含绝对值一次方程的解法.pdf

含绝对值一次方程及方程组的解法一、绝对值的代数和几何意义。绝对值的代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。用字母表示为 aaa0000aaa绝对值的几何意义：表示这个数的点离开原点的距离。因此任何数的绝对值是非负 数。根据绝对值的意义，我们可以得到：当 0 时 x=aa|x|=当=0 时 x=0 aa 当 0 时 方程无解.a二、含绝对值的一次方程的解法（1）形如型的绝对值方程的解法：(0)axbc a当时，根据绝对值的非负性，可知此时方程无解；0c 当时，原方程变为，即，解得；0c 0axb0axbbxa 当时，原方程变为或，解得或0c axbcaxbc cbxacbxa（2）形如型的绝对值方程的解法：(0)axbcxd ac根据绝对值的非负性可知，求出的取值范围；0cxdx根据绝对值的定义将原方程化为两个方程和；axbcxd()axbcxd 分别解方程和；axbcxd()axbcxd 将求得的解代入检验，舍去不合条件的解0cxd（3）形如型的绝对值方程的解法：(0)axbcxd ac根据绝对值的定义将原方程化为两个方程或；axbcxd()axbcxd 分别解方程和axbcxd()axbcxd（4）形如型的绝对值方程的解法：()xaxbc ab根据绝对值的几何意义可知；xaxbab当时，此时方程无解；当时，此时方程的解为；cabcabaxb当时，分两cab种情况：当时，原方程的解为；当时，原方程的解xa2abcxxb为2abcx（5）形如型的绝对值方程的解法：(0)axbcxdexf ac找绝对值零点：令，得，令得；0axb1xx0cxd2xx零点分段讨论：不妨设，将数轴分为三个区段，即；12xx1xx；12xxx2xx分段求解方程：在每一个区段内去掉绝对值符号，求解方程并检验，舍去不在区段内的解（6）形如型的绝对值方程的解法：(0)axbcxdexf a解法一：由内而外去绝对值符号：按照零点分段讨论的方式，由内而外逐层去掉绝对值符号，解方程并检验，舍去不符合条件的解解法二：由外而内去绝对值符号：根据绝对值的非负性可知，求出的取值范围；0exfx根据绝对值的定义将原方程化为两个绝对值方程和()axbexfcxd；()()axbexfcxd 解中的两个绝对值方程三、热身练习：1、求下列方程的解：（1）|x|=7；（2）5|x|=10；（3）|x|=0；（4）|x|=3；（5）|3x|=9例 1解方程(1)(2)0223|21|x0|12|3xx解：|1 2x|+3 4=0 解：|2x 1|=3+x x -3|1 2x|=1 2x 1=3+x 或 2x 1=-(3+x)1 2x=1 或 1 2x=-1 x 1=4 或 x 2=32x 1=0 或 x 2=1 当方程中只含有一个绝对值时，可将绝对值看作一个整体来求解，再根据绝对值的定义去掉绝对值符号，最终达到解方程的目的。解含绝对值方程的总原则是设法去掉绝对值符号，化为一般方程。由绝对值的定义：0000|aaaaaa可知，本题解法中，是先设法确定未知数的取值范围，从而得到绝对值中部分的正、负取值，最终达到去绝对值符号的目的。【小试牛刀】1、|x 2|-2=0 2、3、4 2|5 x|=041|31|31 x3x x 1=4，x 2=0 x 1=，x 2=x 1=-6，x 2=121127(舍)514例 2解方程|x-|2x+1|=3解：x-|2x+1|=3 或 x-|2x+1|=-3|2x+1|=x 3 x 3 或|2x+1|=x+3 x -3 2x+1=x 3 或 2x+1=-(x 1)或 2x+1=x+3 或 2x+1=-(x+3)x 1=-4(舍)x 2=(舍)x 3=2 x 4=3234 原方程的解为 x 1=2，x 2=34【小试牛刀】1、2+|3-|x+4|=2x x 1=(舍)，x 2=9(舍)，x 3=3，x 4=(舍)31352、|x 1|-1|-1|-1=0 x 1=4，x 2=-2，x 3=2，x 4=0 例 3解方程|3x 2|+|x+1|=10解：令 3x 2=0，x=；令 x+1=0，x=-132 当 x -1 时，当 1 x 时 当 x 时3232-(3x 2)(x+1)=10 -(3x 2)+x+1=10 3x 2+x+1=10-3x+2 x 1=10 -3x+2+x+1=10 3x+x=10+2 1-3x x=10 2+1 -3x+x=10 2 1 4x=11-4x=9 -2x=7 x=411 x=x=(舍)4927 原方程的解为 x 1=，x 2=49411 由于零是正、负的分界点，因此解题中所用的分类方法常被称为“零点”法。在解题时应注意分段后各自求得的解是否在相应的取值范围内，从而确定它是否是原方程真正的解。【小试牛刀】1、|x 4|-|x+3|=2 x=212、15+|2x+3|-2|2 3x|=0 x 1=-2，x 2=2113、|x 2|-3|x+1|=2x 9 x=34思考1、已知 ab 0，且|a|=2，|b|=7，求 a+b 的值解：|a|=2，a=2，|b|=7，b=7 又 ab 0，求的值|abcabcacacbcbcababccbbaa解：abc 0 a、b、c 为三正或二负一正 当 a 0，b 0，c 0 时 原式=1+1+1+1+1+1+1=7abcabcacacbcbcababccbbaa 不访设 a 0，b 0 原式=-1 1+1+1 1 1 abcabcacacbcbcababccbbaa+1=-14、已知：|a|=a+1，|x|=2ax，求|x 1|-|x+1|+2 的最小值与最大值解：|a|=a+1 a=a+1 或 a=-(a+1)x=1(无解)或 a=021又|x|=2ax|x|=-x，x 0令 x 1=0，x=1，令 x+1=0，x=-1 当 x -1 时|x 1|-|x+1|+2=-(x 1)+(x+1)+2 =-x+1+4+1+2 =4 当 1 x 0 时|x 1|-|x+1|+2=-(x 1)(x+1)+2 =-x+1 x 1+2 =-2x+2=)0(2)1(4xx答：|x 1|-|x+1|+2 的最大值为 4，最小值为 2例 4解方程组家庭作业：三、练习题1.解方程1121123xx 2.方程的解为 21302x 3.解方程200520052006xx4.解方程525xx 5.为有理数，求的值a23aaa6.解方程134xx7.解方程：23143xxx8.解方程：3548x