定积分概念性质[精编文档].ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,定积分概念性质,17,世纪，从实际需要中人们提出许多问题，归结起来有两类：速度问题、切线问题。导数研究了事物变化的速度，定积分则研究相反的问题：事物变化的累积和。如面积、路程、电量多少、变量作功等等。,本章将重点学习定积分的概念、几何意义及微积分基本定理。,前 言,4.1定积分概念,一、定积分的引入曲边梯形面积的求法,注：此“面积”一定是以x轴为一边的曲边梯形；,y,x,b,a,A,y=f(x),例如：求曲线y=x,2,、直线x=0、x=1和y=0所围成的面积？,如图所示,此问题的难点是图形有一边是曲的，如何求它的面积呢？,研究此问题的基础是已知矩形的面积公式S=长*宽=a*b，那么研究方法是,“无限细分，以直代曲”,，将曲边图形分划为若干个小矩形，用小矩形面积S,i矩,近似代替,小曲边梯形面积S,i曲,，,即:,x,y,y=x,2,1,A,0,如果右边的和式有极限（n），则极限值即为整个曲边梯形的面积，即：,如图所示：,1）将区间0,1n等分。,其分点分别为：,2）得n个小条形，每个小条形的宽均为,高则分别,取区间右端点x,i,(i=1,2,n)的函数值,3）相乘为第i个小矩形面积：,x,y,0,x,2,x,3,x,n,=1,x,n-1,y=x,2,x,0,x,1,4）第i个小曲边梯形面积近似：,5）曲边梯形面积S,曲,近似：,x,y,0,10,y=x,2,x,0,1,若取n=10,容易发现n越大（即区间分得越细）则此面积误差越小，6）直到用极限方法令n，得曲边梯形的精确值：,总结：求曲边梯形面积,的步骤,引例1曲边梯形的面积,（,演示,）,其中,设物体的运动速度,引例2变速直线运动的路程,分割区间,取近似值,作和,取极限,（1）细分区间,t,i-1,t,i,(2)取近似值,（3）作和,（4）取极限,T,1,T,2,v,t,曲边梯形面积A：,变速运动的路程 S：,记为,记为,二、,定积分的概念（,演示,）,定积分定义,如果当最大的子区间的长度 时，此和式有极限，则此极限叫作f(x)在 a，b上的定积分，,记为：,即,在定积分 中,其中“”为积分号（把字母s拉长），a，b为积分下限和上限，即积分变量x的范围：a,xb，又叫积分区间；f(x)为被积函数，f(x)dx称为被积表达式。,上例曲边图形的面积用定积分表示,注意,：据定义有如下说明:,(1)定积分是特殊和式极限,它是一个定数;,(2)定积分的大小仅与区间a,b和被积函数f(x)有关；,(3)规定：,1.若函数 在 上连续，,2.若函数 在 上,有界,，,且只有有限个间断点,，,三、,定积分存在的充分条件,则 在 上可积,。,则 在 上可积,。,有界是函数在区间a,b上可积的必要条件。,表示曲线 与 x 轴围成的图形面积的,代数和,。,表示曲线 与 x 轴围成的图形面积。,四、,定积分的几何意义（,演示,）,a,b,A,1,A,2,A,3,（1）,（2）,（2）若 是奇函数，则,（1）若 是偶函数，则,a,-a,五、,定积分的几何性质,-a,a,由,定积分几何意义可得：,补充规定,：,a,b,x,x+dx,定积分几何意义的应用,1,4,2,8,1,7,3,0,x,y,-3,3,把区间,分成n等份，每份长,，各分点是：,解,因为 在 上连续，所以 存在,例,用定义求定积分,=,规定,：,a,b,x,x+dx,六、,定积分的基本性质,无论 a,b,c 的相对位置如何，（3）式均成立。,可推广至有限个函数的代数和的情形。,b,c,a,a,c,b,定积分的基本性质,.,.,则有,推论1,设,，对任意,b,a,b,a,dx,x,g,dx,x,f,),(,),(,（5）对任意,)0，则有,(,x,f,.,性质6（介值定理）：,设f(x)在a,b上可取得最大值M和最小值m，于是，由性质5有,.,几何意义也很明显,再根据闭区间上的联系函数的介值定理可得,如果变速直线运动物体的运动方程是,S=S(t),，则在时间段T,1,T,2,内所发生的位移变化为,S(T,2,)-S(T,1,),如果物体的运动方程为V=V(t)，则由定积分可知,连续函数,在区间,上的定积分等于它的一个,原函数,在积分区间上的增量,微积分基本公式,而,？,微积分基本公式（一）变上限的积分定理,a,x,b,证明思路 参见书,例1,例2,解：用分点0插分区间x,-2x,例3,例4,设,在区间,上,连续,，,是它的,任意一个原函数，,则有,微积分基本公式（二）牛顿莱布尼兹公式,证明思路,记作,例2 求下列定积分,解,因为,在,上连续，,是它的一个原函数,所以,或,解 原式,几何意义,解,原式,几何意义,解,原式,解,原式,合理应用对称区间上,奇偶函数的积分性质，,简化定积分的计算。,解,设,，求,分段函数的积分,计算，应分区间,选取相应的函数,函数在x=1处间断,exit,引例曲边梯形的面积,exit,定积分的定义,exit,定积分的几何意义,exit,估值定理,exit,积分中值定理,牛顿-莱布尼兹公式,返回,若,是奇函数，则,若,是偶函数，则,a,-a,定积分的几何意义,是偶函数，是奇函数。,-a,a,偶函数,奇函数,广义积分*,定义 假设对 在a,b 有定义且可积，,(1)对于a,+上的无穷积分,如果 存在，我们称 收敛，,且定义：,否则，称 发散。,(2),对于-，b的无穷积分,如果 存在，我们称 收敛，,且定义：,否则，称 发散,。,广义积分*,（3）对于区间（-，+）的无穷积分,如果 =A+B.,如果右边每一个无穷积分都存在，我们称 收敛，,如果其中之一不存在,，,则 发散,。,广义积分*,例1,求,解,首先我们考察求,广义积分*,例2,讨论广义积分 的敛散性,。,例3,求广义积分,。,