《高等数学》-第六版--上册(同济大学出版社).pptx

单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,目录 上页 下页 返回 结束,二、无界函数反常积分,第四节,常义积分,积分限有限,被积函数有界,推广,一、无穷限反常积分,反常积分,(,广义积分,),反常积分,第,五,章,1,第1页,一、无穷限反常积分,引例,.,曲线,和直线,及,x,轴所围成开口曲,边梯形面积,可记作,其含义可了解为,2,第2页,定义,1.,设,若,存在,则称此极限为,f,(,x,),无穷限,反常积分,记作,这时称反常积分,收敛,;,假如上述极限不存在,就称反常积分,发散,.,类似地,若,则定义,3,第3页,则定义,(,c,为任意取定常数,),只要有一个极限不存在,就称,发散,.,无穷限反常积分也称为,第一类反常积分,.,并非不定型,说明,:,上述定义中若出现,它表明该反常积分发散,.,4,第4页,引入记号,则有类似牛,莱公式计算表示式,:,5,第5页,例,1.,计算反常积分,解,:,思索,:,分析,:,原积分发散!,注意,:,对反常积分,只有在收敛条件下才能使用,“偶倍奇零”性质,不然会出现错误.,6,第6页,例,2.,证实第一类,p,积分,证,:,当,p=,1,时有,当,p,1,时有,当,p,1,时收敛,;,p,1,时发散,.,所以,当,p,1,时,反常积分收敛,其值为,当,p,1,时,反常积分发散,.,7,第7页,例,3.,计算反常积分,解,:,8,第8页,二、无界函数反常积分,引例,:,曲线,所围成,与,x,轴,y,轴和直线,开口曲边梯形面积,可记作,其含义可了解为,9,第9页,定义,2.,设,而在点,a,右邻域内无界,存在,这时称反常积分,收敛,;,假如上述极限不存在,就称反常积分,发散,.,类似地,若,而在,b,左邻域内无界,若极限,数,f,(,x,),在,a,b,上反常积分,则定义,则称此极限为函,记作,10,第10页,若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类,说明,:,而在点,c,无界函数积分又称作,第二类反常积分,无界点常称,邻域内无界,为,瑕点,(,奇点,),.,比如,间断点,而不是反常积分,.,则本质上是常义积分,则定义,11,第11页,注意,:,若瑕点,计算表示式,:,则也有类似牛,莱公式,若,b,为瑕点,则,若,a,为瑕点,则,若,a,b,都为瑕点,则,则,可相消吗,?,12,第12页,下述解法是否正确:,积分收敛,例,4.,计算反常积分,解,:,显然瑕点为,a,所以,原式,例,5.,讨论反常积分,收敛性,.,解,:,所以反常积分,发散,.,13,第13页,例,6.,证实反常积分,证,:,当,q,=1,时,当,q,1,时收敛,;,q,1,时发散,.,当,q,1,时,所以当,q,1,时,该广义积分收敛,其值为,当,q,1,时,该广义积分发散,.,14,第14页,例,7.,解,：,求,无穷间断点,故,I,为反常,积分,.,15,第15页,内容小结,1.,反常积分,积分区间无限,被积函数无界,16,第16页,备用题,试证,并求其值,.,解,:,令,17,第17页,18,第18页,