高数导数应用.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,高数导数应用,1.4.1,函数的单调性,一、单调性的判别法,定理,证（略）,证,应用拉格朗日中值定理,得,例1,解,首先确定定义域,注意:,函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性，图中蓝色曲线是导函数的图像,单调区间,问题:,如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调,定义:,若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的,单调区间,.,导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点,方法:,解,根据,y,的符号曲线和定理，列出下表,x,1,3,y,+,0,0,+,y,19,13,上图为导函数的符号曲线。,就是说,单调区间为,解,单调区间为,注意,:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.而导数不存在的点也可能是单调性改变的点。,又如,例如上题中,事实上，,1.4.2,函数达到极值的条件,从例1.4.3 的函数图象中很容易看到在函数从单调增加变到单调减少的转折点处，函数值达到,极大,，这类特殊的峰点，即我们下面要讨论的函数极值点,(1,19),函数极值分极大值和极小值当函数在一点从单调增加变到单调减少，函数值比邻近的函数值都大，这种函数值称为,极大值,；当函数在一点从单调减少变到单调增加，函数值比邻近的函数值都小，这种函数值称为,极小值,一、函数极值的定义,定义,函数的极大值与极小值统称为,极值,，使函数取得极值的点称为,极值点,.,函数的极大值可能小于极小值，如,前页图,中的与点的值,二、函数极值的求法,(极值存在的必要条件),定义,注意,:(1)这里的必要条件，有函数可导为前提。对于不可导点，函数也可能取极值。如例1.4.2中。,例如,(2),定理1.4.3(极值存在的第一充分条件),(是极值点情形),定理可以简记为经过,x,0,时导函数变号则极值存在,可导函数求极值的步骤:,(不是极值点情形),函数也可能在不可导点处达到极值。,解,列表讨论,极小,y(2),注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.,注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.,函数的最大值与最小值都是唯一的，它可能在驻点，不可导点及区间的端点处达到,解 首先确定定义域,分子用三角函数公式换作tan2x更简单,这里是又用了一次洛必达法则.,上图为导函数的符号曲线。,2 是必要条件，而定理1.,下面学习导数在计算极限中的重要应用洛必达(L Hospital)法则.,注意最值与极值的区别.,作业P68 1.,注意：洛必达法则的使用条件,因为最值点不一定是内点.,而导数不存在的点也可能是单调性改变的点。,注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.,不是这两种类型的绝不能用！,图形如下：,上面的图形是用根轴法作的导函数的符号曲线，用于判断导函数在各区间上的正负。,定理1.4.4,教材61页,证,同理可证(2).,(极值存在的第二充分条件),例2,解,图形如下,注意:,三、小结,极值是函数的局部性概念:,极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.,驻点和不可导点统称为,临界点,.,函数的极值必在,临界点,取得.,判别法,第一充分条件;,第二充分条件;,(注意使用条件),对一般函数(即要考虑驻点和不可导点)求极值的步骤请看教材61页的下方,1.4.3,函数的最值,函数的整体极值,定义,2.4.4,函数的最值,函数的最大值与最小值都是唯一的，它可能在,驻点,，,不可导点,及,区间的端点,处达到,步骤:,1.求驻点和不可导点;,2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值;,注意:,如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值),问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调,点击图片任意处播放暂停,应用拉格朗日中值定理,得,函数的极大值与极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点.,解 首先确定定义域,上面的图形是用根轴法作的导函数的符号曲线，用于判断导函数在各区间上的正负。,定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.,函数的极大值可能小于极小值，如前页图中的与点的值,注意：洛必达法则的使用条件,分子用三角函数公式换作tan2x更简单,这里是又用了一次洛必达法则.,解 首先确定定义域,(极值存在的必要条件),注意最值与极值的区别.,对一般函数(即要考虑驻点和不可导点)求极值的步骤请看教材61页的下方,而导数不存在的点也可能是单调性改变的点。,注意：洛必达法则的使用条件,2(1)(5)，1.,二、应用举例,解,计算,驻点：,不可导点：,区间端点：,比较得,实际问题求最值应注意:,(1)建立目标函数;,(2)求最值;,左图中，若,f,(,x,0,)不是最大值,则还有,x,1,使得,f,(,x,0,),f,(,x,1,)，,x,0,又是极大值点，于是从,x,0,到,x,1,，函数的,光滑连续变化,必导致,x,0,与,x,1,值之间出现另一驻点,x,2,，这样,x,0,就不会是唯一驻点了,x,0,x,2,x,1,h,2r,解,本题是在条件V=,r,2,h,下求函数S=2,rh,+2,r,2,的最小值.消去一个变量,即,解得,三、小结,注意最值与极值的区别.,最值是整体概念而极值是局部概念.,实际问题求最值的步骤.,P68 1.4.2(1)(5)1.4.3(4)(5)1.4.5,作业：,1.4.4(1)(7),1.4.4,未定式求法,下面学习导数在计算极限中的重要应用,洛必达,(L Hospital),法则,.,未定式是很常见和最基本的一类极限,.,限于时间原因我们不作理论上的展开,只学习具体方法与最基本的内容,.,定义,例如,定理1.4.5(洛必达法则),定义,这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.,解,解,易见此式符合洛必达法则的条件，故,解,解,作业,例,解,通分相加减化为再求,注意,：(1),洛必达法则是求不定式的一种有效方法，但它只能用于.不是这两种类型的绝不能用！,(),洛必达法则不是万能的.,补例,解,极限不存在,洛必达法则失效。,注意：,洛必达法则的使用条件,(3)洛必达法则与其它求极限方法结合使用，效果更好,特别是用之前要把极限的已知部分分离出来.,解,分母中的tan,x,用等价的无穷小x代替了.,分子用三角函数公式换作tan,2,x,更简单,这里是又用了一次洛必达法则.,小结,解,关键:,化为洛必达法则可解决的类型 .,步骤:,此题转换为,试试看,（转换为）,步骤:,例,解,解,解 取对数,解,又例,解,小结,洛必达法则,作业P68 1.4.2(1)(5)，1.4.3(4),1.4.4(1)(2)(4)，1.4.5.,又例,解,注意:,函数的不可导点,也可能是函数的极值点.,x,=0点，下面再举一例,思考题,下述命题正确吗？,思考题解答,不正确,例,注意,定理1.4.2 是必要条件，而定理1.4.3 及后面的定理1.4.4是充分条件，且都是在可导的前提下得出的,点击图片任意处播放暂停,例4,解,如图,解得,思考题,思考题解答,结论不成立.,因为最值点不一定是内点.,例,在 有最小值，但,