71多元函数的概念培训教材.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第七章,多元函数微分,本节学习多元函数的概念,多元函数的极限和连续性，,重点在二元函数。,（,1,）邻域,平面区域的概念,7.1,多元函数的概念,（,2,）区域,例如，,例如，,有界闭区域；,无界开区域,例如，,二元函数的定义与几何意义,1,定义（二元函数）：,设点集,D,R,2,，,对于,P(,x,，,y,),D,，,变量,z,按照一定法则,总有确定的值与之对应，则称,z,是变,量,x,y,的二元函数（或称点,P,的函数）,记为,z=,f,(,x,y,),（,或,z,=f,(,P,),）,定义域：,D,（,点集）,自变量：,x,y,因变量：,z,值 域：,o,x,y,z,P,0,z,0,2.定义域,：,用解析式表示的二元函数，其定义域是使该式有意义的点的集合（区域）（有特殊说明除外）；,例如：,o,x,y,D,1,D,1,表达实际意义的多元函数，定义域由实际意义确定。,例如：,圆柱体体积,o,R,h,D,3,二元函数的几何意义,则空间点集,称为 的图形 一张曲面,例如：,o,x,y,z,Z=f(x,y),y,x,z,0,D,球心在,(0，0，0)，,半径为,R,的上半球球面,顶点在原点，位于,xoy,面上方的圆锥面,R,O,x,y,z,o,x,y,z,S,S,二元函数的极限,1表述定义：,设函数,z=,f,(,x,y,),在点,P,0,(,x,0,y,0,),的某一邻域内有定义（点,P,0,可以除外），,P,(,x,y,),是该邻域内异于,P,0,的任意一点，如果当点,P,以任何方式趋近于点,P,0,时，函数的对应值,f,(,x,y,),趋近于一个确定的常数,A,，,我们称,A,是函数,z,=,f,(,x,y,),当,x,x,0,y,y,0,时的极限，记为,或,2.分析定义：,设函数,z=f(x,y),在点,P,0,(x,0,y,0,),的某个邻域内有定义（点,P,0,可以除外）,A,为确定常数，若对于,0,，,0,，使当,的一切点,P(x,y)(,P(x,0,y,0,),，恒有,成立，则称,A,为,z=f(x,y),当,PP,0,(xx,0,yy,0,),时的极限，记为,或,。,P,0,P,注记,：,PP,0,的方式必须是任意的。,例如，考察,当(,x，y)(0，0),时的极限的存在性。,(,x,，,y,),沿,y,=,kx,趋于(0，0)时,有,f,(,x,y,),确定常数,y=kx,0,x,y,在,P,P,0,的某一种方式下，,f,(,x,y,),A，,不能断定函数极限存在。,但是,在,P,P,0,的不同方式下，,f,(,x,y,),趋于不同的值，则可断定极限不存在。,在已知函数极限存在的前提下，可取,P,P,0,的某种特殊方式求极限。,一元函数极限的运算法则等，适于二元函数情形。,例：,讨论下列极限,二元函数的连续性,1,定义（,二元函数连续,）,:,设,z,=,f,(,x,y,),在,P,0,(,x,0,y,0,),的某个邻域内有,定义，如果,则称,f,(,x,y,),在点,P,0,(,x,0,y,0,),连续，,P,0,为,连续点,否则称,f,(,x,y,),在点,P,0,间断，,P,0,为,间断点,。,在点,(0，0),间断,例如：,注记,：,1,、,f,(,x,y,),在,P,0,连续，满足三个条件，缺一,不可,：,f,(,x,y,),在,P,0,有定义,f,(,x,0,y,0,);,2.,f,(,x,y,),在,D,上连续的几何意义,（,曲面无孔隙无裂缝）,3二元初等函数在定义区域内连续,4,若,则,5,有界闭区域上二元连续函数的性质：,最值存在性：,介值点存在性：,有界性：,M0,，,使,第七章作业,P24,1(2)(3)(6)2(2)3(2)(3)4(1)(3)5(2)(3),6(1)(4)7(1)(2)8(1)9 10(1),11(2)13 15 16 17,2,题补：,