2019届浙江专版高考数学一轮复习第十章圆锥曲线与方程10.4直线与圆锥曲线的位置关系讲义.ppt

,10.4,直线与圆锥曲线的位置关系,高考数学,考点直线与圆锥曲线的位置关系,1.判断直线,l,与圆锥曲线,r,的位置关系时,通常将直线,l,的方程,Ax,+,By,+,C,=0(,A,、,B,不同时为0)代入圆锥曲线,r,的方程,F,(,x,y,)=0.消去,y,(或,x,)得到一,个关于变量,x,(或,y,)的方程,即,消去,y,后得,ax,2,+,bx,+,c,=0.,(1)若,a,0,则当,0,时,直线,l,与曲线,r,相交;当,=0,时,直线,l,与曲线,r,相切;当,0.,所以,x,1,、,x,2,是方程,Ax,2,+,Bx,+,C,=0的解.由根与系数的关系求出,x,1,+,x,2,=-,x,1,x,2,=,.所以,M,、,N,两点间距离为|,MN,|=,|,x,1,-,x,2,|,即弦长公式.也可以写成,关于,y,的形式,|,MN,|=,|,y,1,-,y,2,|(,k,0).,3.已知弦的中点、研究弦的斜率和方程,(1),AB,是椭圆,+,=1(,a,b,0)的一条弦,中点,M,坐标为(,x,0,y,0,)(,y,0,0),则,AB,的斜率为-,.,运用点差法求,AB,的斜率,设,A,(,x,1,y,1,),B,(,x,2,y,2,)(,x,1,x,2,).,A,、,B,都在椭圆上,两式相减得,+,=0.,+,=0,即,=-,=-,.,故,k,AB,=-,.,(2)运用类比的方法可以推出:已知,AB,是双曲线,-,=1(,a,0,b,0)的弦,中点,M,(,x,0,y,0,)(,y,0,0),则,k,AB,=,;已知抛物线,y,2,=2,px,(,p,0)的弦,AB,的中点,M,(,x,0,y,0,)(,y,0,0),则,k,AB,=,.,有关位置关系、弦长、面积问题的解题策略,1.直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题,可以转化为它们,所对应的方程构成的方程组是否有解或解的个数问题,往往通过消元最,终归结为讨论方程解的情况.需要注意的是当直线平行于抛物线的对称,轴或双曲线的渐近线时,直线与抛物线或双曲线有且只有一个交点.,2.涉及直线与圆锥曲线相交弦的问题,主要有这样几个方面:相交弦的长,(弦长公式|,AB,|=,|,x,2,-,x,1,|);弦所在直线的方程(如中点弦、相交弦,等)、弦的中点的轨迹等,可以利用“设点代点、设而不求”(设交点坐,标,将交点坐标代入曲线方程,并不具体求出坐标,而是利用坐标应满足,的关系直接解决问题)的方法解决.,例1(2017浙江“七彩阳光”新高考研究联盟测试,21)已知椭圆,C,:,+,方法技巧,方法,1,=1(,a,b,0)的离心率为,且椭圆经过点,M,(-,1).,(1)求椭圆的标准方程;,(2)若直线,l,与圆,O,:,x,2,+,y,2,=1相切,与椭圆,C,相交于,A,B,两点,求,AOB,的面积,的最大值.,解题导引,(1)由离心率的定义、点的坐标满足椭圆方程以及,a,b,c,之间的关系,得关于,a,b,c,的方程组解方程组得结论,(2)当斜率存在时,设直线方程为,y,=,kx,+,m,由直线与圆相切得,m,与,k,的关系式联立直线和椭圆方程,由韦达定理计算弦长|,AB,|把面积的平方表示成,k,的函数利用换元法求得面积的最大值计算斜率不存在时三角形面积,比较后得结论,解析(1)由,得,a,=2,b,=,所以椭圆的标准方程为,+,=1.,(2)当直线,l,的斜率存在时,设直线,l,:,y,=,kx,+,m,因为直线,l,与圆,O,相切,所以点,O,到直线,l,:,y,=,kx,+,m,的距离,d,=,=1,所以,m,2,=1+,k,2,.,由,得(1+2,k,2,),x,2,+4,kmx,+2,m,2,-4=0,=32,k,2,-8,m,2,+160,x,1,+,x,2,=-,x,1,x,2,=,.,所以|,AB,|=,=,=,所以,S,AOB,=,1,令1+2,k,2,=,t,(,t,1),得,=,=-,+2,2,当,t,=1,即,k,=0时,AOB,的面积取得最大值,为,.,当直线,l,的斜率不存在时,l,:,x,=,1,此时,S,AOB,=,.,综上所述,AOB,的面积的最大值为,.,评析本题考查椭圆的标准方程和性质,直线与椭圆的位置关系,直线,与圆的位置关系,韦达定理,弦长的计算以及三角形面积的最值的求法,等基础知识.考查运算求解能力,逻辑推理能力和综合运用能力.,探索性问题的解题策略,解决探索结论的开放性问题的一般方法是研究特例、观察、归纳、猜,想,然后加以论证,对存在判断型问题,常以条件和假设存在为出发点进,行推理.若推出矛盾,则否定存在;若不出现矛盾,则肯定存在.对结论开放,性问题,常需对不同的情形加以分类讨论.,例2(2017浙江宁波期末,21)已知椭圆,C,:,+,=1(0,n,0,设,A,(,x,1,y,1,),B,(,x,2,y,2,),则,x,1,+,x,2,=-,x,1,x,2,=,由,+,=0,得(,x,1,-,m,),y,2,+(,x,2,-,m,),y,1,=0,即,k,(,x,1,-,m,)(,x,2,+2)+,k,(,x,2,-,m,)(,x,1,+2)=0.,当,k,0时,2,x,1,x,2,-(,m,-2)(,x,1,+,x,2,)-4,m,=0,所以2,+(,m,-2),-4,m,=0,化简得,=0,所以,m,=-1.,当,k,=0时,检验也成立.,所以存在点,M,(-1,0),使得,NMA,+,NMB,=180,.,评析本题考查椭圆的几何性质,直线与椭圆的位置关系,韦达定理,直,线斜率的运算以及定点问题等基础知识.考查运算求解能力,逻辑推理,能力和综合运用能力,化归与转化思想.,