高等数学同济第七版第二章.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,第二章,微积分学创始人,:,德国数学家,Leibniz,微分学,导数,描述函数改变快慢,微分,描述函数改变程度,都是描述物质运动工具,(,从微观上研究函数,),导数与微分,导数思想最早由法国,数学家,Ferma,在研究,极值问题中提出,.,英国数学家,Newton,第1页,一、引例,二、导数定义,三、导数几何意义,四、函数可导性与连续性关系,五、单侧导数,第一节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,导数概念,第二章,第2页,一、引例,1.,变速直线运动速度,设描述质点运动位置函数为,则 到 平均速度为,而在 时刻瞬时速度为,自由落体运动,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第3页,2.,曲线切线斜率,曲线,在,M,点处切线,割线,M N,极限位置,M T,(,当 时,),割线,M N,斜率,切线,MT,斜率,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第4页,两个问题,共性,:,瞬时速度,切线斜率,所求量为,函数增量,与,自变量增量,之比极限,.,类似问题还有,:,加速度,角速度,线密度,电流强度,是,速度增量,与,时间增量,之比极限,是,转角增量,与,时间增量,之比极限,是,质量增量,与,长度增量,之比极限,是,电量增量,与,时间增量,之比极限,改变率问题,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第5页,二、导数定义,定义,1.,设函数,在点,存在,并称此极限为,记作,:,即,则称函数,若,某邻域内有定义,在点,处,可导,在点,导数,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第6页,运动质点位置函数,在 时刻瞬时速度,曲线,在,M,点处切线斜率,说明,:,在经济学中,边际成本率,边际劳动生产率和边际税率等从数学角度看就是导数,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第7页,若上述极限不存在,在点 不可导,.,若,也称,在,若函数在开区间,I,内每点都可导,此时导数值组成新函数称为,导函数,.,记作,:,注意,:,就说函数,就称函数,在,I,内可导,.,导数为,无穷大,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第8页,例,1.,求函数,(,C,为常数,),导数,.,解,:,即,例,2.,求函数,解,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第9页,第10页,对普通幂函数,(,为常数,),比如，,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第11页,例,3.,求函数,导数,.,解,:,即,类似可证得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第12页,例,4.,求函数,导数,.,解,:,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第13页,例,5.,求函数,导数,.,解,:,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第14页,原式,是否可按下述方法作,:,例,6.,证实函数,在,x,=0,不可导,.,证,:,不存在,例,6.,设,存在,求极限,解,:,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第15页,三、导数几何意义,曲线,在点,切线斜率为,若,曲线过,上升,;,若,曲线过,下降,;,若,切线与,x,轴平行,称为,驻点,;,若,切线与,x,轴垂直,.,曲线在点,处,切线方程,:,法线方程,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第16页,例,7.,问曲线,哪一点有垂直切线,?,哪一点处,切线与直线,平行,?,写出其切线方程,.,解,:,令,得,对应,则在点,(1,1),(1,1),处与直线,平行切线方程分别为,即,故在原点,(0,0),有垂直切线,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第17页,四、函数可导性与连续性关系,定理,1.,证,:,设,在点,x,处可导,存在,所以必有,其中,故,所以函数,在点,x,连续,.,注意,:,函数在点,x,连续未必可导,.,反例,:,在,x,=0,处连续,但不可导,.,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第18页,在点,某个,右,邻域内,五、单侧导数,若极限,则称此极限值为,在 处,右 导数,记作,即,(,左,),(,左,),比如,在,x,=0,处有,定义,2,.,设函数,有定义,存在,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第19页,定理,2.,函数,在点,且,存在,简写为,在点,处,右,导数存在,定理,3.,函数,在点,必,右,连续,.,(,左,),(,左,),若函数,与,都存在,则称,显然,:,在闭区间,a,b,上可导,在开区间,内可导,在闭区间,上可导,.,可导,充分必要条件,是,且,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第20页,内容小结,1.,导数实质,:,3.,导数几何意义,:,4.,可导必连续,但连续不一定可导,;,5.,已学求导公式,:,6.,判断可导性,不连续,一定不可导,.,直接用导数定义,;,看左右导数是否存在且相等,.,2.,增量比极限,;,切线斜率,;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第21页,思索与练习,1.,函数 在某点 处导数,区分,:,是函数,是数值,;,联络,:,注意,:,有什么区分与联络,?,？,与导函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第22页,2.,设,存在,则,3.,已知,则,4.,若,时,恒有,问,是否在,可导,?,解,:,由题设,由夹逼准则,故,在,可导,且,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第23页,5.,设,问,a,取何值时,在,都存在,并求出,解,:,故,时,此时,在,都存在,显然该函数在,x,=0,连续,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第24页,作业,P83,6,9(4)(6)(7),13,.,第二节 目录 上页 下页 返回 结束,第25页,牛顿,(1642 1727),伟大英国数学家,物理学家,天文,学家和自然科学家,.,他在数学上卓越,贡献是创建了微积分,.,1665,年他提出正,流数,(,微分,),术,第二年又提出反流数,(,积分,),术,并于,1671,年完成,流数术与无穷级数,一书,(1736,年出版,).,他,还著有,自然哲学数学原理,和,广义算术,等,.,第26页,莱布尼兹,(1646 1716),德国数学家,哲学家,.,他和牛顿同为,微积分创始人,他在,学艺,杂志,上发表几篇相关微积分学论文中,有早于牛顿,所用微积分符号也远远优于牛顿,.,他还设计了作乘法计算机,系统地阐述二进制计,数法,并把它与中国八卦联络起来,.,第27页,备用题,解,:,因为,1.,设,存在,且,求,所以,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第28页,在,处连续,且,存在，,证实,:,在,处可导,.,证,：因为,存在，,则有,又,在,处连续,所以,即,在,处可导,.,2.,设,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第29页,