高等数学(同济大学)课件下第12-8常系数齐次.pptx

单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,常系数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第八节,齐次线性微分方程,基本思绪:,求解常系数线性齐次微分方程,求特征方程(代数方程)之根,转化,第十二章,第1页,二阶常系数齐次线性微分方程:,和它导数只差常数因子,代入得,称为微分方程,特征方程,1.当,时,有两个相异实根,方程有两个线性无关特解:,所以方程通解为,(,r,为待定常数),所以令解为,则微分,其根称为,特征根,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第2页,2.当,时,特征方程有两个相等实根,则微分方程有一个特解,设另一特解,(,u,(,x,),待定),代入方程得:,是特征方程重根,取,u=x,则得,所以原方程通解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第3页,3.当,时,特征方程有一对共轭复根,这时原方程有两个复数解:,利用解叠加原理,得原方程线性无关特解:,所以原方程通解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第4页,小结:,特征方程:,实根,特 征 根,通 解,以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第5页,若特征方程含,k,重复根,若特征方程含,k,重实根,r,则其通解中必含对应项,则其通解中必含,对应项,特征方程:,推广,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第6页,例1.,通解.,解:,特征方程,特征根:,所以原方程通解为,例2.,求解初值问题,解:,特征方程,有重根,所以原方程通解为,利用初始条件得,于是所求初值问题解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第7页,例3.,解:,由第七节例1,(P293),知,位移满足,质量为,m,物体自由悬挂在一端固定弹簧上,在无外力作用下做自由运动,初始,求物体运动规律,立坐标系如图,设,t,=0 时物体位置为,取其平衡位置为原点建,所以定解问题为,自由振动方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第8页,方程:,特征方程:,特征根:,利用初始条件得:,故所求特解:,方程通解:,1)无阻尼自由振动情况 (,n,=0,),机动 目录 上页 下页 返回 结束,第9页,解特征:,简谐振动,A,:振幅,:初相,周期:,固有频率,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(,仅由系统特征确定),第10页,方程:,特征方程:,特征根:,小阻尼:,n,k,临界阻尼:,n,=,k,解特征,解特征,解特征,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第11页,(,n,k,),大阻尼解特征:,1)无振荡现象;,此图参数:,2)对任何初始条件,即随时间,t,增大物体总趋于平衡位置.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第13页,(,n,=,k,),临界阻尼解特征:,任意常数由初始条件定,最多只与,t,轴交于一点;,即随时间,t,增大物体总趋于平衡位置.,2)无振荡现象;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第14页,例4.,通解.,解:,特征方程,特征根:,所以原方程通解为,例5.,解:,特征方程:,特征根:,原方程通解:,(不难看出,原方程有特解,推广 目录 上页 下页 返回 结束,第15页,例6.,解:,特征方程:,即,其根为,方程通解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第16页,例7.,解:,特征方程:,特征根为,则方程通解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第17页,内容小结,特征根:,(1)当,时,通解为,(2)当,时,通解为,(3)当,时,通解为,可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第18页,思索与练习,求方程,通解.,答案:,通解为,通解为,通解为,作业,P310 1,(3),(6),(10),;,2,(2),(3),(6);,3,第九节 目录 上页 下页 返回 结束,第19页,备用题,为特解 4 阶常系数线性齐次微分方程,并求其通解.,解:,依据给定特解知特征方程有根:,所以特征方程为,即,故所求方程为,其通解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第20页,