高三数学复习第十四章概率第三讲离散型随机变量及其分布列均值与方差-理.pptx

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离散型随机变量及其分布列、均值与方差,考点,全国,全国,全国,自主命题区域,离散型随机,变量及其分,布列、均值,与方差,【,100%,】,全国,19,12,分,全国,18,12,分,天津,16(),山东,19(),山东,19,12分,天津,16(),山东,18,12分,江苏,22,10分,浙江,12,4分,天津,16(),4/42,考纲解读,命题规律,考情精解读,3,返回目录,1,.,热点预测,本讲内容通常与古典概型、二项分布、计数原理、事件互斥等知识综合考查,以解答题为主,分值,5,12,分,.,2,.,趋势分析,预测,年,以实际问题为背景,求解离散型随机变量分布列、均值与方差仍是高考对本讲内容考查热点和重点,.,命题趋势,数学 第三讲 离散型随机变量及其分布列、均值与方差,5/42,知识全通关,6/42,知识全通关,1,考点,1,离散型随机变量分布列,继续学习,数学 第三讲 离散型随机变量及其分布列、均值与方差,1,.,随机变量,伴随试验结果改变而改变变量称为随机变量,.,随机变量惯用字母,X,Y,表示,2,.,离散型随机变量,全部取值能够一 一列出随机变量,称为离散型随机变量,.,.,.,【,说明,】,若,X,是随机变量,Y=aX+b,a,b,是常数,则,Y,也是随机变量,7/42,知识全通关,2,数学 第三讲 离散型随机变量及其分布列、均值与方差,继续学习,【,辨析比较,】,随机变量和函数联络与区分,联络,:,随机变量和函数都是一个映射,随机变量是随机试验结果到实数映射,函数是实数到实数映射,;,随机试验结果范围相当于函数定义域,随机变量取值范围相当于函数值域,.,区分,:,随机变量自变量是试验结果,而函数自变量是实数,x.,8/42,知识全通关,3,继续学习,高考帮数学 第三讲 离散型随机变量及其分布列、均值与方差,3,.,离散型随机变量分布列表示,普通地,若离散型随机变量,X,可能取不一样值为,x,1,x,2,x,i,x,n,X,取每一个值,x,i,(,i=,1,2,n,),概率,P,(,X=x,i,),=p,i,则下表称为随机变量,X,概率分布列,简称为,X,分布列,.,为了简单起见,也能够用等式,P,(,X=x,i,),=p,i,i=,1,2,n,表示,X,分布列,.,4,.,离散型随机变量分布列性质,依据概率性质,离散型随机变量分布列含有以下性质,:,(1),p,i,0,i=,1,2,n,;,(2),p,1,+p,2,+,+p,i,+,+p,n,=,1;,(3),P,(,x,i,x,x,j,),=P,i,+P,i+,1,+,+P,j,(,iM,时,k,最大值为,m=M.,【,名师提醒,】,13/42,知识全通关,6,数学 第三讲 离散型随机变量及其分布列、均值与方差,继续学习,考点,3,离散型随机变量均值与方差,1,.,离散型随机变量均值与方差,普通地,若离散型随机变量,X,概率分布列为,则称,E,(,X,),=x,1,p,1,+x,2,p,2,+,+x,i,p,i,+,+x,n,p,n,为随机变量,X,均值或数学期望,.,它反应了离散型随机变量取值平均水平,.,称,D,(,X,),=,x,i,-E,(,X,),2,p,i,为随机变量,X,方差,它刻画了随机变量,X,与其均值,E,(,X,),平均偏离程度,其算术平方根为随机变量,X,标准差,.,X,x,1,x,2,x,i,x,n,P,p,1,p,2,p,i,p,n,【,辨析比较,】,随机变量均值、方差与样本平均值、方差关系,随机变量均值，方差实常数，它们不依赖于样本抽取，而样本平均值、方差是随机变量，它们伴随样本不一样而改变,.,14/42,知识全通关,7,数学 第三讲 离散型随机变量及其分布列、均值与方差,继续学习,2,.,均值与方差性质,若,Y=aX+b,其中,a,b,是常数,X,是随机变量,则,均值性质,:,(1),E,(,k,),=k,(,k,为常数,);,(2),E,(,aX+b,),=aE,(,X,),+b,;,(3),E,(,X,1,+X,2,),=E,(,X,1,),+E,(,X,2,);,(4),若,X,1,X,2,相互独立,则,E,(,X,1,X,2,),=E,(,X,1,),E,(,X,2,),.,(5),两点分布均值,:,若随机变量,X,服从两点分布,则,E,(,X,),=p.,(6),二项分布均值,:,若,X,服从二项分布,即,XB,(,n,p,),则,E,(,X,),=np.,方差性质,:,(1),D,(,k,),=,0(,k,为常数,);(2),D,(,aX+b,),=,a,2,D,(,X,);,(3),D,(,X,),=E,(,X,2,),-,(,E,(,X,),2,;(4),若,X,服从二项分布,即,XB,(,n,p,),则,D,(,X,),=np,(1,-p,),.,15/42,返回目录,数学 第三讲 离散型随机变量及其分布列、均值与方差,题型全突破,8,【,名师提醒,】,(1),E,(,X,),是一个实数,由,X,分布列唯一确定,.,随机变量,X,是可变,可取不一样值,而,E,(,X,),是不变,它描述,X,取值平均状态,.,(2),变量方差与标准差都反应了随机变量取值稳定与波动、集中与离散程度,其中标准差与随机变量本身含有相同单位,.,(3),方差也是一个常数,它不含有随机性,方差值一定是非负,.,16/42,题型全突破,17/42,考法,1,离散型随机变量分布列性质应用,继续学习,数学 第三讲 离散型随机变量及其分布列、均值与方差,题型全突破,1,考法,指导,分布列应用主要表达在分布列性质上应用,离散型随机变量分布列性质主要有三方面应用,:(1),利用,“,总概率之和为,1”,能够求相关参数取值范围或值,;(2),利用,“,离散型随机变量在一范围内概率等于它取这个范围内各个值概率之和,”,求一些特定事件概率,;(3),能够依据性质判断所得分布列结果是否正确,.,18/42,数学 第三讲 离散型随机变量及其分布列、均值与方差,继续学习,题型全突破,2,考法示例,1,设,X,是一个离散型随机变量,其分布列为,则,q=,;,P,(,X,2),=,.,思绪分析,依据性质,使每一个变量取值概率在,0,1,内、其总和等于,1,即可求解,q,值,.,把,P,(,X,2),转化为,P,(,X,2),=P,(,X=,1),+P,(,X=,2),进行求解,.,X,1,2,3,P,q,2,1,-q,-,1,19/42,数学 第三讲 离散型随机变量及其分布列、均值与方差,继续学习,题型全突破,3,【,解析,】,由分布列性质得,:,由,得,q,由,得,由分布列可知,X,可能取值只有,1,2,3,故,20/42,数学 第三讲 离散型随机变量及其分布列、均值与方差,继续学习,题型全突破,4,【,突破攻略,】,求随机变量在某个范围内取值概率时,依据分布列,将所求范围内随机变量对应取值概率相加即可,其依据是互斥事件概率加法公式,.,21/42,数学 第三讲 离散型随机变量及其分布列、均值与方差,考法,2,求离散型随机变量分布列、期望与方差,继续学习,题型全突破,5,考法指导,1,.,求解离散型随机变量,X,分布列步骤,(1),了解,X,意义,写出,X,可能取全部值,;(2),求,X,取每个值概率,;(3),写出,X,分布列,;(4),依据分布列性质对结果进行检验,.,2,.,期望与方差普通计算步骤,(1),了解,X,意义,写出,X,全部可能取值,;,(2),求,X,取各个值概率,写出分布列,;,(3),依据分布列,正确利用期望与方差定义或公式进行计算,.,22/42,数学 第三讲 离散型随机变量及其分布列、均值与方差,继续学习,题型全突破,6,考法示例,2,某品牌汽车,4S,店,对最近,100,位采取分期付款购车者进行统计,统计结果以下表所表示,.,已知分,9,期付款频率为,0,.,2,.,4S,店经销一辆该品牌汽车,用户分,3,期付款,其利润为,1,万元,;,分,6,期或,9,期付款,其利润为,1,.,5,万元,;,分,12,期或,15,期付款,其利润为,2,万元,.,用,表示经销,一,辆汽车利润,.,(1),求上表中,a,b,值,;,(2),若以频率作为概率,求事件,A,“,购置该品牌汽车,3,位用户中,至多有,1,位采取分,9,期付款,”,概率,P,(,A,);,(3),求,分布列及均值,E,(,),.,付款方式,分,3,期,分,6,期,分,9,期,分,12,期,分,15,期,频数,40,20,a,10,b,23/42,数学 第三讲 离散型随机变量及其分布列、均值与方差,继续学习,题型全突破,7,【,思绪分析,】,(1),依据统计数据和频率计算公式可直接求出,a,b,值,(2),事件,A,是一个独立重复试验,包含两个互斥事件,没有用户分,9,期付款与只有,1,位用户分,9,期付款,故先依据题意把频率换成概率即可求解,;,(3),用户选择付款期数只能是,3,6,9,12,15,依据题意得到付款期数与利润关系,然后合并利润相同事件,确定,取值,然后求出其对应概率值,则易得,分布列与均值,.,24/42,数学 第三讲 离散型随机变量及其分布列、均值与方差,继续学习,题型全突破,8,【,解析,】,（,1),由,=,0,.,2,得,a=,20,.,又,40,+,20,+a+,10,+b=,100,则,b=,10,.,(2),记分期付款期数为,依题意,得,则,“,购置该品牌汽车,3,位用户中,至多有,1,位分,9,期付款,”,概率为,P,(,A,),=,0,.,8,3,+,0,.,2,(1,-,0,.,2),2,=,0,.,896,.,25/42,数学 第三讲 离散型随机变量及其分布列、均值与方差,继续学习,题型全突破,9,【,解析,】,由题意,可知,只能取,3,6,9,12,15,.,而,=,3,时,=,1;,=,6,时,=,1,.,5;,=,9,时,=,1,.,5;,=,12,时,=,2;,=,15,时,=,2,.,所以,可能取值为,1,1,.,5,2,且,P,(,=,1),=P,(,=,3),=,0,.,4,P,(,=,1,.,5),=P,(,=,6),+P,(,=,9),=,0,.,4,P,(,=,2),=P,(,=,12),+P,(,=,15),=,0,.,1,+,0,.,1,=,0,.,2,.,故,分布列为,均值,E,(,),=,1,0,.,4,+,1,.,5,0,.,4,+,2,0,.,2,=,1,.,4(,万元,),.,1,1,.,5,2,P,0,.,4,0,.,4,0,.,2,26/42,数学 第三讲 离散型随机变量及其分布列、均值与方差,考法,3,超几何分布求解,继续学习,题型全突破,10,考法指导,1,.,随机变量是否服从超几何分布判断,(1),若随机变量,X,服从超几何分布,则满足以下条件,:,该试验是不放回地抽取,n,次,;,随机变量,X,表示抽取到次品件数,(,或类似事件,),反之亦然,.,(2),普通地,设有,N,件产品,其中次品和正品分别为,M,1,件,M,2,件,(,M,1,M,2,N,),从中任取,n,(,n,N,),件产品,用,X,Y,分别表示取出,n,件产品中次品和正品件数,则随机变量,X,服从参数为,N,M,1,n,超几何分布,随机变量,Y,服从参数为,N,M,2,n,超几何分布,.,2,.,求超几何分布分布列步骤,第一步,验证随机变量服从超几何分布,并确定参数,N,M,n,值,;,第二步,依据超几何分布概率计算公式计算出随机变量取每一个值时概率,;,第三步,用表格形式列出分布列,.,27/42,数学 第三讲 离散型随机变量及其分布列、均值与方差,继续学习,题型全突破,11,3,.,求超几何分布均值与方差方法,(1),列出随机变量,X,分布列,利用均值与方差计算公式直接求解,;,(2),利用公式,求解,.,28/42,数学 第三讲 离散型随机变量及其分布列、均值与方差,继续学习,题型全突破,12,考法示例,3,某项大型赛事,需要从高校选拔青年志愿者,某大学学生实践中心主动参加,从,8,名学生会干部,(,其中男生,5,名,女生,3,名,),中选,3,名参加志愿者服务活动,.,若所选,3,名学生中女生人数为,X,求,X,分布列及数学期望,.,【,思绪分析,】,先依据,8,名志愿者组成,确定,X,分布列类型,超几何分布,进而确定对应参数取值,并求出,X,每个取值对应事件概率,列出分布列,最终代入数学期望公式求值,.,29/42,数学 第三讲 离散型随机变量及其分布列、均值与方差,继续学习,题型全突破,13,【,解析,】,解法一,因为,8,名学生会干部中有,5,名男生,3,名女生,所以,X,分布列服从参数,N=,8,M=,3,n=,3,超几何分布,.,X,全部可能取值为,0,1,2,3,其中,P,(,X=i,),=,(,i=,0,1,2,3),.,由公式可得,P,(,X=,0=,P,(,X=,1),=,P,(,X=,2)=,P,(,X=,3),=,X,0,1,2,3,P,30/42,数学 第三讲 离散型随机变量及其分布列、均值与方差,考法,4,利用期望与方差进行决议,继续学习,题型全突破,14,考法指导,利用随机变量期望与方差能够帮助我们作出科学决议,其中随机变量,期望意义在于描述随机变量平均程度,而方差则描述了随机变量稳定与波动或集中与分散情况,.,品种优劣、仪器好坏、预报准确是否、机器性能好坏等很多指标都与这两个特征量相关,.,(1),若我们希望实际平均水平较理想时,则先求随机变量,1,、,2,期望,当,E,(,1,),=E,(,2,),时,不应误认为它们一样好,需要用,D,(,1,),D,(,2,),来比较这两个随机变量偏离程度,偏离程度小更加好,.,(2),若我们希望比较稳定时,应先考虑方差,再考虑均值是否相等或者靠近,.,(3),若没有对平均水平或者稳定性有明确要求时,普通先计算期望,若相等,则由方差来确定哪一个更加好,.,若,E,(,1,),与,E,(,2,),比较靠近,且期望较大者方差较小,显然该变量更加好,;,若,E,(,1,),与,E,(,2,),比较靠近且方差相差不大时,应依据不一样选择给出不一样结论,即是选择较理想平均水平还是选择较稳定,.,31/42,数学 第三讲 离散型随机变量及其分布列、均值与方差,继续学习,题型全突破,15,考法示例,4,有甲、乙两种棉花,从中各抽取等量样品进行质量检验,结果以下,:,其中,X,表示纤维长度,(,单位,:mm),依据纤维长度均值和方差比较两种棉花质量,.,【,思绪分析,】,计算纤维长度均值与方差,依据数值得出结论,X,甲,28,29,30,31,32,P,0,.,1,0,.,15,0,.,5,0,.,15,0,.,1,X,乙,28,29,30,31,32,P,0,.,13,0,.,17,0,.,4,0,.,17,0,.,13,32/42,数学 第三讲 离散型随机变量及其分布列、均值与方差,继续学习,题型全突破,16,【,解析,】,由题意,得,E,(,X,甲,),=,28,0,.,1,+,29,0,.,15,+,30,0,.,5,+,31,0,.,15,+,32,0,.,1,=,30,E,(,X,乙,),=,28,0,.,13,+,29,0,.,17,+,30,0,.,4,+,31,0,.,17,+,32,0,.,13,=,30,.,又,D,(,X,甲,),=,(28,-,30),2,0,.,1,+,(29,-,30),2,0,.,15,+,(30,-,30),2,0,.,5,+,(31,-,30),2,0,.,15,+,(32,-,30),2,0,.,1,=,1,.,1,D,(,X,乙,),=,(28,-,30),2,0,.,13,+,(29,-,30),2,0,.,17,+,(30,-,30),2,0,.,4,+,(31,-,30),2,0,.,17,+,(32,-,30),2,0,.,13,=,1,.,38,所以,E,(,X,甲,),=E,(,X,乙,),D,(,X,甲,),D,(,X,乙,),故甲种棉花质量很好,.,33/42,数学 第三讲 离散型随机变量及其分布列、均值与方差,继续学习,题型全突破,17,考法示例,5,某投资企业在,年年初准备将,1 000,万元投资到,“,低碳,”,项目上,现有两个项目供选择,:,项目一,:,新能源汽车,.,据市场调研,投资到该项目上,到年底可能赢利,30,%,也可能亏损,15,%,且这两种情况发生概率分别为和,;,项目二,:,通信设备,.,据市场调研,投资到该项目上,到年底可能赢利,50,%,也可能亏损,30,%,也可能不赔不赚,且这三种情况发生概率分别为,和,.,针对以上两个投资项目,请你为投资企业选择一个合理项目,并说明理由,.,34/42,返回目录,数学 第三讲 离散型随机变量及其分布列、均值与方差,题型全突破,18,【,解析,】,若按,“,项目一,”,投资,设赢利为,X,1,万元,则,X,1,分布列为,E,(,X,1,),=,300,7/9+,(,-,150),2/9=,200(,万元,),.,若按,“,项目二,”,投资,设赢利,X,2,万元,则,X,2,分布列为,E,(,X,2,),=,500,3/5+,(,-,300),1/3+,0,1/15=,200(,万元,),.,D,(,X,1,),=,(300,-,200),2,7/9+,(,-,150,-,200),2,2/9=,35 000,D,(,X,2,),=,(500,-,200),2,3/5+,(,-,300,-,200),2,1/3+,(0,-,200),2,1/15=,140 000,.,所以,E,(,X,1,),=E,(,X,2,),D,(,X,1,),D,(,X,2,),这说明即使项目一、项目二赢利相等,但项目一更稳妥,.,总而言之,提议该投资企业选择项目一投资,.,X,1,300,-,150,P,7/9,2/9,X,2,500,-,300,0,P,3/5,1/3,1/15,35/42,能力大提升,36/42,高考中概率与统计问题,继续学习,数学 第三讲 离散型随机变量及其分布列、均值与方差,能力大提升,1,1,概率与统计综合应用,示例,6,某制药厂对,A,、,B,两种型号产品进行质量检测,从检测数据中随机抽取,10,次,统计以下,(,数值越大表示产品质量越好,):,A,:7,.,9,9,.,0,8,.,3,7,.,8,8,.,4,8,.,9,9,.,4,8,.,3,8,.,5,8,.,5;,B,:8,.,2,9,.,5,8,.,1,7,.,5,9,.,2,8,.,5,9,.,0,8,.,5,8,.,0,8,.,5,.,(1),画出,A,、,B,两种型号产品数据茎叶图,;,若要从,A,、,B,中选一个型号产品投入生产,从统计学角度考虑,你认为生产哪种型号产品适当,?,简单说明理由,.,(2),若将频率视为概率,对产品,A,今后,3,次检测数据进行预测,记这,3,次数据中不低于,8,.,5,次数为,求,分布列及期望,E,(,),.,37/42,继续学习,数学 第三讲 离散型随机变量及其分布列、均值与方差,能力大提升,2,【,解析,】,(1),A,、,B,两种型号产品数据茎叶图如图,14,-,3,-,2,所表示,从统计学角度考虑,生产,A,型号产品适当,.,38/42,继续学习,数学 第三讲 离散型随机变量及其分布列、均值与方差,能力大提升,3,【,解析,】,(2),可能取值为,0,1,2,3,.,产品,A,不低于,8,.,5,频率为,=,0,.,5,若将频率视为概率,则,B,(3,0,.,5),.,分布列为,E,(,),=,3,0,.,5,=,1,.,5,.,0,1,2,3,P,0,.,125,0,.,375,0,.,375,0,.,125,39/42,继续学习,数学 第三讲 离散型随机变量及其分布列、均值与方差,能力大提升,4,2,概率与统计案例综合应用,示例,7,班主任为了对本班学生考试成绩进行分析,决定从本班,24,名女同学,18,名男同学中随机抽取一个容量为,7,样本进行分析,.,(1),假如按照性别百分比分层抽样,能够得到多少个不一样样本,?(,写出算式即可,无须计算出结果,),(2),假如随机抽取,7,名同学数学、物理成绩,(,单位,:,分,),对应以下表,:,(i),若要求,85,分以上,(,包含,85,分,),为优异,从这,7,名同学中抽取,3,名同学,记,3,名同学中数学和物理成绩均为优异人数为,求,分布列和数学期望,;,(ii),依据上表数据,求物理成绩,y,关于数学成绩,x,线性回归方程,(,系数准确到,0,.,01),若班上某位同学数学成绩为,96,分,预测该同学物理成绩为多少分,?,学生序号,i,1,2,3,4,5,6,7,数学成绩,x,i,60,65,70,75,85,87,90,物理成绩,y,i,70,77,80,85,90,86,93,40/42,继续学习,数学 第三讲 离散型随机变量及其分布列、均值与方差,能力大提升,5,【,解析,】,(1),依据分层抽样方法,24,名女同学中应抽取人数为,24,=,4,18,名男同学中应抽取人数为,18,=,3,故不一样样本个数为,41/42,返回目录,数学 第三讲 离散型随机变量及其分布列、均值与方差,能力大提升,65,(i),7,名同学中数学和物理成绩均为优异人数为,3,取值为,0,1,2,3,.,分布列为,0,1,2,3,P,(ii),.,线性回归方程为,=,0,.,65,x+,33,.,60,.,当,x=,96,时,=,0,.,65,96,+,33,.,60,=,96,.,可预测该同学物理成绩为,96,分,.,42/42,