专训3-巧用构造法求几种特殊角的三角函数值.doc

专训3　巧用构造法求几种特殊角的三角函数值
名师点金：
对于30°、45°、60°角的三角函数值，我们都可通过定义利用特殊直角三角形三边的关系进行计算；而在实际应用中，我们常常碰到像15°、22.5°、67.5°等一些特殊角的三角函数值的计算，同样我们也可以构造相关图形，利用数形结合思想进行巧算．

巧构造15°与30°角的关系的图形计算15°角的三角函数值
1．求sin 15°，cos 15°，tan 15°的值．

巧构造22.5°与45°角的关系的图形计算22.5°角的三角函数值
2．求tan 22.5°的值．

巧用折叠法求67.5°角的三角函数值
3．小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，求出67.5°角的正切值．

(第3题)

巧用含36°角的等腰三角形中的相似关系求18°、72°角的三角函数值
4．求sin 18°，cos 72°的值．

巧用75°与30°角的关系构图求75°角的三角函数值
5．求sin 75°，cos 75°，tan 75°的值．

答案
1．解：如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，∠C＝90°，延长CA到D，使AD＝AB，连接BD，则∠D＝15°，设BC＝a，则AB＝2a，AC＝a，∴AD＝2a，CD＝(2＋)a.
在Rt△BCD中，BD＝＝＝(＋)a.
∴sin 15°＝sin D＝＝＝；
cos 15°＝cos D＝＝＝；
tan 15°＝tan D＝＝＝2－.
(第1题)
　　(第2题)

2．解：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，延长CA到D，使DA＝AB，连接BD，则∠D＝22.5°，设AC＝BC＝a，则AB＝a，∴AD＝a，DC＝(＋1)a，
∴tan 22.5°＝tan D＝＝＝－1.
3．解：∵将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点E处，∴AB＝BE，∠AEB＝∠EAB＝45°.∵还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，
∴AE＝EF，∠EAF＝∠EFA＝45°÷2＝22.5°，
∴∠FAB＝67.5°.
设AB＝x，则AE＝EF＝x，
∴tan ∠FAB＝tan 67.5°＝＝＝＋1.
4．解：如图，作△ABC，使∠BAC＝36°，AB＝AC，∠ABC的平分线BD交AC于D点，过点A作AE⊥BC于E点，设BC＝a，则BE＝a，BD＝AD＝a，易得△ABC∽△BCD，∴＝，∴＝，
即AB2－a·AB－a2＝0，∴AB＝a(负根舍去)，
∴sin 18°＝sin ∠BAE＝＝，
cos 72°＝cos ∠ABE＝＝.
(第4题)
　　　　(第5题)

5．解：方法1：利用第1题的图形求解．易知∠CBD＝75°，
∴sin75°＝＝＝，
cos75°＝＝＝，
tan75°＝＝＝2＋.
方法2：如图，作△ABD，使∠ADB＝90°，∠DAB＝30°，延长BD到C，使DC＝DA，连接AC，过B作BE⊥AC于E，则∠BAE＝75°，设AD＝DC＝a，则AC＝a，BD＝a，AB＝a，∴BC＝BD＋CD＝a.∴CE＝BE＝BC·sin 45°＝a，∴AE＝AC－CE＝a，
∴sin 75°＝sin ∠BAE＝＝＝，
cos 75°＝cos ∠BAE＝＝，
tan 75°＝tan ∠BAE＝＝2＋.

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