2019届江苏专用高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.4直线与圆圆与圆的位置关系讲义理苏教版.ppt

,9.4,直线与圆、圆与圆的位置关系,基础知识自主学习,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,基础知识自主学习,1.,判断直线与圆的位置关系常用的两种方法,(1),几何法：利用圆心到直线的距离,d,和圆半径,r,的大小关系,.,相交；,相切；,相离,.,知识梳理,(2),代数法：,d,r,相交,相切,相离,2.,圆与圆的位置关系,设圆,O,1,：,(,x,a,1,),2,(,y,b,1,),2,(,r,1,0),，,圆,O,2,：,(,x,a,2,),2,(,y,b,2,),2,(,r,2,0).,方法,位置关系,几何法：圆心距,d,与,r,1,，,r,2,的关系,代数法：联立两圆方程组成方程组的解的情况,外离,_,_,外切,_,_,d,r,1,r,2,无解,d,r,1,r,2,一组实数解,相交,_,_,内切,_,(,r,1,r,2,),_,内含,_,(,r,1,r,2,),_,|,r,1,r,2,|,d,r,1,r,2,d,|,r,1,r,2,|,0,d,|,r,1,r,2,|,两组不同的实数解,一组实数解,无解,知识拓展,1.,圆的切线方程常用结论,(1),过圆,x,2,y,2,r,2,上一点,P,(,x,0,，,y,0,),的圆的切线方程为,x,0,x,y,0,y,r,2,.,(2),过圆,(,x,a,),2,(,y,b,),2,r,2,上一点,P,(,x,0,，,y,0,),的圆的切线方程为,(,x,0,a,),(,x,a,),(,y,0,b,)(,y,b,),r,2,.,(3),过圆,x,2,y,2,r,2,外一点,M,(,x,0,，,y,0,),作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为,x,0,x,y,0,y,r,2,.,2.,圆与圆的位置关系的常用结论,(1),两圆的位置关系与公切线的条数：,内含：,0,条；,内切：,1,条；,相交：,2,条；,外切：,3,条；,外离：,4,条,.,(2),当两圆相交时，两圆方程,(,x,2,，,y,2,项系数相同,),相减便可得公共弦所在直线的方程,.,思考辨析,判断下列结论是否正确,(,请在括号中打,“,”,或,“”,),(1),如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切,.(,),(2),如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交,.(,),(3),从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程,.(,),(4),过圆,O,：,x,2,y,2,r,2,上一点,P,(,x,0,，,y,0,),的圆的切线方程是,x,0,x,y,0,y,r,2,.(,),(5),过圆,O,：,x,2,y,2,r,2,外一点,P,(,x,0,，,y,0,),作圆的两条切线，切点分别为,A,，,B,，则,O,，,P,，,A,，,B,四点共圆且直线,AB,的方程是,x,0,x,y,0,y,r,2,.(,),考点自测,1.(2017,南京月考,),直线,x,ay,1,0,与圆,x,2,(,y,1),2,4,的位置关系是,_.,答案,解析,相交,直线,x,ay,1,0,必过定点,(,1,0),，,因为,(,1),2,(0,1),2,1,，,而圆心,O,到直线,ax,by,1,的距离,所以直线与圆相交,.,(2)(2016,南京月考,),圆,x,2,y,2,2,x,4,y,0,与直线,2,tx,y,2,2,t,0(,t,R,),的位置关系为,_.,答案,解析,相交,直线,2,tx,y,2,2,t,0,恒过点,(1,，,2),，,1,2,(,2),2,2,1,4,(,2),50),，,圆心坐标为,M,(0,，,a,),，半径,r,1,为,a,，,圆心,M,到直线,x,y,0,的距离,d,，,由勾股定理得,a,2,，解得,a,2.,又,圆,N,的圆心坐标,N,(1,1),，半径,r,2,1,，,M,(0,2),，,r,1,2.,MN,，,r,1,r,2,3,，,r,1,r,2,1.,r,1,r,2,MN,r,1,r,2,，,两圆相交,.,(2),如果圆,C,：,x,2,y,2,2,ax,2,ay,2,a,2,4,0,与圆,O,：,x,2,y,2,4,总相交，那么实数,a,的取值范围是,_.,圆,C,的标准方程为,(,x,a,),2,(,y,a,),2,4,，圆心坐标为,(,a,，,a,),，半径为,2.,答案,解析,依题意得,0 2,2,，,0|,a,|.,a,(,，,0),(0,).,判断圆与圆的位置关系时，一般用几何法，其步骤为,(1),确定两圆的圆心坐标和半径长,.,(2),利用平面内两点间的距离公式求出圆心距,d,，求,r,1,r,2,，,|,r,1,r,2,|.,(3),比较,d,，,r,1,r,2,，,|,r,1,r,2,|,的大小，写出结论,.,思维升华,跟踪训练,2,已知两圆,x,2,y,2,2,x,6,y,1,0,和,x,2,y,2,10,x,12,y,m,0.,(1),m,取何值时两圆外切；,解答,两圆的标准方程分别为,(,x,1),2,(,y,3),2,11,，,(,x,5),2,(,y,6),2,61,m,，,圆心分别为,M,(1,3),，,N,(5,6),，半径分别为,和,.,当两圆外切时，,解得,m,25,.,(2),m,取何值时两圆内切；,解答,当两圆内切时，,因为定圆的半径,小于两圆圆心间距离,5,，,故只有,5,，,解得,m,25,.,(3),求,m,45,时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长,.,解答,两圆的公共弦所在直线方程为,(,x,2,y,2,2,x,6,y,1),(,x,2,y,2,10,x,12,y,45),0,，,即,4,x,3,y,23,0,，,所以公共弦长为,题型三直线与圆的综合问题,命题点,1,求弦长问题,例,3,(2016,全国丙卷,),已知直线,l,：,mx,y,3,m,0,与圆,x,2,y,2,12,交于,A,，,B,两点，过,A,，,B,分别做,l,的垂线与,x,轴交于,C,，,D,两点，若,AB,，则,CD,_.,4,答案,解析,设,AB,的中点为,M,，由题意知，圆的半径,R,，,AB,，,所以,OM,3,，解得,m,，,解得,A,(,3,，,),，,B,(0,，,),，,则,AC,的直线方程为,y,(,x,3),，,BD,的直线方程为,y,，,令,y,0,，解得,C,(,2,0),，,D,(2,0),，所以,CD,4.,命题点,2,直线与圆相交求参数范围,例,4,(2015,课标全国,),已知过点,A,(0,1),且斜率为,k,的直线,l,与圆,C,：,(,x,2),2,(,y,3),2,1,交于,M,，,N,两点,.,(1),求,k,的取值范围；,解答,由题设，可知直线,l,的方程为,y,kx,1,，,因为,l,与,C,交于两点，所以,1.,解得,k,.,所以,k,的取值范围为,.,(2),若,12,，其中,O,为坐标原点，求,MN,.,解答,设,M,(,x,1,，,y,1,),，,N,(,x,2,，,y,2,).,将,y,kx,1,代入方程,(,x,2),2,(,y,3),2,1,，整理得,(1,k,2,),x,2,4(1,k,),x,7,0.,所以,x,1,x,2,，,x,1,x,2,.,x,1,x,2,y,1,y,2,(1,k,2,),x,1,x,2,k,(,x,1,x,2,),1,8.,由题设可得,8,12,，解得,k,1,，,故圆心,C,在,l,上，所以,MN,2.,所以,l,的方程为,y,x,1.,命题点,3,直线与圆相切的问题,例,5,已知圆,C,：,(,x,1),2,(,y,2),2,10,，求满足下列条件的圆的切线方程,.,(1),与直线,l,1,：,x,y,4,0,平行；,解答,设切线方程为,x,y,b,0,，,切线方程为,x,y,1,0.,(2),与直线,l,2,：,x,2,y,4,0,垂直；,解答,设切线方程为,2,x,y,m,0,，,切线方程为,2,x,y,0.,过切点,A,(4,，,1),的切线斜率为,3,，,过切点,A,(4,，,1),的切线方程为,y,1,3(,x,4),，,即,3,x,y,11,0.,解答,(3),过切点,A,(4,，,1).,直线与圆综合问题的常见类型及解题策略,(1),处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形,.,(2),圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题,.,思维升华,跟踪训练,3,(1)(2015,课标全国,改编,),过三点,A,(1,3),，,B,(4,2),，,C,(1,，,7),的圆交,y,轴于,M,、,N,两点，则,MN,_.,答案,解析,由已知，得,(3,，,1),，,(,3,，,9),，,则,3,(,3),(,1),(,9),0,，,所以,，即,AB,BC,，,故过三点,A,、,B,、,C,的圆以,AC,为直径，,令,x,0,，得,(,y,2),2,24,，,得其方程为,(,x,1),2,(,y,2),2,25,，,解得,y,1,2,，,y,2,2,，,所以,MN,|,y,1,y,2,|,.,(2),若直线,x,cos,y,sin,1,0,与圆,(,x,1),2,(,y,sin,),2,相切，且,为,锐角，则该直线的斜率是,_.,答案,解析,依题意得，圆心到直线的距离等于半径，,即,|,cos,sin,2,1|,，,|,cos,cos,2,|,，,所以,cos,cos,2,或,cos,cos,2,(,不符合题意，舍去,).,由,cos,cos,2,，得,cos,，,又,为锐角，所以,sin,，,故该直线的斜率是,.,考点分析,与圆有关的最值问题及直线与圆相结合的题目是近年来高考高频小考点,.,与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面,.,解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化；直线与圆的综合问题主要包括弦长问题，切线问题及组成图形面积问题，解决方法主要依据圆的几何性质,.,高考中与圆交汇问题的求解,高频小考点,7,一、与圆有关的最值问题,典例,1,(1)(2015,湖南改编,),已知点,A,，,B,，,C,在圆,x,2,y,2,1,上运动，且,AB,BC,.,若点,P,的坐标为,(2,0),，则,的最大值为,_.,7,答案,解析,A,，,B,，,C,在圆,x,2,y,2,1,上，且,AB,BC,，,AC,为圆的直径，故,(,4,0),，,设,B,(,x,，,y,),，则,x,2,y,2,1,且,x,1,1,，,(,x,2,，,y,),，,(,x,6,，,y,).,当,x,1,时有最大值,7.,(2),过点,(,，,0),引直线,l,与曲线,y,相交于,A,，,B,两点，,O,为坐标,原点，当,AOB,的面积取最大值时，直线,l,的斜率等于,_.,答案,解析,S,AOB,OA,OB,sin,AOB,sin,AOB,.,当,AOB,时，,AOB,面积最大,.,此时,O,到,AB,的距离,d,.,即,kx,y,0.,设,AB,方程为,y,k,(,x,)(,k,0),，,由,d,，得,k,.,(,或,k,tan,OPH,).,二、直线与圆的综合问题,典例,2,(1)(2015,重庆改编,),已知直线,l,：,x,ay,1,0(,a,R,),是圆,C,：,x,2,y,2,4,x,2,y,1,0,的对称轴，过点,A,(,4,，,a,),作圆,C,的一条切线，切点为,B,，则,AB,_.,答案,解析,6,由于直线,x,ay,1,0,是圆,C,：,x,2,y,2,4,x,2,y,1,0,的对称轴，,圆心,C,(2,1),在直线,x,ay,1,0,上，,2,a,1,0,，,a,1,，,A,(,4,，,1).,AC,2,36,4,40.,又,r,2,，,AB,2,40,4,36,，,AB,6.,(2),在平面直角坐标系中，,A,，,B,分别是,x,轴和,y,轴上的动点，若以,AB,为直径,的,圆,C,与直线,2,x,y,4,0,相切，则圆,C,面积的最小值为,_.,答案,解析,AOB,90,，,点,O,在圆,C,上,.,设直线,2,x,y,4,0,与圆,C,相切于点,D,，,则点,C,与点,O,间的距离等于它到直线,2,x,y,4,0,的距离，,点,C,在以,O,为焦点，以直线,2,x,y,4,0,为准线的抛物线上，,当且仅当,O,，,C,，,D,共线时，圆的直径最小为,OD,.,又,OD,，,圆,C,的最小半径为,，,圆,C,面积的最小值为,课时作业,1.(2016,广州调研,),若点,A,(1,0),和点,B,(4,0),到直线,l,的距离依次为,1,和,2,，则这样的直线有,_,条,.,答案,解析,3,如图，分别以,A,，,B,为圆心，,1,2,为半径作圆,.,依题意得，直线,l,是圆,A,的切线，,A,到,l,的距离为,1,，,直线,l,也是圆,B,的切线，,B,到,l,的距离为,2,，,所以直线,l,是两圆的公切线，,共,3,条,(2,条外公切线，,1,条内公切线,).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,圆,C,2,的标准方程为,(,x,3),2,(,y,4),2,25,m,.,又圆,C,1,：,x,2,y,2,1,，,C,1,C,2,5.,又,两圆外切，,5,1,，解得,m,9.,2.,若圆,C,1,：,x,2,y,2,1,与圆,C,2,：,x,2,y,2,6,x,8,y,m,0,外切，则,m,_.,答案,解析,9,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,3.(2016,镇江模拟,),已知集合,M,(,x,，,y,)|,x,3,y,x,1,，,N,P,|,PA,，,A,(,1,0),，,B,(1,0),，则表示,M,N,的图形面积等于,_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,令,P,(,x,，,y,),，所以,(,x,1),2,y,2,2(,x,1),2,y,2,，,所以,x,2,6,x,y,2,1,0,，所以,(,x,3),2,y,2,8,，,所以点,P,的轨迹为以,(3,0),为圆心的圆及圆的内部,.,表示,M,N,的图形如图中阴影部分所示，,由于直线,y,x,3,过圆心,(3,0),，,圆心,(3,0),到直线,y,x,1,的距离为,，,直线,y,x,1,与圆的两个交点所对的圆心角为,，,所以阴影部分面积为,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,4.(2016,泰州模拟,),过点,P,(3,1),作圆,C,：,(,x,1),2,y,2,1,的两条切线，切点分别为,A,，,B,，则直线,AB,的方程为,_.,答案,解析,2,x,y,3,0,如图所示：,由题意知：,AB,PC,，,k,PC,，,k,AB,2,，,直线,AB,的方程为,y,1,2(,x,1),，,即,2,x,y,3,0.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,5.,若直线,l,：,y,kx,1(,k,0),与圆,C,：,x,2,4,x,y,2,2,y,3,0,相切，则直线,l,与圆,D,：,(,x,2),2,y,2,3,的位置关系是,_.,答案,解析,相交,因为圆,C,的标准方程为,(,x,2),2,(,y,1),2,2,，,所以其圆心坐标为,(,2,1),，半径为,，,因为直线,l,与圆,C,相切,.,所以,，解得,k,1,，,因为,k,0,，,N,(,x,，,y,)|(,x,1),2,(,y,),2,a,2,，,a,0,，且,M,N,，求,a,的最大值和最小值,.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,M,(,x,，,y,)|,y,，,a,0,，即,(,x,，,y,)|,x,2,y,2,2,a,2,，,y,0,，,表示以原点,O,为圆心，半径等于,的半圆,(,位于横轴或横轴以上的部分,).,N,(,x,，,y,)|(,x,1),2,(,y,),2,a,2,，,a,0,，,表示以,O,(1,，,),为圆心，半径等于,a,的一个圆,.,再由,M,N,，可得半圆和圆有交点，故半圆和圆相交或相切,.,当半圆和圆相外切时，由,OO,2,a,，得,a,2,；,当半圆和圆相内切时，由,OO,2,a,，得,a,2,，,故,a,的取值范围是,，,即,a,的最大值为,2,，最小值为,2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,*13.(2016,湖南六校联考,),已知直线,l,：,4,x,3,y,10,0,，半径为,2,的圆,C,与,l,相切，圆心,C,在,x,轴上且在直线,l,的右上方,.,(1),求圆,C,的方程；,解答,设圆心,C,(,a,0)(,a,),，,则,2,a,0,或,a,5(,舍,).,所以圆,C,的方程为,x,2,y,2,4.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(2),过点,M,(1,0),的直线与圆,C,交于,A,，,B,两点,(,A,在,x,轴上方,),，问在,x,轴正半轴上是否存在定点,N,，使得,x,轴平分,ANB,？若存在，请求出点,N,的坐标；若不存在，请说明理由,.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,当直线,AB,x,轴时，,x,轴平分,ANB,.,设直线,AB,的方程为,y,k,(,x,1),，,N,(,t,0),，,A,(,x,1,，,y,1,),，,B,(,x,2,，,y,2,),，,由,得,(,k,2,1),x,2,2,k,2,x,k,2,4,0,，,当直线,AB,的斜率存在时，,所以,x,1,x,2,，,x,1,x,2,.,若,x,轴平分,ANB,，,则,k,AN,k,BN,0,2,x,1,x,2,(,t,1)(,x,1,x,2,),2,t,0,2,t,0,t,4,，,所以当点,N,为,(4,0),时，能使得,ANM,BNM,总成立,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,