2019届泰安专版中考数学第一部分基础知识过关第四章图形的初步认识与三角形第17讲相似三角形讲义.ppt

*,*,总纲目录,泰安考情分析,基础知识过关,泰安考点聚焦,随堂巩固训练,栏目索引,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第,17,讲 相似三角形,泰安考情分析,基础知识过关,泰安考点聚焦,总纲目录,随堂巩固练习,泰安考情分析,基础知识过关,知识点一,成比例线段,知识点二,相似三角形,知识点四,位似定义,知识点三,相似多边形,知识点一,成比例线段,1.线段的比:,在,同一单位长度,下,两条线段的长度比叫做这两条线段的比.,2.比例线段:,在同一单位下,四条线段长度为,a,、,b,、,c,、,d,如果有,=,那么,a,、,b,、,c,、,d,这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段.,3.比例的性质,(1)基本性质:=,ad,=,bc,(,a,b,c,d,都不等于0),其中,b,、,c,叫做比例内项,a,、,d,叫做比例外项.特殊地,=,b,2,=,ac,b,叫做,a,、,c,的比例中项;,(2)合比性质:如果=,那么=(,bd,0);,(3)等比性质:如果=,=(,b,d,n,0,且,b,+,d,+,+,n,0),那么 =.,4.平行线分线段成比例,(1)平行线分线段成比例定理:两条直线被一组平行线所截,所得,对应线段,成比例,.如图,当,l,3,l,4,l,5,时,有=,=,=等;,(2)平行线分线段成比例定理的推论:平行于三角形一边的直线截,其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例.,知识点二,相似三角形,1.相似三角形的定义:,对应角相等,对应边成比例,的两个三角形叫做相似三角形.全等三角形是特殊的相似三角形,其相似比为,1,.,2.,相似三角形的性质,(1),相似三角形的对应角,相等,对应边,成比例,;,(2),相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的,比、周长的比都等于,相似比,;,(3),相似三角形的面积之比等于,相似比的平方,.,3.相似三角形的判定,(1),平行,于三角形一边的直线与其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似;,(2)三边对应成比例的两个三角形相似;,(3),两边对应成比例且夹角相等,的两个三角形相似;,(4),两组角,分别相等的两个三角形相似.,温馨提示,两个直角三角形相似的判定方法除可以运用一般三,角形相似的判定方法外,还可以运用,“,斜边与直角边对应成比例,的两个直角三角形相似,”,进行判定.此外,如图,在Rt,ABC,中,ACB,=90,CD,AB,则有以下结论:Rt,ACD,Rt,CBD,Rt,ABC,CD,2,=,AD,BD,AC,2,=,AD,AB,BC,2,=,BD,AB,.,4.利用相似三角形解决实际问题,在实际生活中利用影子测量树高、楼房高以及利用反射构造相,似等问题常用相似三角形的性质来解决.,知识点三,相似多边形,1.相似多边形的定义:,如果两个多边形的,角对应相等,边对应成比例,那么这两个多边形叫做相似多边形.,2.相似多边形的性质,(1)相似多边形的,对应角相等,对应边成比例,;,(2)相似多边形对应线段的比等于,相似比,;,(3)相似多边形周长的比等于,相似比,面积的比等于,相似比的平方,.,知识点四,位似定义,1.位似图形的定义,如果两个图形不仅是,相似图形,而且对应顶点连线相交于一点,那么这样的两个图形叫做位似图形,位似图形对应点连线的交点叫做,位似中心,.,2.,位似图形的性质,(1),位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于,相似比,;,(2),在平面直角坐标系中,如果是以原点为位似中心,相似比为,k,那,么位似图形对应点的坐标的比等于,k,或,-,k,.,3.利用位似将一个图形放大或缩小的步骤,(1)确定位似中心和位似比;,(2)确定原图形中关键点的对应点;,(3)画出新图形;,(4)在直角坐标系中,将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都,乘同一个数,k,(,k,0,1),所对应的图形与原图形构成位似图形,位似,中心是坐标原点,它们的相似比为|,k,|.,温馨提示,泰安中考题有逐步与其他地区试题接轨的趋势,动手,操作类知识点应该当做一个备考考点.,泰安考点聚焦,考点一,平行线分线段成比例,考点二,相似三角形的性质与判定,考点三,位似图形,考点一,平行线分线段成比例,例1,如图,AB,CD,EF,AF,与,BE,相交于点,G,且,AG,=2,GD,=1,DF,=5,那么=,.,解析,AG,=2,GD,=1,AD,=3,AB,CD,EF,=.,变式1-1,(2017岱岳模拟)已知,AB,CD,AD,与,BC,相交于点,O,.若,=,AD,=10,则,AO,=,4,.,解析,AB,CD,OA,OD,=,OB,OC,=23,=,又,AD,=10,OA,=,10=4.,考点二,相似三角形的性质与判定,中考解题指导,相似三角形的性质与判定是泰安中考的必考内,容.寻找相似三角形的条件时,要注意公共边、公共角、对顶角等,隐含条件.,例2,(2017泰安)如图,正方形,ABCD,中,M,为,BC,上一点,ME,AM,ME,交,AD,的延长线于点,E,.若,AB,=12,BM,=5,则,DE,的长为(,B,),A.18,B.,C.,D.,解析,设,ME,与,CD,交于点,G,.,四边形,ABCD,是正方形,AB,=12,BM,=5,MC,=12-5=7.,ME,AM,AME,=90,AMB,+,CMG,=90,.,AMB,+,BAM,=90,BAM,=,CMG,又,B,=,C,=90,ABM,MCG,=,即=,解得,CG,=,DG,=12-=.,AE,BC,E,=,CMG,EDG,=,C,MCG,EDG,=,即=,解得,DE,=.,变式2-1,(2018杭州)如图,在,ABC,中,AB,=,AC,AD,为,BC,边上的中,线,DE,AB,于点,E,.,(1)求证:,BDE,CAD,;,(2)若,AB,=13,BC,=10,求线段,DE,的长.,解析,(1)证明:,AB,=,AC,B,=,C,又,AD,为,BC,边上的中线,AD,BC,DE,AB,DEB,=,ADC,=90,BDE,CAD,.,(2)易知,BD,=,BC,=5,在Rt,ADB,中,AD,=12,由(1)易得=,=,DE,=.,方法技巧,三角形相似的证题思路:,1.有平行截线:用平行线的性质,找等角.,2.,有一对等角,:(1),找另一对等角,;(2),夹这对等角的两边对应成比,例,.,3.,有两边对应成比例,:(1),夹角相等,;(2),第三边也成比例,;(3),有一对直角,.,4.直角三角形:(1)找一锐角;(2)找斜边、直角边对应成比例.,5.等腰三角形:(1)顶角相等;(2)一对底角相等;(3)底和腰成比例.,考点三,位似图形,例3,(2017烟台)如图,在直角坐标系中,每个小方格的边长均为1,AOB,与,A,OB,是以原点,O,为位似中心的位似图形,且相似比为,32,点,A,B,都在格点上,则点,B,的坐标是,.,解析,由题意得,A,OB,与,AOB,的相似比为23,又,B,(3,-2),B,的坐标是 3,-2,即,B,的坐标是 .,变式3-1,(2018滨州)在平面直角坐标系中,线段,AB,两个端点的坐标分别为,A,(6,8),B,(10,2),若以原点,O,为位似中心,在第一象限内将线段,AB,缩短为原来的后得到线段,CD,则点,A,的对应点,C,的坐标,为(,C,),A.(5,1),B.(4,3),C.(3,4),D.(1,5),一、选择题,1.已知,ABC,DEF,若,ABC,与,DEF,的相似比为,则,ABC,与,DEF,对应中线的比为(,A,),A.,B.,C.,D.,随堂巩固训练,2.如图,DEF,是由,ABC,经过位似变换得到的,点,O,是位似中心,=,则,DEF,与,ABC,的面积比是(,A,),A.,B.,C.,D.,3.如图,ABC,中,AD,是中线,BC,=8,B,=,DAC,则线段,AC,的长为,(,B,),A.4,B.4,C.6,D.4,二、填空题,4.(2018四川成都)已知,=,=,且,a,+,b,-2,c,=6,则,a,的值为,12,.,解析,设=,k,(,k,0),则,a,=6,k,b,=5,k,c,=4,k,a,+,b,-2,c,=6,6,k,+5,k,-8,k,=6.,解得,k,=2.,a,=6,k,=12.,5.(2018泰安)九章算术是中国传统数学最重要的著作,在,“,勾股,”,章中有这样一个问题:,“,今有邑方二百步,各中开门,出,东门十五步有木,问:出南门几步而见木?,”,用今天的话说,大意是,如图,DEFG,是一座边长为200步(,“,步,”,是古代的长度单位)的正,方形小城,东门,H,位于,GD,的中点,南门,K,位于,ED,的中点,出东门15,步的,A,处有一树木,求出南门多少步恰好看到位于,A,处的树木(即,点,D,在直线,AC,上).则,KC,的长为,步.,解析,由题意易知,AHD,DKC,AH,=15步,HD,=100步,KD,=10,0步,=,解得,KC,=(步).,三、解答题,6.如图,ABC,为锐角三角形,AD,是,BC,边上的高,正方形,EFGH,的一边,FG,在,BC,上,顶点,E,H,分别在,AB,AC,上,已知,BC,=40 cm,AD,=30 cm.,(1)求证:,AEH,ABC,;,(2)求这个正方形的边长与面积.,解析,(1)证明:四边形,EFGH,为正方形,EH,BC,AEH,=,ABC,AHE,=,ACB,AEH,ABC,.,(2),AEH,ABC,=,设正方形边长为,x,cm,则,AM,=(3,0-,x,)cm,把,AD,=30 cm,BC,=40 cm代入,得,x,=.,则正方形边长为 cm,面积为 cm,2,.,