学习可分离变量的微分方程讲义教材.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,目录 上页 下页 返回 结束,转化,可分离变量微分方程,第二节,解分离变量方程,可分离变量方程,第七章,一阶微分方程,一般形式：,特殊一点的形式：,如,如,一阶微分方程,也可写成对称形式,若将,x,视为自变量，,y,为因变量，方程可改写为,若将,y,视为自变量，,x,为因变量，方程可改写为,最简单的一阶微分方程：,通解：,例如,无法积分,两边同除以,y,可分离变量的微分方程,可分离变量的微分方程,分离变量：,积分：,通解：,隐式解,验：,原方程,例1.,求微分方程,的通解.,解:,分离变量得,两边积分,得,即,(,C,为任意常数),或,说明:,在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、,减解.,(此式含分离变量时丢失的解,y,=0),可分离变量的微分方程,分离变量：,对称形式,例 2,求初值问题：,解：,整理：,分离变量：,积分：,通解：,例 2,求初值问题：,通解：,将,x,=0,y,=1 代入：,2=,C,特解：,双曲线,例 2,求初值问题：,对一些不能分离变量的微分方程，可以作变量替换将其化为可分离变量的方程。,例3,解方程：,解,方程不能分离变量,令,原方程化为：,原方程化为：,可分离变量,分离变量：,积分：,通解：,将,x,=0,y,=1 代入通解：,特解：,练习:,解法 1,分离变量,即,(,C,plot(3*exp(0.3*x),x=0.6,thickness=3,view=0.6,0.18,ytickmarks=4);,指数增长,Exponential Growth,plot(3*exp(-0.3*x),x=0.10,thickness=3,view=0.10,0.4,ytickmarks=4);,指数减少,Exponential Decay,指数减少模型,自学,例4.,子的含量,M,成正比,求在,衰变过程中铀含量,M,(,t,),随时间,t,的变化规律.,已知,t,=0 时铀的含量为,已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原,降落伞所受外力：,F,=,mg,kv,由牛顿第二定律：,F,=,ma,建立微分方程：,外力分析：,重力：,mg,阻力：,kv,例5.,成正比,求,并设降落伞离开跳伞塔时(,t,=0)速度为0,设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度,降落伞下落速度与时间的函数关系.,初始条件：,v,(0)=0,分离变量：,积分：,初始条件：,v,(0)=0,初始条件：,v,(0)=0,通解,初始条件：,v,(0)=0,将,t,=0,v,=0 代入通解：,通解,特解,初始条件：,v,(0)=0,特解,分析：当,运动将趋于匀速。,分离变量法步骤:,1.分离变量;,2.两端积分-隐式通解.,六、小结,求解微分方程,思考题,思考题 1 解答,为所求解.,作业,P304：1（偶数）2（奇数）,练习1.,解初值问题,解:,分离变量得,两边积分得,即,由初始条件得,C,=1,(,C,为任意常数),故所求特解为,练习2,.,求下述微分方程的通解:,解:,令,则,故有,即,解得,(,C,为任意常数,),所求通解:,通解为,解,