2019-2020年北京专用高考数学一轮复习第五章平面向量第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例讲义理.ppt

,总纲目录,教材研读,考点突破,栏目索引,第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例,总纲目录,教材研读,1.,平面向量的数量积,考点突破,2.,向量的数量积的性质,3.,向量的数量积的运算律,考点二平面向量数量积的应用,考点一平面向量数量积的运算,4.,平面向量的数量积的坐标表示,考点三平面向量与三角函数的综合问题,教材研读,1.平面向量的数量积,(1)向量,a,与,b,的夹角,已知两个非零向量,a,b,过,O,点作,=,a,=,b,则,AOB,=,(0,180,),叫做向量,a,与,b,的夹角.,当,=90,时,a,与,b,垂直,记作,a,b,;,当,=0,时,a,与,b,同向;,当,=180,时,a,与,b,反向.,(2),a,与,b,的数量积,已知两个非零向量,a,和,b,它们的夹角为,则把数量|,a,|,b,|cos,叫做,a,和,b,的数量积(或内积),记作,a,b,=,|,a,|,b,|cos,.,(3)规定0,a,=0.,(4)一个向量在另一个向量方向上的投影,设,是,a,与,b,的夹角,则|,a,|cos,叫做,a,在,b,的方向上的投影,|,b,|cos,叫做,b,在,a,的方向上的投影.一个向量在另一个向量方向上的投影是一个实数,而,不是向量.,(5),a,b,的几何意义,a,b,等于,a,的长度|,a,|与,b,在,a,的方向上的投影|,b,|cos,的乘积.,2.向量的数量积的性质,设,a,、,b,都是非零向量,e,是与,b,方向相同的单位向量,是,a,与,e,的夹角,则,(1),e,a,=,a,e,=|,a,|cos,.,(2),a,b,a,b,=0,.,(3)当,a,与,b,同向时,a,b,=|,a,|,b,|.,当,a,与,b,反向时,a,b,=-|,a,|,b,|.,特别地,a,a,=|,a,|,2,.,(4)cos,=,.,(5)|,a,b,|,|,a,|,b,|.,3.向量的数量积的运算律,(1),a,b,=,b,a,.,(2)(,a,),b,=,(,a,b,)=,a,(,b,)(,R).,(3)(,a,+,b,),c,=,a,c,+,b,c,.,4.平面向量的数量积的坐标表示,(1)若,a,=(,x,1,y,1,),b,=(,x,2,y,2,),则,a,b,=,x,1,x,2,+,y,1,y,2,.,(2)若,a,=(,x,y,),则,a,a,=,a,2,=|,a,|,2,=,x,2,+,y,2,|,a,|=,.,(3)若,A,(,x,1,y,1,),B,(,x,2,y,2,),则|,|=,这就是平面内,两点间的距离公式.,(4)若,a,=(,x,1,y,1,),b,=(,x,2,y,2,),a,b,为非零向量,则,a,b,x,1,x,2,+,y,1,y,2,=0,.,1.(2017北京东城一模,5)已知向量,a,b,满足2,a,+,b,=0,a,b,=-2,则(3,a,+,b,)(,a,-,b,)=,(),A.1B.3 C.4 D.5,B,答案,B2,a,+,b,=0,a,与,b,的夹角为,且|,b,|=2|,a,|,又,a,b,=-2,|,a,|,b,|cos=-2,|,a,|=1,|,b,|=2,故(3,a,+,b,)(,a,-,b,)=3|,a,|,2,-2,a,b,-|,b,|,2,=3,1-2,(-2)-4=3.,2.已知向量,a,与向量,b,的夹角为60,|,a,|=|,b,|=1,则|,a,-,b,|=,(),A.3B.,C.2-,D.1,D,答案,D|,a,-,b,|,2,=,a,2,-2,a,b,+,b,2,=2-2,1,1,cos 60,=1,|,a,-,b,|=1,故选D.,3.(2017北京,6,5分)设,m,n,为非零向量,则“存在负数,使得,m,=,n,”是“,m,n,0”的,(),A.充分而不必要条件,B.必要而不充分条件,C.充分必要条件,D.既不充分也不必要条件,A,答案,A由存在负数,使得,m,=,n,可得,m,、,n,共线且反向,夹角为180,则,m,n,=-|,m,|,n,|0,故充分性成立.由,m,n,0,可得,m,n,的夹角为钝角或180,故,必要性不成立.故选A.,4.已知等边,ABC,的边长为3,D,是,BC,边上一点,若,BD,=1,则,的值,是,6,.,答案,6,解析,由题意知,=,(,+,)=,+,=9+3,2,cos,=6.,5.在平面向量,a,b,中,已知,a,=(1,3),b,=(2,y,).如果,a,b,=5,那么,y,=,1,;如果|,a,+,b,|=|,a,-,b,|,那么y=,-,.,答案,1;-,解析,因为,a,b,=1,2+3,y,=5,所以,y,=1.,因为|,a,+,b,|=|,a,-,b,|,所以|,a,+,b,|,2,=|,a,-,b,|,2,即2,a,b,=-2,a,b,所以,a,b,=0,即1,2+3,y,=0,所以,y,=-,.,6.(2017北京海淀期中)已知正方形,ABCD,的边长为1,E,是线段,CD,的中点,则,=,.,答案,解析,由题意可得,=0,AD,=,AB,=1,=,(,-,),=,-,-,=1-0-,=,.,考点一平面向量数量积的运算,考点突破,典例1,(1)(2017北京石景山一模,7)如图,在矩形,ABCD,中,AB,=,BC,=2,点,E,为,BC,的中点,点,F,在边,CD,上,若,=,则,的值是,(),A.2-,B.1C.,D.2,(2)(2017北京海淀二模,13)在四边形,ABCD,中,AB,=2.若,=,(,+,),则,=,2,.,C,答案,(1)C(2)2,解析,(1)解法一:以,A,为原点,AB,所在直线为,x,轴,AD,所在直线为,y,轴建立,平面直角坐标系,则,A,(0,0),B,(,0),E,(,1),设,F,(,x,2),则,=(,x,2),又,=(,0),=,x,=,x,=1,F,(1,2),易知,=(,1),=(1-,2),=,(1-,)+2=,.,解法二:,=|,|,|cos,BAF,=,|,|=,|,|cos,BAF,=1,即|,|=1,|,|=,-1,=(,+,)(,+,),=,+,+,+,=,+,=,(,-1),(-1)+1,2,1,=,.,(2)由题意可知,=,(,+,)=,=,=,=,|,|,2,=2.,方法技巧,向量数量积的两种计算方法,(1)当已知向量的模和夹角,时,可利用定义法求解,即,a,b,=|,a,|,b,|cos,.,(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若,a,=(,x,1,y,1,),b,=(,x,2,y,2,),则,a,b,=,x,1,x,2,+,y,1,y,2,.,1-1,(2018北京朝阳高三期中,6)如图,在直角梯形,ABCD,中,AB,CD,AD,DC,E,是,CD,的中点,DC,=1,AB,=2,则,=,(),A.,B.-,C.1D.-1,答案,D,AB,CD,AD,DC,AD,AB,=0,=(,+,),=,=-,2=-1,故选D.,D,典例2,平面向量,a,与,b,的夹角是,且|,a,|=1,|,b,|=2,如果,=,a,+,b,=,a,-3,b,D,是,BC,的中点,那么|,|=(),A.,B.2,C.3D.6,考点二平面向量数量积的应用,命题方向一模的问题,A,答案,A,解析,因为,D,为,BC,的中点,所以,=,(,+,).又因为,=,a,+,b,=,a,-,3,b,所以,=,a,-,b,所以|,|,2,=(,a,-,b,),2,=,a,2,+,b,2,-2,a,b,=1,2,+2,2,-2,1,2,cos,=5-2=3.,因此|,|=,.故选A.,典例3,已知非零向量,m,n,满足4|,m,|=3|,n,|,cos=,若,n,(,tm,+,n,),则实,数,t,的值为,(),A.4B.-4,C.,D.-,命题方向二垂直问题,B,答案,B,解析,n,(,tm,+,n,),n,(,tm,+,n,)=0,即,tm,n,+|,n,|,2,=0,t,|,m,|,n,|cos+|,n,|,2,=0.,又4|,m,|=3|,n,|,cos=,t,|,n,|,2,+|,n,|,2,=0,n,为非零向量,t,+1=0,解得,t,=-4.,典例4,(1)(2017北京海淀一模,12)若非零向量,a,b,满足,a,(,a,+,b,)=0,2|,a,|=|,b,|,则向量,a,b,的夹角为,.,(2)已知向量,a,b,满足(,a,+2,b,)(,a,-,b,)=-6,且|,a,|=1,|,b,|=2,则,a,与,b,的夹角为,.,命题方向三夹角问题,答案,(1),(2),解析,(1)设,a,与,b,的夹角为,因为,a,(,a,+,b,)=0,所以,a,a,+,a,b,=0,|,a,|,a,|+|,a,|,b,|,cos,=0,又因为2|,a,|=|,b,|,0,所以|,a,|,a,|+2|,a,|,a,|cos,=0,所以1+2cos,=0,所以cos,=,-,从而,=,.,(2)由(,a,+2,b,)(,a,-,b,)=-6,得,a,2,-2,b,2,+,a,b,=-6,又|,a,|=1,|,b,|=2,a,b,=1,设向量,a,与,b,的夹角为,则cos,=,=,又0,故,=,.,方法技巧,平面向量数量积的应用类型及求解策略,(1)求两向量的夹角:cos,=,要注意0,.,(2)两向量垂直的应用:,a,b,a,b,=0,|,a,-,b,|=|,a,+,b,|.,(3)求向量的模:利用数量积求解长度问题的处理方法有,a,2,=,a,a,=|,a,|,2,或|,a,|=,.,|,a,b,|=,.,若,a,=(,x,y,),则|,a,|=.,2-1,(2014北京,10,5分)已知向量,a,b,满足|,a,|=1,b,=(2,1),且,a,+,b,=0(,R),则|,|=,.,答案,解析,a,+,b,=0,即,a,=-,b,|,|,a,|=|,b,|.,|,a,|=1,|,b,|=,|,|=,.,2-2,已知平面向量,a,b,满足,a,=(1,-1),(,a,+,b,)(,a,-,b,),那么|,b,|=,.,答案,解析,(,a,+,b,)(,a,-,b,),(,a,+,b,)(,a,-,b,)=0,即,a,2,-,b,2,=0,|,a,|=|,b,|.,又,a,=(1,-1),|,b,|=|,a,|=,.,典例5,已知平面向量,a,=(sin,x,cos,x,),b,=(sin,x,-cos,x,),c,=(-cos,x,-sin,x,),x,R,函数,f,(,x,)=,a,(,b,-,c,).,(1)求函数,f,(,x,)的单调递减区间;,(2)若,f,=,求sin,的值.,考点三平面向量与三角函数的综合问题,解析,(1)因为,b,=(sin,x,-cos,x,),c,=(-cos,x,-sin,x,),所以,b,-,c,=(sin,x,+cos,x,sin,x,-cos,x,),又,a,=(sin,x,cos,x,),所以,f,(,x,)=,a,(,b,-,c,)=sin,x,(sin,x,+cos,x,)+cos,x,(sin,x,-cos,x,),则,f,(,x,)=sin,2,x,+2sin,x,cos,x,-cos,2,x,=sin 2,x,-cos 2,x,=,sin,.,当2,k,+,2,x,-,2,k,+,k,Z,即,k,+,x,k,+,k,Z时,函数,f,(,x,)为减函数,所以函数,f,(,x,)的单调递减区间是,k,Z.,(2)由(1)知,f,(,x,)=,sin,因为,f,=,所以,sin,=,所以sin,=,.,又sin,2,+cos,2,=1,所以cos,=,.,又sin,=sin,=sin,cos,+cos,sin,.,所以当cos,=,时,sin,=,+,=,;,当cos,=-,时,sin,=,+,=,.,综上,sin,的值为,或,.,方法技巧,求解平面向量与三角函数综合问题的一般思路,(1)求三角函数值,一般利用向量的相关运算得出三角函数关系式.利用,同角三角函数的基本关系及三角函数中的常用公式求解.,(2)求角时通常将向量问题转化为三角函数问题,先求三角函数值再求,角.,(3)解决与向量有关的三角函数问题所用的主要思想方法是转化与化归,的数学思想,即通过向量的相关运算把问题转化为三角函数问题.,3-1,已知,ABC,的角,A,、,B,、,C,所对的边分别是,a,、,b,、,c,设向量,m,=(,a,b,),n,=(sin,B,sin,A,),p,=(,b,-2,a,-2).,(1)若,m,n,求证:,ABC,为等腰三角形;,(2)若,m,p,边长,c,=2,角,C,=,求,ABC,的面积.,解析,(1)证明:,m,n,a,sin,A,=,b,sin,B,即,a,=,b,其中,R,是,ABC,外接圆的半径,a,=,b,.,ABC,为等腰三角形.,(2)由题意可知,m,p,=0,即,a,(,b,-2)+,b,(,a,-2)=0.,a,+,b,=,ab,.,由余弦定理可知,4=,a,2,+,b,2,-,ab,=(,a,+,b,),2,-3,ab,即(,ab,),2,-3,ab,-4=0,ab,=4(,ab,=-1舍去),ABC,的面积,S,=,ab,sin,C,=,4,sin,=,.,即(,ab,),2,-3,ab,-4=0,ab,=4(,ab,=-1舍去),ABC,的面积,S,=,ab,sin,C,=,4,sin,=,.,