n维向量组.pptx

2015第三章 n 维向量3.1 向量知识点：向量的概念向量的线性运算向量空间一.向量的概念 定义：由 n 个有顺序的数 组成的有序数组称为 n 维向量，数 称为向量 的分量（或坐标），称为 的第 j 个分量（或坐标）。行向量：列向量：也叫行矩阵也叫列矩阵二.向量的线性运算 1.几个常用知识点 （1）若 n 维向量 的对应分量都相等，即 时，称 与 相等，记作 （2）分量都是零的向量称为零向量，记作 O，即 （3）向量 称为向量 的负向量，记作 2.向量的线性运算 （1）向量的加法 定义3.1.2：设 ，那么向量 称为 与 的和，记为 ，即【注】由此可知向量的减法 （2）向量的数乘 定义3.1.3：设 为 n 维向量，向量 称为数 与向量 的乘积，记作 向量的加法和数乘统称为向量的线性运算。（3）向量的线性运算满足的运算规律 例：设 ，求 和 解：三.向量空间 定义3.1.4：设 V 为 n 维向量的集合，如果 V 非空，且 V 对于向量的加法及数乘运算封闭，则集合 V 为向量空间。封闭：若 ，则 ；若 ，则 定义3.1.5：设有向量空间 及 ，若 ，则称 是的子空间。例：证明集合 是一个向量空间。证明：设 ，则即 对于向量的加法和数乘运算封闭，所以是一个向量空间。3.2 向量组及其线性组合知识点向量组的概念向量组的线性组合（即线性表出）一.向量组的概念 定义3.2.1：若干个 n 维行向量（列向量）所组成的集合称为 n 维行（列）向量组。例如向量组 由此可知，对于矩阵（1）若令 ，则矩阵 A 可由行向量组 表示成（2）若令则矩阵 A 可由列向量组 表示成二.向量组的线性组合 1.定义3.2.2：设 都是 n 维向量，如果存在一组数 ，使得关系式 成立，则称向量 是向量组 的线性组合，并称向量 可由向量组 线性表示（或线性表出）。【注】（1）向量 是向量组 的线性组合，和向量 可由向量组 线性表出是一个意思。（2）O 向量是任意向量组的线性组合，或者说 O 向量可由任意向量组线性表出。（3）设有 n 个 n 维单位向量：组成的向量组称为 n 维单位向量组，且任意 n 维向量都可以被该向量组线性表出。（有的书上用 表示单位向量组。）（4）向量组 中任意向量都可以用这个向量组线性表出，即 例：设有四个三维向量试将向量 表示为 的线性组合。解：设存在一组数 ，使得关系式成立，则有 ，即由克莱姆法则得 ，所以向量 可以表示为向量组 的线性组合，且 2.如何判断一个向量可由一个向量组线性表出 定理3.2.1：设 n 维向量组为令 若 ，则向量 可由向量组 线性表出。命题1：设 m 维向量组为则向量 可由向量组 线性表出的充分必要条件是线性方程组有解。【注】定理3.2.1和命题1的区别是，定理3.2.1中向量组是 ，共有 n 个向量，且每个向量都是 n 维，而命题1中向量组是 ，共有 n 个向量，但每个向量都是 m 维。其实，当 时，命题1就是定理3.2.1，所以命题1的使用范围更广。定理3.2.2：若向量 可由 m 维向量组线性表出，则矩阵 的 行经初等行变换可将其化为零行。推论3.2.1：向量组 构成的矩阵 经初等行变换出现零行的充分必要条件是至少有一个向量可由其他向量线性表出。3.求线性表出的方法 已知向量组 ，如何判断向量 能否由向量组 线性表出呢？第一步：用向量组 构造矩阵 ，且把原始向量的序号 标注在矩阵右侧；第二步：对矩阵 A 作初等行变换，化为行阶梯形矩阵，且将每次变换的过程标注在右侧；第三步：若最后的行阶梯形矩阵中，标注有 的行不是零行，则向量 不能被向量组 线性表出；若标注有 的行是零行，则令标注的表达式为零，通过移项化简，则能用向量组 将向量 线性表出。例：设向量组问：向量 可否由 线性表出？解：所以，向量 不能由向量组 线性表出。