线
；
1．对边
且 ；
2．对角
且四个角都是
；
3．对角线
；
1． 对边
且四条边都 ；
2．对角 ；
3．对角线
且每
条对角线
；
1．对边
且四条边都 ；
2．对角
且四个角都是 ；
3．对角线
且每条对角线 ；
面积

例1：如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，
则△AEF的周长为（ ）
A． B． C． D．3

例2：如图，把矩形沿对折后使两部分重合，若，则=（ ）
A．110° B．115° C．120° D．130°

一、选择题（每题3分，共30分）
1．如图，在菱形ABCD中，AB = 5，∠BCD = 120°，B
A
C
D

则对角线AC等于（ ）
A．20 B．15 C． 10 D．5

2． 如图，将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片对折两次后，A
B
C
D

沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，
得到的菱形的面积为（ ）
A． B． C． D．

3．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，M、N分别是边AB、AD的中点，
连接OM、ON、MN，则下列叙述正确的是（ ）
A．△AOM和△AON都是等边三角形 B．四边形MBON和四边形MODN都是菱形
C．四边形AMON与四边形ABCD是位似图形 D．四边形MBCO和四边形NDCO都是等腰梯形
A
B
C
D
F
E
O
A
B
C
D
D
B
C
A
N
M
O
第3题图
A
D
E
P
C
B
F
第4题图

第5题图

4.如图，在菱形ABCD中，∠A=110°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC=（ ）
A．35° B．45° C．50° D．55°
5. 将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB＝3，则BC的长为( )
A．1　　　 B．2 C． D．
7．正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为（ ）
第8题图
A．8 B．8 C．2 D．10
8．如图，□ABCD的周长是28㎝，　△ABC的周长是22㎝，则AC的
长为　　( 　 )
A．6㎝　　　　　B．　12㎝　　　C．4㎝　　　　D．　8㎝

9．如图，菱形ABCD的边长为10cm，DE⊥AB，DE=6，则这个菱形的面积= cm2．
第10题图

第9题图

10.如图，四边形ABCD是平行四边形，使它为矩形的条件可以是　　 　　．

三、解答题
O
D
C
B
A

11．如图 ，ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，．
（1）求证：△ABD是正三角形；
（2）求 AC的长（结果可保留根号）．

12.已知：如图，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF，交AD 于点M，交CD的延长线于点F.
（1）求证：AM=DM；
（2）若DF=2，求菱形ABCD的周长 ．B
A
C
D
F
M
第12题图
E

第13题图
D
C
B
E
A
F
13．如图：已知在中，，为边的中点，过点作，垂足分别为.
（1） 求证：；
（2）若，求证：四边形是正方形.

仅供学习与参考