局部改变量的估值问题——微分及其运算讲义教材.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,3.3 局部改变量的估值问题 微分及其运算,3.1 微分,一、微分的概念,二、微分的几何意义,一、微分概念,实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量,设边长由,x,变到,x,+,x,正方形面积,S,=,x,2,S,=(,x,+,x,),2,x,2,=2,x,x,+(,x,),2,(1),(2),x,x,(,x,),2,x,x,x,x,S,=,x,2,x,x,(1),:,x,的线性函数,(2),:,x,的高阶无穷小,当|,x,|很小时可忽略,为,S,的主要部分,2,x,x,S,=,x,2,的微分,设函数,y,=,f,(,x,)在点,x,处有增量,x,若,相应的函数增量,y,可表示成,y,=,A,x,+,o,(,x,),其中,A,与,x,无关,A,x,称为,y,的,线性主部,o,(,x,)是关于,x,的,高阶无穷小,则称函数,y,=,f,(,x,)在点,x,可微,并称,A,x,为函数,y,=,f,(,x,),在点,x,处的,微分,记作,dy,或,df,(,x,),即,dy,=,df,(,x,)=,A,x,定义,有,y,=,dy,+,o,(,x,),函数,f,(,x,)在点,x,可微,函数,f,(,x,)在点,x,可导,且,A,=,f,(,x,),定理,证,必要性:,f,(,x,)在点,x,可微,y,=,A,x,+,o,(,x,),=,A,即函数,f,(,x,)在点,x,可导,且,A,=,f,(,x,),充分性:,f,(,x,)在点,x,可导,从而,y,=,f,(,x,),x,+,x,=,f,(,x,),x,+,o,(,x,),0(,x,0),即函数,f,(,x,)在点,x,可微,可导,可微,A,=,f,(,x,),于是,微分,dy,=,A,x,可写成,dy,=,f,(,x,),x,通常把自变量,x,的增量,x,称为自变,量的微分,记作,dx,即,dx,=,x,令,y,=,x,dy,=,dx,=,y,x,=,x,x,=,x,于是,微分进一步可写成:,dy,=,f,(,x,),dx,二、微分的几何意义,如图,即,y,是曲线的纵坐标增量时,dy,就是切线纵坐标对应的增量,dy,y,T,）,M,0,x,0,y,o,x,y,=,f,(,x,),N,M,x,0,+,x,f,(,x,0,)=tan,o,(,x,),思考题,由于函数,y,=,f,(,x,)在,x,的可微性与可,导性是等价的,所以有人说“微分就是,导数,导数就是微分”,这说法对吗？,解答:,说法不对,从概念上讲,微分是从求函数增量,引出线性主部而得到的,导数是从函数,变化率问题归纳出函数增量与自变量,之比的极限,它们是完全不同的概念,3.2 微分公式和法则,一、导数公式和微分公式,二、导数法则和微分法则,微分的求法:,dy,=,y,dx,即计算函数的导数,乘以自变量的微分,求导数和求微分的方法统称为,微分法,一、导数公式和微分公式,(1)(,C,),=0,d,(,C,)=0,(2)(,x,),=,x,1,d,(,x,),=,x,1,dx,(4)(,a,x,),=,a,x,ln,a,d,(,a,x,),=,a,x,ln,adx,(,e,x,),=,a,x,d,(,e,x,),=,e,x,dx,(5)(sin,x,),=,cos,x,d,(sin,x,),=,cos,x,dx,(cos,x,),=,sin,x,d,(cos,x,),=,sin,x,dx,(tan,x,),=,sec,2,x,d,(tan,x,),=,sec,2,x,dx,(cot,x,),=,csc,2,x,d,(cot,x,),=,csc,2,x,dx,(sec,x,),=,sec,x,tan,x,d,(sec,x,),=,sec,x,tan,x,dx,(csc,x,),=,csc,x,cot,x,d,(csc,x,),=,csc,x,cot,x,dx,二、导数法则和微分法则,(1)(,u,v,),=,u,v,d,(,u,v,),=,du,dv,(2)(,u,v,),=,u,v,+,uv,d,(,u,v,),=,vdu,+,udv,(,C,v,),=,Cv,d,(,C,v,),=,Cdv,(4),y,x,=,y,u,u,x,dy,=,y,u,u,x,dx,例1.设,解,例2.设,y,=,x,tan,x,sin,x,，求d,y,.,解,注意，当然也可以直接用公式 求微分.,例3.,求,解:,例4.设,解,例5.,设,y,=e,3,v,cos2,v,.,求d,y,.,解：,3.3 微分在近似计算中的应用,一、计算函数增量的近似值,二、计算函数值的近似值,一、计算函数增量的近似值,y,dy,=,f,(,x,),x,例1 半径10厘米的金属圆片加热后半径,伸长了0.05厘米,问面积增大了多少?,解:,r,=10厘米,r,=0.05厘米,S,=,r,2,S,dS,=2,r,r,=2,100.05,=,(厘米),2,二、计算函数值的近似值,y,=,f,(,x,+,x,),f,(,x,),f,(,x,),x,f,(,x,+,x,),f,(,x,)+,f,(,x,),x,可用于计算函数,y,=,f,(,x,)在点,x,0,附近,点,x,0,+,x,处函数值的近似值,或,f,(,x,0,+,x,),f,(,x,0,)+,f,(,x,0,),x,例2 计算cos60,30的近似值,解:,设,f,(,x,)=cos,x,f,(,x,)=sin,x,(,x,为弧度),0.4924,例3 求 的近似值,解:,设,x,0,=1,x,=0.02,f,(1)=1,f,(1)+,f,(1)0.02,1.0067,