第六章典型非线性环节讲义教材.ppt

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非线性控制系统分析,6,1,非线性控制系统的基本概念,6,2,典型非线性环节及其对系统的影响,6,4,用,描述函数法,分析非线性系统,6,3,描述函数法,主要内容,1,非线性系统的基本概念,2,典型非线性环节及其对系统的影响,3,描述函数的基本概念及应用前提,4,典型非线性特性的描述函数,5.,用描述函数分析非线性系统的稳定性,和自激振荡,前述均为线性系统。严格说来，任何一 个实际,控制系统，其元部件都或多或少的带有非线性，理想,的线性系统实际上不存在。当能够采用小偏差法将非,线性系统线性化时，称为非本质性非线性，可以应用,线性理论；但还有一些元部件的特性不能采用小偏差,法进行线性化，则称为本质性非线性，如饱和特性、,继电特性等等。这时不能采用线性理论进行研究，所,以只运用线性理论在工程上是不够的，还需研究分析,非线性理论。,本章引言,k,饱和特性,继电特性,本章引言（续）,6,1,非线性控制系统的基本概念,若系统含有一个或一个以上的非线性部件或,环节，则此系统为非线性系统。线性系统用传递函,数、频率特性、根轨迹等概念，线性系统的运动特,性与输入幅值、系统初始状态无关，故常在典型输,入信号下和零初始条件下进行分析研究。而由于非,线性系统的数学模型是非线性微分方程，故不能采,用线性系统的分析方法。,k,例如：,对于线性系统,，,但对于非线性系统，,例如饱和,特性：,单独作用时，,而不等于,非线性系统不,能用迭加原理，而且在稳定,性、运动形式等方面具有独特的特点。,非线性系统的基本概念（续）,一、非线性系统的特征：,线性系统的稳定性只取决于系统本身的结构和参,数，与初始状态无关，与输入信号无关。而非线,性系统的稳定性不仅取决于结构参数，而且与输,入信号以及初始状态都有关。对于同一结构参数,的非线性系统，初始状态位于某一较小数值的区,域内时系统稳定，但是在较大初始值时系统可能,不稳定，有时也可能相反。故对于非线性系统，,不应笼统地讲系统是否稳定，需要研究的是非线,稳定性：,此为线性系统。,因为,t,=0,时,可见无论,何值系统均稳定。,性系统平衡状态的稳定问题。,非线性系统的特征（续）,0,x,项的系数是,与变量,x,有关，此为非,线性系统。,非线性系统的特征（续）,因此,特征根,在左半,s,平面上，则系统稳定。,特征根,上式解得,其暂态过程为,一常数。,非线性系统的特征（续）,可知特征根,在右半,s,平面上，,则系统不,稳定。,由上式解得，,此时只有,才会有此结果,。,非线性系统的特征（续）,(,t,必须大于,0,，,解得系统,两个平衡状态,平衡,状态是稳定的，,它对应于,而,平衡,状态是不稳定,的，稍加扰动,不是收敛就是发散，不可能再,回到这个平衡状态。,非线性系统的特征（续）,6,1,非线性系统的基本概念,运动形式：,线性系统的运动形式与,输入信号的大小及初始条件,无关，若某一系统在某一初,始条件下的暂态响应为衰减,振荡形式，则在任何的信号,及初始条件下该系统的暂态,响应均为衰减振荡形式；而,非线性系统可能会出现某一,初始条件下的响应为单调衰,减；而另一初始条件下则为衰减振荡。,6,1,非线性系统的基本概念,三,自激振荡：,在没有外界周期性输入信号作用时，线,性系统只有,=0,时产生周期性运动，此时系,统为临界稳定。事实上，此种状态不会持久，,稍有干扰（即使非常细小）即刻终止，转为,发散或收敛。,而对于非线性系统，在没有外界作用时，,系统完全有可能产生频率和振幅一定的稳定的,周期运动，既可实现又可保持，称为自振荡，,6,1,非线性系统的基本概念,其最终稳定状态有时是等幅的自振荡，其幅值,和频率由其本身的特性所决定，这是非线性系,统一个重要的特有的特性。,人们对自振荡非常感兴趣，正常时不需要，,设法消除，但有些情况下人为的引入自振荡，,使系统具有较好的动、静态特性。对其研究有,很大的实际意义。,非线性系统的特征（续）,6,1,非线性系统的基本概念,四,频率响应：,稳定线性系统的频率响应，即正弦信号作用下的稳态输出是与输入同频率的正弦信号，其幅值和相位均为输入正弦信号频率 的函数。而非线性系统的频率响应除了含有与输入同频率的正弦信号分量（基频分量）外，还含有关于频率 的高次谐波分量，使输出波形发生非线性畸变。若系统含有多值非线性环节，输出的各次谐波分量的幅值还可能发生跃变。,6,1,非线性系统的基本概念,非线性系统还具有很多与线性系统不同的特异现象，这些现象无法用线性系统理论来解释，因而有必要研究它们，以便抑制或消除非线性因素的不利影响。在某些情况下，还可以人为地加入某些非线性环节，使系统获得较线性系统更为优异的性能。,非线性系统的特征（续）,6,1,非线性系统的基本概念,五,运动状态,1,、恒值稳定的平衡状态,2,、恒值自振荡状态,3,、不稳定状态,4,、更重复的其他运动状态,5,、多值响应，跳跃谐振荡等,二非线性系统的分析方法,1,、描述函数法（或谐波平衡法）,2,、相平面法（仅适于一、二阶系统）,3,、计算机求解法,6,1,非线性系统的基本概念,6-2,典型非线性环节及其对系统的影响,与前述典型环节类似，进行统一归类；非线性系,统的非线性特性各式各样，但归为两类：,1,）单值非线性特性：输入与输出有单一的对应关 系；,2,）非单值非线性特性：对应同一个输入值，输出的,取值非唯一。,按非线性环节的物理性能及非线性特性的形状可,分为饱和、死区、间隙、继电及变放大系数特性,等。,一死区（不灵敏区）特性：,x,1,、实际中具有死区特性的,元部件：,1,）测量、放大元件：输入,信号在零值附近的某一,小范围内，输出等于零；只有当输入信号大于,此信号范围时，才有输出，如敏感元件。,6-2,典型非线性环节,2,）执行机构：接受到信号后不能马上动作，只有,当输入信号大到一定数值后才动作，如电动机。,2,、特点：使系统产生稳态误差（测量元件尤为明,显），执行机构的死区可能造成运动系统的低,速不均匀，甚至使随动系统不能准确跟踪目标。,死区特性（续）,3,、用途：有时人为的引入死区，可消除高频的小幅,度振荡。,4,、多个元件均存在死区时，系统总的死区可进行折,算,（,见下页图）,6-2,典型非线性环节,R,C,-,比较,执行,放大,此时折算到比较元件的端总的死区为：,可见：最前面的元件的死区影响最大，且若加大前,前面的,死区特性（续）,6-2,典型非线性环节,二饱和特性：,6-2,典型非线性环节,1,、实际中具有饱和特征的元件：,1,）放大器：只能在一定的范围内保持输出量与输入,量之间的线性关系，超出则输出限幅。,2,）铁磁元件：铁芯线圈，电机，变压器等。,2,、,特点：,使系统在大信号作用下的等效增益，深,度饱和情况下甚至使系统丧失闭环控制作用。,饱和特性（续）,3,、,用途,：认为地利用饱和特性做限幅，限制某些物,理量，保证系统安全合理的工作，如调速系统中,利用转速调节器的输出限幅值来限制 ，以保,6-2,典型非线性环节,三间隙（回环）特性,：,1,、实际存在间隙的元件：,1,）传动机构：如齿轮转动，,当主动轮改变方向时从动,轮保持位置不变，直到间,隙消除。,2,）铁磁元件中的磁滞现象。,2,、特点：对系统影响较复杂，,过大而烧坏。,护电动机不致因,饱和特性（续）,6-2,典型非线性环节,3,、措施：提高齿轮的加,工精度，采用速度反,馈的控制系统，测速,机联轴器要安装合适。,一般会使系统的稳态误差增大，动态性能变差，振荡，稳定性。,6-2,典型非线性环节,间隙特性（续）,四、继电特性：,1,、吸和动作电流大于,释放动作电流，使,其特性中包含了死,区、回环及饱和特,性。,6-2,典型非线性环节,令返回系数,继电特性（续）,6-2,典型非线性环节,若返回系数,m=1,，则无回环，其特性称为具有死区的单值继电特性，如图,a,所示。若返回系数,m=-1,即继电器的正向返回电流等于反向动作电流时，其特性称为具有回环的继电特性，如图,b,所示。,a,b,c,继电特性（续）,6-2,典型非线性环节,若,i,=0,，即继电器的动作电流及返回电流均为零值切换，则称这种特性为理想继电特性，如图,c,所示。,a,b,c,2,、检测电平时的射极耦合触发器或运放组成的电平,检测器等比较电路也具有继电特性：如逻辑无环,流调速系统。,五、变放大系数特性：,特点：,大误差,e,（,t,）,时具有大的,k,系统,响应迅速，,小误差,e(t),时具有小的,k,系统响应,6-2,典型非线性环节,典型非线性环节,平稳，,减少甚至消除超调量,若系统中混入高,频小振幅噪声信号时，,可抑制掉。,六、带死区的饱和特性：,1,、测量元件：其最大测量,范围与最小测量范围都,为有限幅时。,2,、枢控直流电动机的转速,n,：,达到一定值时，才有,n,，,不再增加,.,6-2,典型非线性环节,典型非线性环节,注意：尽管各种复杂非线性特性可以看作是各种,典型非线性特性的组合，但决不能将各个典型非,线性环节的响应相加作为复杂非线性系统的响应，,因为他们不能用迭加原理。非线性的存在使系统,变的复杂，没有统一的方法用来处理所有的非线,性系统，实用中采用线性化处理，能用小偏差法,的在第二章已讲述，其他可用谐波线性化方法,描述函数法近似研究非线性系统。,6-2,典型非线性环节,典型非线性环节,6-3,描述函数法,一基本概念：,该方法是研究非线性系统自振荡的有效方法。非线,性系统不能直接使用频率法，但某些非线性环节可,对正弦信号的响应进行谐波分解，满足一定条件时，,非线性特性对系统的影响可用基波来描述。,描述函数法,基于谐波分解的线性化近似方法，,也叫谐波平衡法。,设非线性系统满足以下两个条件：,1),非线性环节的输入信号作正弦信号变化时，输出,同频率的非正弦周期信号，而且平均值为零，不,产生直流项。这就要求非线性元件的输入和输出,特性是斜对称的（即具有奇对称性，典型非线性,均满足奇对称性）；,2),系统的线性部分具有较好的低通滤波特性（一般,控制系统能满足，且阶次低通特性好）；,1,基本原理和应用条件：,则当非线性元件输入正弦信号时，其输出中的高次,谐波分量（本来就比基波分量小）经线性部分后将,大大。因此，可以用非线性元件的输出信号的一,次谐波分量来代替非线性元件在正弦信号下的实际,输出（高次经线性部分已，可忽略）。这就是,描述函数法的概念。,2,描述函数的概念及定义：,y,(,t,),为非正弦周期信号，傅立叶展开,有：,描述函数法,若非线性特性是中心对称的即,y,(,t,),奇对称，,描述函数的概念及定义（续）,在此，,N,非线性元件的描述函数，常用,N(A),表示；,A,正弦输入信号的幅值；,定义：,描述函数为非线性元件输出的一次谐波分量,与正弦输入信号的复数比,.,描述函数的概念及定义（续）,若非线性元件中不含有储能元件，则,N,只是,A,的函数，,若非线性元件中含有储能元件，则,N,是,A,和,的函数：,此方法称为谐波线性化法，,N,（,A,）,又称为非线性环节,的等效,幅相特性,描述函数的概念及定义（续）,3,描述函数的物理意义：,举例说明：,y,(,t,),为非正弦周期函数,，,非线性特性为单值奇对称，,1,2,1,2,1,2,3,4,1,2,3,4,0,x,y,。,。,。,。,（只与,A,有关）。,描述函数的物理意义（续）,也就完全确定了。,相当于用,斜率为,1.25,的直,线代替了元件的非线性特征,描述函数的物理意义（续）,之间成为,线性关系，即当,1,2,1,2,1,2,3,4,1,2,3,4,0,x,y,。,。,。,。,同理，,A,4,时，用斜率为,3,.,5,的直线代替；即进行了,线,性化处理。,的线性关系也随之改变。,描述函数的物理意义（续）,1,2,1,2,1,2,3,4,1,2,3,4,0,x,y,。,。,。,。,并且说明：,当,A,改变时，,N,（,A,）随之改变，,用描述函数表示非线性特性时，相当于用斜率随输,入振幅,A,而变的一簇直线代替了元件本来的非线性特性，因此，可以把非线性元件看作是一个放大器，,其增益是一个复数，该复数的模值和幅角是幅值,A,的函数。,用描述函数表示非线性元件后，就可以用线性理论,中的频率法来研究非线性系统的基本特性，关键是,N,（,A,）的计算。,描述函数的物理意义（续）,二典型非线性特性的描述函数,1,、饱和限幅：,（见下页图）,y,(,t,),为奇函数,图,6-14,饱和特性及其输入输出波形,（条件：,Ac,）,Ac,时，,当,Ac,),因为间隙特性是多值函数，它在正弦信号,作用下的,y,(,t,),都需要计算，,既不是奇函数也不是偶函数。,图,6-16,间隙特性及其输入输出波形,N(A),(,Ac,),4.,继电特性：为非单值奇对称，,都需要计算。,典型非线性特性的描述函数,表,6-1,列出了一些典型非线性特性的描述函数，以供查用。,图,6-17,具有回环的继电特性及其输入输出波形,64,用描述函数法分析非线性系统,一个非线性环节的描述函数只是表示了该环节在正弦输入下环节输出的一次谐波分量与输入的关系，显然它不能象线性元件的频率特性那样全面的反映非线性环节的性质。但在实际中，问题不是孤立的研究一个非线性环节，而是研究一个非线性系统的运动，特别是常常研究系统的振荡问题，故可以用描述函数去近似的表示非线性环节的特性。,任何非线性系统经过对方框图的变换与简化都可以表示成由线性部分,G,(,j,),与非线性部分,N,(,A,),相串联的情况，如下页图所示。,对于非线性系统的分析，主要考虑它的稳定性及能否产生自振荡。自振荡是非线性系统内部自发的持续振荡，与外加的输入信号及干扰信号无关。,可以认为,假设,x,为一正弦波：,一、负倒描述函数,对于线性部分，当输入,y,1,时，其输出,故在没有外作用下，系统有一个正弦振荡输出信号。,-,系统有一个正弦振荡运动解,的充要条件。,描述函数法分析非线性系统（续）,-,称为,负倒描述函数,，它相当于,线性系统中的（,-,，,j,0),点，线性系统中闭环特性方,程为 ，非线性系统中闭环特征方程为,，将 曲线与 曲线画,在同一复平面上，,两曲线的交点即满足上式。,即可确定系统的周期运动解：,A,0,，,0,，即在交点处由,曲线所对应的,即为,0,，曲线所对应,A,即为振幅,A,0,。,描述函数法分析非线性系统（续）,二、奈奎斯特稳定判据在非线性系统中的应用,1,若曲线 不包围曲线 ，则系统稳,定，如下页图（,a,）所示；,2,若曲线 包围了曲线 ，则系统不,稳定，如下页图（,b,）所示；,3,若曲线 与曲线 相交，则系统中,产生周期性振荡，可稳可不稳，其振幅由 交点,处的,A,值决定，其频率由交点处的 的,决定。,判断系统的稳定性（续）,三、振荡状态的确定：,如上第三种情况，当系,统存在周期运动解时，,在没有外输入的情况下，,系统的输出为一正弦周,期运动。但任一系统在,实际中总是受到形形色,色的干扰，所以干扰下,正弦周期运动是否能保,持振幅和频率不变，使,使系统保持自振荡，也就是系统的周期运动是否是,稳定的，研究这个问题对实际应用很有意义。,此时系统有周期运动解相当于线性系统处于临界稳,定的情况，设 受干扰后，,x,的变化规律,为非平稳的振荡，近似于正弦但,A,缓慢的或，,若设受干扰后 ，非线性环节相当于具有,幅相特性的线性环节，用线性理论可以研,究此时的稳定性：,振荡状态的确定（续）,有,a,，,b,两交点，如下图所示。,）在,a,点：,振荡状态的确定（续）,不包围,c,点，收敛；,包围,d,点，发散；,所以,a,点是稳定工作点，可,以形成自振荡。,),在,b,点：,振荡状态的确定（续）,所以,b,点不是稳定工作点。,此系统最终呈现两种可能的运动状态：,当扰动较小，其幅值,A,b,时，系统趋于平衡,状态，不产生自振荡；,判断自振点的简便方法：,在复平面上，将被包围的区域看成是不稳,定区域，而不被包围的区域看成是稳定区,振荡状态的确定（续）,域，当交点处的 曲线沿着,A,的方向是由不,稳定区进入稳定区，则该交点为稳定的周期运动，,反之则不是。若为稳定的自振荡点，可确定其 振幅,和频率。,例,1,：具有饱和非线性的控制系统如下页图所示。求：,时自振点：，；,若使系统稳定工作，不出现自振，,k,的临界,值,=,?,振荡状态的确定（续）,解,:,在此：,振荡状态的确定（续）,j,0,振荡状态的确定（续）,用试凑法求得,振荡状态的确定（续）,若要稳定且不振荡，可使,k,。,当,k,一半时，,时交点为,不振荡,，,振荡状态的确定（续）,例,2,一继电控制系统结构图如图所示。继电器参数,h,=1,，,M,=3,，试分析系统是否产生自振荡。若产生自振荡，求出振幅和振荡频率。若要使系统不产生自振荡，应如何调整继电器参数？,解：带死区的继电特性的描述函数为,（,当,A,h,时，,当,A,时，,振荡状态的确定（续）,可见，在负实轴上,有极值点。,求得极值点为,由,h,=1,，,M,=3,可得,振荡状态的确定（续）,振荡状态的确定（续）,求得两个振幅值,A,1,=1.11,，,A,2,=2.3,。,振荡状态的确定（续）,显然，系统会产生一个稳定的自振荡，其振幅为,A=2.3,，频率为,为使系统不产生自振荡，可令,振荡状态的确定（续）,指出：应用描述函数法分析非线性系统的稳,定性和周期运动的稳定性，都是假定系统中,只有基波分量，而且是正弦基波分量情况下,的输出，实际上，这一假定并非绝对能满,足，系统中会有高次谐波分量流通，实际系,统自振的波形也是一个比较复杂的周期性波,振荡状态的确定（续）,由此求得继电器参数比,M/h2.36,。如调整,M,和,h,比例为,M=2h,，则系统不产生自振荡。,形，并非纯正弦波。描述函数法只是一种近似,的研究方法，同时在采用描述函数法时又是采用,的图解法，因此必然存在着精确度问题，,几乎垂直相交且,谐波衰减的越小时，分,析结果准确。当,对高次,在交点几乎相切,时，其准确度,取决于（,）对高次谐波衰减的,程度。,振荡状态的确定（续）,四方框图的简化,：,、一个非线性环节，线性部分可直接简化：,先加再求,N,（,A,）,或先分别求,N,（,A,）,再加：,2.,两个非线性环节并联：,3.,两个非线性环节串联：,可采用图解法简化。以下图所示死区特性和带死区的继电特性串联简化为例。,通常，先将两个非线性环节按图,6-30(a),、,(b),形式放置，再按输出端非线性特性的变化端点,2,和,a,2,确定输入,x,的对应点,和,a,，获得等效非线性,图,6-30,非线性特性串联简化的图解方法,特性如图,6-30(c),所示，最后确定等效非线性特性的参数。由,2,=K,1,（,1,）得,由,a,2,=K,1,（,a,1,）得,两个非线性环节串联：,y,(,x,),亦呈线性，设斜率为,K,，即有,特殊地，当,x,=a,时，,x,1,=a,2,，由于,因此,，,K,=,K,1,K,2,两个非线性环节串联：,两个非线性环节的串联，等效特性还取决于其前后次序。调换次序则等效非线性特性亦不同。描述函数需按等效非线性环节的特性计算。多个非线性特性串联，可按上述两个非线性环节串联简化方法，依由前向后顺序逐一加以简化。,指出,4.,线性部分包围非线性部分：（令）,5,非线性局部反馈包围线性部分：,本章小结,（,1,）非线性系统在稳定性、运动形式、自激振荡和频率响应等方面与线性系统都有着本质的区别。,（,2,）经典控制理论中研究非线性系统的两种常用的方法是描述函数法和相平面法。,（,3,）描述函数法是线性系统频率分析法在非线性系统中的推广，是非线性系统稳定性的近似判别法，它要求系统具有良好的低通特性并且非线性较弱。在上述前提条件不能很好满足时，描述函数法可能得出错误的结论，尤其是系统的稳定裕度较小,时。与相平面法相比，描述函数法的最大优点是能够用于高阶系统。,（,4,）描述函数法的关键是求出非线性环节的描述函数，而求描述函数的工作量和技巧主要在非正弦周期函数的积分。描述函数也可以由实验近似获得。,本章小结（续）,