线性转换线性代数.ppt

Click to edit Title Slide,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,清雲科技大學電機系,教師,:,彭椏富,Click to edit Title Slide,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,第,6,章 線 性 轉 換,線 性 代 數,2,本章內容,6.1,線性轉換,6.2,矩陣轉換、電腦繪圖與碎形,6.3,核空間與值域,6.4,線性轉換與線性方程式系統,6.5,座標向量,6.6,線性轉換之矩陣形式,3,6.1,線性轉換,轉換,(transformations),令,U,V,均為向量空間，,T,為一個由,U,至,V,的轉換,(,或稱為映射,(mapping),),，註記為,T:U V,U,稱為,T,之,論域,(domain),V,則稱為,T,之,對應論域,(codomain),u,與,v,之關係可以寫成,T(u)=v,v,稱為向量,u,在,T,之映射下的,像,(image),所有的像所組成的集合則稱為,T,的,值域,(range),4,6.1,線性轉換,線性,(linear),令,u,v,為,Rn,之向量、,c,為純量，若,T,(,u,+,v,)=,T,(,u,)+,T,(,v,),T,(,c,u,)=,cT,(,u,),則稱,T:Rn Rm,為線性,2 矩陣轉換、電腦繪圖與碎形,T(u)=Au+v,平移(translation),2 矩陣轉換、電腦繪圖與碎形,所以 ker(T)=(0,0,z),例題5:試求任意向量經T映射之像，並利用所得結果求取向量x之像。,例題2:試證明下列轉換T:R3 R2不是線性。,向量，試求,P=(u1)B (uB)B,d(P,Q)=d(R,S),T(u)=Au+v,例題 1:試求下列線性運算元之核空間及值域 T(x,y,z)=(x,y,0),行向量 ,稱為u相對於該組基底之座標向量,例題2:試求下列矩陣所定義之線性轉換的核空間及值域,例題4:考量R2之基底B=(1,2),(3,1),5,6.1,線性轉換,例題,1:,證明下列轉換,T:R,2,R,2,為線性。,T(x,y)=(x y,3x),解,:,6,6.1,線性轉換,例題,2:,試證明下列轉換,T:R,3,R,2,不是線性。,T(x,y,z)=(xy,z),解,:,7,6.1,線性轉換,例題,3:,試證明下列轉換,T,：,P2 P1,為線性,T(ax2+bx+c)=(a+b)x+c,解,:,8,6.1,線性轉換,例題,4:,令,D,為微分運算（即,D=,，於此為較簡易之符號），,D,可以被視為將,Pn,映射至其本身的轉換,試證下式為線性轉換,解,:,9,6.1,線性轉換,矩陣轉換,(matrix transformation),令,A,為,m n,之矩陣，,x,為以行向量表示之,Rn,元素，則定義如,T(x)=Ax,之轉換,T:Rn Rm,為線性。這樣的線性轉換稱為矩陣轉換。,10,6.1,線性轉換,例題,5:,試求任意向量經,T,映射之像，並利用所得結果求取向量,x,之像。,解,:,11,6.1,線性轉換,線性轉換之合成,T(u)=T,2,(T,1,(u),記為,例題,6:,試求轉換,T1(x,y)=(3x,x+y),及,T2(x,y)=(2x,y),之合成轉換，並求解,(2,3),之像,解,:,12,6.1,線性轉換,例題,7:,令,T,1,(x)=A,1,x,及,T,2,(x)=A,2,x,為由下列矩陣,A,1,及,A,2,定義之矩陣轉換，且,T=T,2,。,T,1,，試求向量,x,經,T,映射之像。,解,:,13,6.2,矩陣轉換、電腦繪圖與碎形,標準矩陣,(standard matrix),線性轉換,T,可以由下列矩陣定義,A=T(e,1,)T(e,n,),稱矩陣,A,為,T,之標準矩陣,14,6.2,矩陣轉換、電腦繪圖與碎形,例題,1:,試推導線性轉換之標準矩陣,解,:,15,6.2,矩陣轉換、電腦繪圖與碎形,放大與縮小轉換,若,r 1,，則,T,將已知點推離原點，此時,r,稱為放大係數,(dilation of factor),若,0 r 1,，則,T,將已知點拉近原點，此時,r,稱為收縮係數,(contraction of factor),線對稱轉換,16,6.2,矩陣轉換、電腦繪圖與碎形,例題,2:,若有連續轉換描述如下：執行一個對,x,軸的線對稱轉換，接著執行一個角度,/2,的旋轉轉換，最後再執行一個三倍的放大轉換，試求解此連續轉換之標準矩陣。並請求解點 經此連續轉換後之像,解,:,17,6.2,矩陣轉換、電腦繪圖與碎形,例題,3:T:R,n,R,n,T(u)=Au,，試決定一單位正方形經過此轉換後之像,解,:,轉換後的像為平行四邊形,18,6.2,矩陣轉換、電腦繪圖與碎形,正交轉換,T,(,u,)=,A,u,定義之,T,:,R,n,R,n,轉換，其中矩陣,A,為一正交矩陣。,正交轉換保守範數、角度及距離，所以保守剛體的形狀，稱為,剛體運動,(rigid motions),。,u,v,間之夾角,=,T,(,u,),T,(,v,),間之夾角,d,(,P,Q,)=,d,(,R,S,),19,6.2,矩陣轉換、電腦繪圖與碎形,例題,4:,令,T,為由下列正交矩陣,A,定義之正交轉換，試證明,V,對向量,u,v,保守範數、角度及距離,解,:,20,6.2,矩陣轉換、電腦繪圖與碎形,平移,(translation),T,(,u,)=,u,+,v,仿射轉換,(affine transformation),T(u)=Au+v,同質座標,(homogeneous coordinates),21,6.2,矩陣轉換、電腦繪圖與碎形,x,R,R,e,點 旋轉 線對稱,D T,膨脹,/,收縮 平移,22,6.2,矩陣轉換、電腦繪圖與碎形,例題,5:,求,y=2x+3,經過平移轉換後之像。,解,:,23,6.2,矩陣轉換、電腦繪圖與碎形,例題,6:,(1),求以點,P(h,k),為中心,旋轉,q,角之轉換矩陣。,(2),求以點,P(5,4),為中心,旋轉角度,/2,之轉換矩陣。,(3),求頂點分為,A(1,2),B(2,8),及,C(3,2),的三角形經此轉換後之像為何？,解,:,(1),以,P,為中心之旋轉可以由順序執行下列三個轉換達成：,一個平面上的平移,T1,，將,P,點移至原點,O,一個平面上以原點為中心旋轉,q,角的旋轉,R,一個平面上的平移,T2,，將原點,O,移回,P,點,24,6.2,矩陣轉換、電腦繪圖與碎形,T,1,R,T,2,25,6.2,矩陣轉換、電腦繪圖與碎形,(2),(3),range(T)=(x,y,0),6 線性轉換之矩陣形式,P=(u1)B (uB)B,T(cu)=cT(u),2 矩陣轉換、電腦繪圖與碎形,，試求自B至 B之轉移矩陣，若 ，試求,U是基底為B=u1,un之向量空間,u為U之任意向量，存在有唯一的純量組a1,an，使得 u=a1u1+anun,2 矩陣轉換、電腦繪圖與碎形,(1)以P為中心之旋轉可以由順序執行下列三個轉換達成：,所以range(A)=2,2 矩陣轉換、電腦繪圖與碎形,仿射轉換(affine transformation),所以是1對1,(3)求頂點分為A(1,2),B(2,8)及C(3,2)的三角形經此轉換後之像為何？,2 矩陣轉換、電腦繪圖與碎形,T(u+v)=T(u)+T(v),所以是1對1,T(x,y,z)=(xy,z),26,6.3,核空間與值域,線性轉換將一零向量映射至另一零向量,T,：,U V,為一線性轉換，而與分別為,U,V,之零向量，則,T(0,U,)=0,V,核空間,(kernel),所有在向量空間,U,中，且其映射至,V,之像為零向量的向量所組成的集合，稱為,T,的核空間，註記為,ker(T),。,值域,(range),所有在向量空間,V,中，且恰為,U,中向量之像,(image),的向量所組成的集合，稱為,T,的值域，註記為,range(T),。,27,6.3,核空間與值域,例題,1:,試求下列線性運算元之核空間及值域,T(x,y,z)=(x,y,0),解,:,T,(,x,y,z,)=(,x,y,0)=(0,0,0),x=0,y=0,z,不限,所以,ker(,T,)=(,0,0,z),range(,T,)=(,x,y,0),28,6.3,核空間與值域,值域求法,令,T,為,R,n,R,m,之線性轉換，且定義為,T(u)=Au,，則,T,之值域由,A,之行向量所生成。,證明,:,T,(,u,)=,v,u,=,a,1,e,1,+,a,n,e,n,v,=,T,(,a,1,e,1,+,a,n,e,n,),=,a,1,T,(,e,1,)+,a,n,T,(,e,n,),29,6.3,核空間與值域,例題,2:,試求下列矩陣所定義之線性轉換的核空間及值域,解,:,30,6.3,核空間與值域,31,6.3,核空間與值域,T,：,U V,為一線性轉換，則核空間之維度,+,值域之維度,=,論域之維度,dim(ker(T)+dim(range(T)=dim(domain(T),例題,3:,試求下列矩陣所定義之線性轉換,T,的核空間及值域之維度,解,:,可看出,rank(,A,)=2,所以,range(A)=2,ker(A)=3-2=1,32,6.3,核空間與值域,一對一,(one-to-one),轉換,若線性轉換,T,之值域中的每一個向量均僅由其論域中之某單一向量對應轉換而成，則稱,T,為一對一,(one-to-one),轉換,一線性轉換,T,為一對一轉換，若且唯若其核空間僅包含零向量。,令,T,為定義如,T(x)=Ax,的,Rn,Rn,線性轉換，則,T,為一對一轉換，若且唯若,A,不是奇異矩陣。,33,6.3,核空間與值域,例題,4:,試測試下列矩陣所定義之線性轉換,TA,與,TB,是否為一對一轉換,解,:,(a)dim(kerT)=dim(domainT)-dim(rangeT)=4-3=1,所以非,1,對,1,(b)dim(kerT)=3-3=0,所以是,1,對,1,34,6.4,轉換與線性方程式系統,解集合子空間,一個具有,m,個方程式、,n,個未知數的線性齊次系統,A,x,=,0,之解集合，為,R,n,之子空間。,例題,1:,求解下列線性齊次系統，說明此系統之解集合為一子空間,解,:,35,6.4,轉換與線性方程式系統,令,Ax=y,為一具有,m,個方程式、,n,個未知數的線性非齊次系統，,x1,為一特定解,，而其他所有解均可寫成,x=z+x1,之形式，其中,z,為由矩陣,A,定義之線性轉換,T,的核空間之向量,36,6.4,轉換與線性方程式系統,例題,2:,求解下列線性非齊次系統，並繪製其解集合,解,:,37,6.5,座標向量,座標向量,U,是基底為,B,=,u,1,u,n,之向量空間,u,為,U,之任意向量，存在有唯一的純量組,a,1,an,，使得,u,=,a,1,u,1,+,a,n,u,n,行向量,稱為,u,相對於該組基底之座標向量,38,6.5,座標向量,例題,1:,試求解向量,u=(4,5),相對於下列,R,2,空間兩組基底,B,及,B,座標向量,(a),標準基底,B=(1,0),(0,1),(b)B=(2,1),(-1,1),解,:,(a)(4,5)=4(1,0)+5(0,1),(b)(4,5)=3(2,1)+2(-1,1),39,6.5,座標向量,例題,2:,試求向量,u=5x,2,+x,3,相對於下列,P,2,空間兩組基底,B,及,B,之座標向量,(a),標準基底,B=x,2,x,1,(b)B=x,2,x+5,3x,2,1,2x,2,+4x 2,解,:,(a)(5,1,-3)=5(1,0,0)+1(0,1,0)-3(0,0,1),(b)(5,1,-3)=2(1,-1,1)-(3,0,-1)+3(2,1,-2),40,6.5,座標向量,單範正交基底,B=u,1,u,n,為向量空間,U,中之一組單範正交基底，則,U,中任意向量,v,可表示成,單範正交基底之座標向量可表示成,(,可想像是,V,在各基底的投影,),41,6.5,座標向量,例題,3:,試求向量,v=(2,5,10),相對於下列單範正交基底,B,之座標向量,解,:,42,6.5,座標向量,基底變換,令,B=u,1,u,n,與,B=u,1,u,n,為向量空間,U,之兩組基底，若,u,為,U,中向量，且相對於,B,與,B,之座標向量分為,u,B,及,u,B,則,u,B,=Pu,B,其中,P,為自基底,B,至基底,B,之轉移矩陣：,P=(u,1,),B,(u,B,),B,43,6.5,座標向量,例題,4:,考量,R,2,之基底,B=(1,2),(3,1),及,，若,u,為使得 之,向量，試求,解,:,44,6.5,座標向量,轉移矩陣,令,B,與,B,為向量空間,U,之兩組基底，而,P,為自,B,至,B,之轉移矩陣，則,P,為可逆，且,P,-1,為自,B,至,B,之轉移矩陣。,45,6.5,座標向量,例題,2:R,2,之基底,，試求自,B,至,B,之轉移矩陣，若 ，試求,解,:,使用標準基底,s=(1,0),(0,1),做中間基底,46,6.5,座標向量,同構,(isomorphism),若,T,為自,U,一對一且映成映射至,W,之線性轉換，則稱,T,為同構,(isomorphism),，而,U,與,W,則是互為同構的向量空間。,47,6.6,線性轉換之矩陣形式,例題,1:,考量由如下基底向量所定義之線性轉換,T:R,3,R,2,，試求,T(1,-2,3).,解,:,48,6.6,線性轉換之矩陣形式,例題,2:,令,T,：,U,V,為一線性轉換，而,T,相對於,U,V,之基底,B,=,u,1,u,2,u,3,及,B,=,v,1,v,2,之定義如下,試求,T,相對於這些基底之矩陣形式，並利用此矩陣求解向量,u,=3,u,1,+2,u,2,u,3,之像。,解,:,49,6.6,線性轉換之矩陣形式,例題,3:,線性轉換,T,：,R,3,R,2,，,T(x,y,z)=(x+y,2z),(a),求,T,相對於,R,3,R,2,之基底,之矩陣形式，其中,(b),利用該矩陣求向量,u=(2,3,5),之像,解,:,50,6.6,線性轉換之矩陣形式,例題,4:,線性轉換,T,：,P,2,P,1,T(ax,2,+bx+c)=(a+b)x,c,求,T,相對於,P,2,P,1,之基底,之矩陣形式,並利用該矩陣求解向量,u=3x,2,+2x 1,之像。,解,:,51,6.6,線性轉換之矩陣形式,例題,5:,令 為一微分運算元，,D,亦是,P,2,的一個線性運算元，試求,D,相對於,P,2,標準基底,x,2,x,1,之矩陣形式。,解,:,52,習題,:,綜合習題,1,2,4,5,6,7,8,10,11,12,13,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,本 章 結 束,!,