求导数的方法法则与公式.ppt

,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,求导数的方法法则与公式,一、函数和、差、积、商的求导法则,如果函数,u,(,x,),和,v,(,x,),是,x,的可导函数,则它们的和、差、积、商,(,分母不为零,),也是,x,的可导函数,并且,(1),u,v,=,u,v,(2),(,u,v,)=,u,v,+,uv,(3),特别,推论,:,(2),Cf,(,x,),=,Cf,(,x,),(1),(3),例,1.,求,y,=,x,3,2,x,2,+sin,x,的导数,解,:,y,=(,x,3,2,x,2,+sin,x,),=(,x,3,),(2,x,2,)+(sin,x,),=3,x,2,4,x,+cos,x,例,2.,求,y,=sin2,x,ln,x,的导数,解,:,y,=2sin,x,cos,x,ln,x,y,=2(sin,x,),cos,x,ln,x,+2sin,x,(cos,x,)ln,x,+2sin,x,cos,x,(ln,x,),=2cos,x,cos,x,ln,x,+2sin,x,(sin,x,)ln,x,例,3.,求,y,=tan,x,的导数,解,:,=sec,2,x,即,(tan,x,),=sec,2,x,同理可得,:,(cot,x,),=csc,2,x,例,4.,求,y,=sec,x,的导数,解,:,=sec,x,tan,x,同理可得,:,(csc,x,),=csc,x,cot,x,即,(sec,x,),=sec,x,tan,x,二、复合函数的求导法则,如果函数,u,=,(,x,),在点,x,处可导,y,=,f,(,u,),在对应点,u,=,(,x,),处也可导,则有复合函数,y,=,f,(,x,),在点,x,可导,其导数为,:,即,复合函数的导数,等于函数对中间,变量的导数乘以中间变量对自变量的导,数,公式也可写成,公式还可推广到多次复合的情形,.,如,y,=,f,(,u,),，,u,=,(,v,),v,=,g,(,x,),则,关键,:,搞清复合函数结构,由外向内逐层求导,.,例,5.,求,y,=lnsin,x,的导数,解,:,y,=ln,u,u,=sin,x,=cot,x,求复合函数的导数的关键,:,对复合函数进行正确的分解,三、用复合函数求导法则求隐函数的导数,由方程,F,(,x,y,)=0,确定了,y,是,x,的函数,这样的函数称为,隐函数,.,隐函数求导法则,:,用复合函数求导法则直接对方程,两边求导,.,下面介绍不必显化，就能直接求出隐函,数导数的方法,.,隐函数,求导方法,:,两边对,x,求导,(,含导数 的方程,),例,6.,求,xy,+ln,y,=1,所确定的隐函数的,导数,y,解,:,方程两边对,x,求导得,:,且(y)0,则它的反函数y=f(x)在对应区,(2)Cf(x)=Cf(x),设函数x=(t)具有单调连续的反函数,(含导数 的方程),如 y=f(u)，u=(v),v=g(x),则,即反函数的导数等于直接函数的导,(1)uv=uv,五、指数函数y=ax(a0,且a1)的导数,求下列函数的n阶导数:,则它们的和、差、积、商(分母不为零),求下列函数的n阶导数:,=(x3)(2x2)+(sinx),这样的函数称为隐函数.,求y=secx的导数,则它们的和、差、积、商(分母不为零),求y=lnsinx的导数,求复合函数的导数的关键:,例,7.,设,x,4,xy,+,y,4,=1,求,y,在点,(0,1),处的值,解,:,方程两边对,x,求导得,:,4,x,3,yxy,+4,y,3,y,=0 (1),方程,(1),两边再对,x,求导得,:,12,x,2,2,y,xy,+12,y,2,(,y,),2,+4,y,3,y,=0 (2),(1),(2),分别代入,x,=0,y,=1,得,例,8.,求曲线,3,y,2,=,x,2,(,x,+1),在点,(2,2),处的切,线方程,解,:,方程两边对,x,求导得,:,6,yy,=3,x,2,+2,x,因而所求切线方程为,:,即,4,x,3,y,2=0,例,9.,求椭圆,在点,处的切线方程,.,解,:,椭圆方程两边对,x,求导,故切线方程为,即,四,.,任意指数的幂函数,y,=,x,(,R,),的导数,对数求导法,:,先对等式两边取对数,然后根据隐,函数的求导法求出导数,对,y,=,x,两边取对数,得,:,ln,y,=,ln,x,两端对,x,求导,得,:,即得,(,x,)=,x,1,五、指数函数,y,=,a,x,(,a,0,且,a,1,),的导数,两边取对数,得,:,ln,y,=,x,ln,a,两端对,x,求导,得,:,即得,(,a,x,)=,a,x,ln,a,y,=,y,ln,a,特别,(,e,x,)=,e,x,例,11.,设,解 令,例,12.,解,例,13.,求函数 的导数,解,:,例,14.,解,:,例,15.,求,(,x,2),的导数,解,:,六、反函数的求导法则,设函数,x,=,(,y,),在某区间,I,y,内单调可导,且,(,y,),0,则它的反函数,y,=,f,(,x,),在对应区,间,I,x,也可导,且有,或,即反函数的导数等于直接函数的导,数的倒数,x,=,(,y,),1=,(,y,),y,例,16.,求函数,y,=arcsin,x,的导数,解,:,其反函数,x,=sin,y,在,(/2,/2),内单调,可导,且,(sin,y,),=cos,y,0,在,(,1,1),内有,:,故,同理有,:,求导数的方法法则与公式,先对等式两边取对数,然后根据隐,如果函数u=(x)在点x处可导,y=f(u),同理可得:(cscx)=cscxcotx,y=(x32x2+sinx),即反函数的导数等于直接函数的导,一、函数和、差、积、商的求导法则,且(y)0,则它的反函数y=f(x)在对应区,(2)Cf(x)=Cf(x),二、复合函数的求导法则,用复合函数求导法则直接对方程,且(y)0,则它的反函数y=f(x)在对应区,例,17.,证明,证：,y,=arc tan,x,是,x,=tan,y,在,上的反函数,x,=tan,y,在,内单调，可导，且,例,18.,求函数,的导数,解,:,确定,y,与,x,间的函,数关系,称此为,由参数方程所确定的函数,七、由参数方程所确定的函数的导数,若参数方程,例如,消去参数,t,设函数,x,=,(,t,),具有单调连续的反函数,t,=,1,(,x,),问题,:,消参困难或无法消参如何求导,?,设函数,x,=,(,t,),y,=,f,(,t,),都可导,且,(,t,)0,由复合函数和反函数的求导法则,有,:,即,则,y,=,f,1,(,x,),例,19.,求摆线,在 处的,切线方程,解,:,=1,当,时,所求切线方程为,:,即,例,20.,求下列函数的,n,阶导数,:,(1),y,=,x,n,(2),y,=,e,x,(3),y,=sin,x,解,:(1),y,=,nx,n,1,y,=,n,(,n,1),x,n,2,.,(,x,n,),(,n,),=,n,!,(2),y,=,e,x,y,=,e,x,.,(,e,x,),(,n,),=,e,x,(3),y,=cos,x,y,=sin,x,y,=cos,x,y,(4),=sin,x,.,同理,谢谢观看,谢谢观看,