利息理论习题整理.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,10/8/2026,2,例,1-2,：,某人,2003,年,1,月,1,日从银行借款,1000,元，假设年利率为,12%,，试分别以单利和复利计算：,（,1,）,2003,年,5,月,20,日时，他需还银行多少钱？,（,2,）,2005,年,1,月,1,日时，他需还银行多少钱？,（,3,）几年后需还款,1500,元？,解：,（,1,）从,2003,年,1,月,1,日到,5,月,20,日共计,140,天，故计息天数为,139,天，,单利：,（元）,复利：,（元）,10/8/2026,3,例,1-3,有以下两种,5,年期的投资选择：,A,年利率,7%,，每半年计息一次；,B,年利率,7.05%,，每年计息一次。试比较两种选择的收益。,解,方法一：比较等价的年实利率,已知,方法二：比较实际收益,结论：,A,收益高,10/8/2026,4,例,1-4,假设期初借款人从贷款人处借入,10000,元并约定一年到期时还,10500,元（即利率,i,=5%,）。如果借款人希望期初时即付给贷款人利息，,1,年到期时偿还本金,10000,元，问：期初借款人实际可得金额是多少？,解,贴现因子,贴现率,从而借款人在期初实际可得,（元）,10/8/2026,5,解,从贴现的角度看，零息债券的贴现率,d,=5%,，,债券投资优于储蓄。,从年利率的角度看，,债券投资优于储蓄。,例,1-5,若现有面额为,100,元的零息债券在到期前一年的时刻价格为,95,元，同时短期一年储蓄利率为,5.25%,，如何进行投资选择？,蓄的贴现率,而储,零息债券,10/8/2026,6,（,2,）,例,1-6,（,1,）求每月结算的年利率为,12,的实际利率；（,2,）求每季结算的年贴现率为,10,的实际贴现率；（,3,）求相当于每月结算的年利率为,12,的半年结算的年贴现率。,解：,（,3,）,（,1,）,10/8/2026,7,例：某资金帐户现金流如下：在时刻,0,有,100,元资金支出，在时刻,5,有,200,元资金支出，在时刻,10,有最后一笔资金支出；作为回报，在时刻,8,有资金收回,600,元。假定半年结算年名义利率为,8,，试计算时刻,10,的支出金额大小。,解：,设时刻,10,的支出金额为,X,，则整个业务的,现金流程图如下：,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,100,200,X,600,10/8/2026,8,1,依复利方式计算：,半年结算年名义利率,8,半年期实际利率,4,半年期积累因子,半年期贴现因子,选取不同的比较日,t,的价值方程（收支平衡）：,1,）,t,0,100,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,200,X,600,10/8/2026,9,2,）,t,5,100,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,200,X,600,3,）,t,10,100,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,200,X,600,结论：,不同比较日的价值方程的计算结果相同,10/8/2026,10,2,依单利方式计算：,半年期单利率,i,4,选取不同的比较日,t,的价值方程（收支平衡）：,1,）,t,0,100,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,200,X,600,由此可以解得：,10/8/2026,11,2,）,t,5,100,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,200,X,600,3,）,t,10,100,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,200,X,600,结论：,不同比较日的价值方程的计算结果不同,由此可以解得：,由此可以解得：,10/8/2026,12,方法,2,：用代数方法求解,例：已知两年后的,2000,元和四年后的,3000,元的现值之和为,4000,元，试计算年利率。,解：比较日为初始时刻，则价值方程为,可化简为,v,2,的二次方程：,由此可得,或,（舍去）,故,或,7.30,10/8/2026,13,方法,3,：求数值解,例：如果现在投入,1000,元，三年底投入,2000,元，在第十年底的全部收入为,5000,元。计算半年计息一次的年名义利率。,解：,令,，比较日为第十年年底，则价值方程为,此方程可转化为,，无法直接求解,记,，,则,根据,Newton-,Raphson,法，构造迭代公式,10/8/2026,14,取,x,1,1.05,，代入迭代方程，可得,故,，,10/8/2026,15,例：预定在第,2,、,3,、,8,年末分别付款,$100,、,$200,和,$500,。假设实际利率为年率,5,，试确定一个一次付款,$800,的时刻，使它,(1),按等时间方法，,(2),按精确方法为等价。,解：,（,1,）,等时间法给出的近似解为,（,2,）,精确解为,注：可以证明近似解总比精确解偏大,10/8/2026,16,例：在给定利率下，求货币价值增加一倍的时间间隔,解：,设所求时间间隔为,t,，则基本价值方程为,解之，可得,10/8/2026,17,问题,1,为了在第,4,年末得到,2000,元及在第,10,年末得到,5000,元，投资者愿意立即投资,3000,元，并在第,3,年末追加一笔投资。如果 ，试确定追加投资的数额。,问题,2,按某一利率以下两种付款方式的现值相等：,（,1,）第,5,年末付,200,元，再加第,10,年末付,500,元，,（,2,）第,5,年末付,400.94,元。,现若以同样利率投资,100,元并加上在第,5,年末投资,120,元，将在第,10,年末积累到,P,。试计算,P,。,10/8/2026,18,问题,1,设追加投资的数额为,x,，依题意：,10/8/2026,19,问题,2,设利率为,i,，依题意：,10/8/2026,20,例 一项年金在,20,年内每半年末付,500,元，设年名义利率为每半年转换,9,，求此项年金的现时值。,解：,注,年金的要求是定期支付，间隔相等，但却不一定,是“年度”的。,具体计算可利用年金表或直接做数值计算。,依题意，半年实际利率为,4.5,，计息,40,次,10/8/2026,21,例 若某人以季度转换年利率,8,投资,1000,元，问他每季度之未能取回多少使这笔钱在第,10,年末正好用完,?,解：,季度实际利率,2,，,从而有,解出,设所求金额为,R,，,依题意,10/8/2026,22,例：现有十年期,50,万元贷款，年利率,8,，试比较以下,三种还贷方式的应付利息情况：,A,在第十年底一次付清,B,每年底偿还当年的利息，本金最后一次付清,C,每年底偿还固定的金额，十年还清,解：,方式,A,：在第十年底的一次还款为,其中的利息为,应付利息约为五十八万元,10/8/2026,23,方式,B,：,每年所付利息为,总的利息付出为,应付利息为四十万元,方式,C,：,设每年的还款额为,R,，价值方程,解出,十年的付款总额为,其中的利息总额为,应付利息约为二十五万元,10/8/2026,24,（三）标准年金的现值与终值之间的一些关系,1,、,的等价表达式,经济意义：,0,时刻一个货币单位的价值,上每次（利息）收入,i,的现金流价值,+,n,时刻一个货币单位的现值,10/8/2026,25,经济意义：,0,时刻一个货币单位的价值,上对应的,n,期期末年金现金流,经济意义：,n,时刻一个货币单位的价值,上对应的,n,期期末年金现金流,10/8/2026,26,例：某人现在开始每年定期地投入相同的一笔钱，希,望,在第十二年底（下一年度定期投入的前一瞬间）得到,1000000,元的回报，如果年利率为,7,，试计算每年投入,的金额。,解：,设每年的投入额为,R,，,第十二年底的价值方程为,从而有,故每年初投入,52245,元，到十二年底将累积为,1000000,元,10/8/2026,27,例：某人现在开始每年定期地投入相同的一笔钱，希,望,在第十二年底（下一年度定期投入的前一瞬间）得到,1000000,元的回报，如果年利率为,7,，试计算每年投入,的金额。,解：,设每年的投入额为,R,，,第十二年底的价值方程为,从而有,故每年初投入,52245,元，到十二年底将累积为,1000000,元,10/8/2026,28,例：某人留下遗产十万元。第一个十年将每年的利息付给受益人甲，第二个十年将每年的利息付给受益人乙，二十年后将每年的利息付给受益人丙且一直进行下去，以上支付均发生在年底。若年利率为,7,，试计算三个受益人的相对收益比例。,解：,甲的受益现值为：,乙的受益相当于七千份延期十年的十年定期标准期,末年金，现值为：,10/8/2026,29,丙的受益相当于七千份延期二十年的标准永续期末,年金，现值为：,结论：从现值的角度看，甲、乙、丙的受益比例近似,为：,49,、,25,和,26,因为,注,所以丙相当于在二十年后完全继承了十万元,10/8/2026,30,年金的非标准期问题,问题的提出：,现值为取整的货币量，年金值也为取整的货币量，当,两者不能平衡的时候，如何对零碎的部分进行处理？,例：原始投入,500,元，年金为,100,元，年利率,3,。,若年金为,5,年期，则上述年金的现值为,与原,始投入不平衡；,457.97,，,若年金为,6,年期，则上述年金的现值为,与原,始投入不平衡。,541.72,，,10/8/2026,31,解决方案一：,最后一次付款额度上浮,第,5,次付款额度由原先的,100,元上浮为,解决方案二：,最后一次付款额度扣减,第,6,次付款额度由原先的,100,元扣减为,解决方案三：,从模型的内在一致性出发，在时刻,5,与时刻,6,之间再增加一次付款（额度小于,100,元），使得,所有付款的现值之和恰好等于,500,元。,什么时刻付款、额度多少才能达到上述要求？,思考,10/8/2026,32,定义,数学形式上的一致性,注,对于任意的,，形式上定义下面的,计算：,上式右边的第二项表示：在时刻,的不足一个,货币单位的金额,在,0,时刻的现值,10/8/2026,33,例：在上例中，设最后一次付款时间为,5+,t,，则由,可解出,相应最后一次的付款额度应为,10/8/2026,34,A,不足部分与最后一次正常回报同时收回,B,不足部分在最后一次正常回报的下一年底收回,C,不足部分在最后一次正常回报的下一年的某个 等价时间收回,例：现有十万元的投资，年利率,5,。每年底定期收回,1,万元，试问：这样的定期回报可以进行多少年？对不足,1,万元的最后一次回报部分，按以下三种情况分别计算回报金额：,10/8/2026,35,解：,首先计算最大正常回报的时间,n,：,查表可得：,从而有,n,14,10/8/2026,36,设,X,A,、,X,B,和,X,C,分别表示三种方式对应的不足部分,的金额，则时间流程图分别为：,0,1,15,14,13,10000,10000,100000,10000+,X,A,0,1,15,14,13,10000,10000,100000,X,B,10000,10/8/2026,37,10000,10000,100000,X,C,10000,0,1,15,14,13,14+,t,首先计算,t,值：,即,得到,从而有,注,10/8/2026,38,例：某人每年（年底）存入,1000,元，利率,8,，希望经过若干年后达到,25000,元，若最后一次不足,1000,元的存款将在正常存款的一年后进行。试计算正常存款的年数和最后一次存款的金额。,解：,设最后一次的存款额为,X,，,0,X,1000,0,故在此例中，不足部分不能按题目要求的方式进,行存款。,思考,对于任意给定的现值，此类问题是否总有解？,10/8/2026,40,例：现有投资方式为：前两年每季度初投入,200,元，后两年每季度初投入,100,元；该投资的月收益率为,1,。试计算四年后总的投资收益。,解：,首先计算与月收益率,1,等价的季收益率,j,从而可得总的投资收益：,10/8/2026,41,例：某,30,万元的贷款计划分季度等量偿还，在五年内完成。如果贷款利率为半年名义利率,10,，计算每次偿还的金额。,解：,半年实际利率为,5,，设等价的季度实际利率为,j,记每次的偿还额为,R,，则有,由此可得,10/8/2026,42,例：,20,年期末比例年金：首次,1000,元，每年递增,4,，年利率,7,。计算现值。,解：,年金现值为：,例：某贷款的还款方式为：前五年每半年还,2000,元；后五年每半年还,1000,元。如果半年结算的年名义利率为,10,，分别用未来法和过去法计算第五次还贷后的贷款余额。,解：,，则半年实际利率为,5,1,）未来法,2,）过去法,已知,原始贷款金额为,从而有,例：某三十年期贷款每年还,1000,元，在第十五年的正常还款之后，借款人在一次性多还,2000,元，如果将其全部用于扣除贷款余额，剩余的余额分十二年等额还清。若年利率为,9,，试计算后十二年的年还款额。,解：,用未来法计算第十五次还款后的贷款余额,因为又多还了,2000,元，故此时实际贷款余额应为,6060.70,元,设后十二年的年还款额为,X,，则相应的价值方程为：,即：,X,846.38,元,20000,元抵押贷款将在,20,年内每年末分期,偿还，年利率为,5%,。在第五次还款后，因资金,短缺，随后的两年内未进行正常还贷。若借款人,从第八年底重新开始还贷，为了在,20,年内还清，,计算调整后的每次还款金额。,