理论力学哈密顿理论在物理学中的应用.ppt

单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,理论力学哈密顿理论在物理学中的应用,8.2,电磁场的拉格朗日方程,8.3,薛定谔波动力学方程的建立,采用经典力学的哈密顿理论，加上电子具有波粒二象性的假设，以氢原子为例，建立定态波动力学方程。氢原子哈密顿函数为,比较(1)和(2)式,两者只相差无穷小量dq和dp,因此认为要得(1)式，可在(2)式的母函数中再加上一个无穷小量，即可取,N个粒子构成 空间(6 维空间).,这群代表点在 空间中的分布一般是不均匀的，因此可引入代表点密度的概念。,(5)式正则变换称为无穷小正则变换。,N个粒子构成 空间(6 维空间).,F2(q,P)qP+H(q,p,t)dt (6),dQ1 dQs dP1 dPs=Ddq1 dqs dp1 dps (7),因为dN1=dN2，所以要证明上式，只要证明d1=d2。,单个粒子相空间(6 维空间)：,理论力学哈密顿理论在物理学中的应用,1、证明一个粒子的一对正则变量q、p 从t 到 t+dt 的变化可看成是一种正则变换。,证明：统计系综的一个“样本”：力学体系有N个相同的粒子，每个粒子的坐标和动量为q、p。,8.4,刘维尔定理,相空间中统计系综的分布密度在运动过程中不变,。,证明,：统计系综的一个“样本”：力学体系有,N,个相同的粒子，每个粒子的坐标和动量为,q,、,p,。,统计系综是由与这个力学体系的组成完全相同，但初始条件不同的许多个“样本”组成。,单个粒子相空间,(6,维空间,),：,3,个坐标分量,q,，,3,个动量分量,p,。,N,个粒子构成,空间,(6,维空间,).,t,时刻，每个“样本”的,q,、,p,确定，因此,空间中的每一个点表示一个“样本”在某一时刻的状态，这样的点称为“代表点”。因此统计系综就是,空间中的一群代表点。,这群代表点在,空间中的分布一般是不均匀的，因此可引入代表点密度的概念。,这是因为代表点的相轨迹是不会相交的。若相交，则表明相同力学体系在相同初始条件下有不同的运动规律，这和经典力学的基本假设相矛盾。,设在,d,1,内，,代表点的数目为,dN,1,，则,=,dN,1,/,d,1,就,代表点在,d,1,区域中的,密度。经过时间,t,后，原来在,d,1,中,的代表点运动到,空间的,d,2,的位置，如图所示，这两个体积元代表点的数目是相同的，即,dN,1,=,dN,2,。,p,q,d,1,d,2,刘维尔定理：相空间中统计系综的分布密度在运动过程中不变,，即,=,dN,1,/,d,1,=,dN,2,/,d,2,=,常数。,因为,dN,1,=,dN,2,，所以要证明上式，只要证明,d,1,=,d,2,。分两步证明：,1,、证明一个粒子的一对正则变量,q,、,p,从,t,到,t+dt,的变化可看成是一种正则变换。,证：只要找到一个适当的母函数，使变换后的新正则变量,Q,、,P,为,Q,=q,+dq,，,P,=p,+dp,，,=1,2,N (1),若取第二类正则变换母函数,F,2,(q,P)=q,P,(2),则,:,这是全同,正则变换。,Q,=q,+dq,，,P,=p,+dp,，,=1,2,N (1)F,2,(q,P)=q,P,(2),比较,(1),和,(2),式,两者只相差无穷小量,dq,和,dp,因此认为要得,(1),式，,可在,(2),式的母函数中再加上一个无穷小量，即可取,F,2,(q,P)=q,P,+G(q,P,t),(4),为,无穷小量，,G,为任意,函数。忽略二阶小量，,(4),式近似为：,F,2,(q,P)q,P,+G(q,p,t),(5),(5),式正则变换称为,无穷小正则变换,。,F,2,(q,P)q,P,+G(q,p,t),(5),令,=dt,，,G(q,p,t),=H(q,p,t),，,代入,(5),式，得,F,2,(q,P)q,P,+H(q,p,t)dt (6),利用此母函数即得：,上式即为,(1),式，即证明了相空间体积从,d,1,变换为,d,2,是一种正则变换,.,2,、证明相空间体积在正则变换下保持不变，即,P=,dq,1,dq,3N,dp,1,dp,3N,=,dQ,1,dQ,3N,dP,1,dP,3N,当积分自变量从,q,、,p,变到,Q,、,P,时，体积元的变换为：,dQ,1,dQ,s,dP,1,dP,s,=,Ddq,1,dq,s,dp,1,dp,s,(7),式中,D,为雅可比行列式：,只要证明,:,D=1,若相交，则表明相同力学体系在相同初始条件下有不同的运动规律，这和经典力学的基本假设相矛盾。,经过时间 t 后，原来在d 1中的代表点运动到 空间的d 2的位置，如图所示，这两个体积元代表点的数目是相同的，即dN1=dN2。,Q=q+dq，P=p+dp，=1,2,N (1),相空间中统计系综的分布密度在运动过程中不变。,N个粒子构成 空间(6 维空间).,在证得了s=1 时，D=1，再利用雅可比行列式的一些性质，就可证明当 s=3N 时也成立。,忽略二阶小量，(4)式近似为：F2(q,P)qP+G(q,p,t)(5),比较(1)和(2)式,两者只相差无穷小量dq和dp,因此认为要得(1)式，可在(2)式的母函数中再加上一个无穷小量，即可取,因此统计系综就是 空间中的一群代表点。,3 薛定谔波动力学方程的建立,F2(q,P)qP+G(q,p,t)(5),采用经典力学的哈密顿理论，加上电子具有波粒二象性的假设，以氢原子为例，建立定态波动力学方程。,因为dN1=dN2，所以要证明上式，只要证明d1=d2。,采用经典力学的哈密顿理论，加上电子具有波粒二象性的假设，以氢原子为例，建立定态波动力学方程。,N个粒子构成 空间(6 维空间).,3 薛定谔波动力学方程的建立,刘维尔定理：相空间中统计系综的分布密度在运动过程中不变，即=dN1/d1=dN2/d2=常数。,在证得了,s=1,时，,D=1,，再利用雅可比行列式的一些性质，就可证明当,s=3N,时也成立。由于运算比较繁琐，这里从略。综合以上所得，刘维定理成立。,代表点密度为,=(q,、,p,、,t),，其运动方程为,8.5,经典微扰理论,1,、微扰论的基本思想：,非线性方程中的线性部分是严格可解，而非线性部分相对线性部分来说只是一个小的扰动。,Q,G,Mo,Mot,Mo,O,q,p,t,谢谢观看,谢谢观看,