数学建模——层次分析法.pptx

数学建模,主讲教师 曾慧平,层次分析法,第1页,2 层次分析法基本步骤,1 建立层次结构模型,将决议目标、考虑原因（决议准则）和决议对象按它们之间相互关系分为最高层、中间层和最低层，绘出层次结构图。,最高层：决议目标、要处理问题。,最低层：决议时备选方案。,中间层：考虑原因、决议准则。,对于相邻两层，称高层为目标层，低层为原因层。,下面举例说明。,第2页,例1 大学毕业生就业选择问题,取得大学毕业学位毕业生，在,“,双向选择,”,时，用人单位与毕业生都有各自选择标准和要求。就毕业生来说选择单位标准和要求是多方面，比如：,能发挥自己才能作出很好贡献（即工作岗位适合发挥自己专长）；,工作收入很好（待遇好）；,生活环境好（大城市、气候等工作条件等）；,单位名声好（声誉等）；,工作环境好（人际关系友好等）,发展晋升机会多（如新单位或前景好）等。,1.,建立层次结构模型,第3页,1.,建立层次结构模型,第4页,例2 选择旅游地,怎样在3个目标地中按照景色、费用、居住条件等原因选择。,1.,建立层次结构模型,第5页,例3 科研课题选择,某研究所现有三个科研课题，限于人力及物力，只能研究一个课题。有三个须考虑原因：(1)科研结果贡献大小(包含实用价值和科学意义)；(2)人材培养；(3)课题可行性(包含课题难易程度、研究周期及资金)。在这些原因影响下，怎样选择课题?,1.,建立层次结构模型,第6页,1.,建立层次结构模型,第7页,层次分析法所要处理问题是关于最低层对最高层相对权重问题，按此相对权重能够对最低层中各种方案、办法进行排序，从而在不一样方案中作出选择或形成选择方案标准。,1.,建立层次结构模型,第8页,2 结构成对比较矩阵,确定各层次各原因之间权重方法：,（1）不把全部原因放在一起比较，而是两两相互比较；,（2）采取相对尺度，以尽可能降低性质不一样诸原因相互比较困难，以提升准确度。,1.两两比较,假设要比较某一层 个原因 对上一层一个原因,影响，如旅游决议问题中比较景色等个准则在选择旅游地这个目标中主要性。每次取两个原因 和 ，用 表示 和 对 影响之比，全部比较结果可用成对比较矩阵表示。,第9页,因为（8.2.1）式给出了 特点。称为正互反矩阵。显然必有 ，如用 依次表示景色、费用、居住、饮食、旅途5个准则，设某人用成对比较法（做,次对比）得到成对比较阵（正互反阵）为：,(8.2.2),（,8.2.1,）,2 结构成对比较矩阵,第10页,2 结构成对比较矩阵,2.比较尺度,当比较两个可能含有不一样性质原因 和 对于一个上层原因 影响时，Saaty提出用19尺度（见下表），即 取值范围是 ，及其互反数 。其理由以下：,（1）在进行定性成对比较时，人们头脑中通常有5种显著等级，分别为相同、影响稍强、影响强、影响显著强、影响绝正确强。,（2）心理学家认为，进行成对比较原因太多，将超出人判断能力。最多大致在 范围。如以9个为限，用19尺度表示它们之间差异正适当,第11页,1-9尺度含义,尺度,含义,1,与 影响相同,3,比 影响稍强,5,比 影响强,7,比 影响显著强,9,比 影响绝正确强,2，4，6，8,与 影响之比在上述两个相邻等级之间,1，1/2，1/9,与 影响之比为上面互反数,2 结构成对比较矩阵,第12页,3、问题提出,（8.2.2）中 表示景色 与费用 对选择旅游,地这个目标 主要性之比为1：2；表示景色,与居住条件 之比为4：1；表示费用 与居住条件,之比为7：1。能够看出此人在选择旅游地时，费用原因最,重，景色次之，居住条件再次。,问题1,.怎样由成对比较阵确定诸原因 对上层因,素 权重呢？,2 结构成对比较矩阵,第13页,由给出成对比较阵 能够发觉，既然 与 之比为1:2，与 之比为4:1，那么 与 之比应为8:1,而不是7:1，才能说明成对比较是一致。不过，个要素要作,次成对比较，全部一致要求是太苛刻了。,问题2,.怎样确定这种不一致允许范围？,为了处理上面两个问题，,我们先考查成对比较完全一致情况,2 结构成对比较矩阵,第14页,构想把一块单位重量大石头 砸成 块小石头,假如准确地称出它们重量为 ，在作成对比较时,令 ，那么得到,(8.2.3),2 结构成对比较矩阵,第15页,这些比较显然是一致，块小石头对大石头权重（即,在大石头中重量比）可用向量 表示，,且 .显然，各个列向量与 仅相差一个百分比,因子。,普通地，假如一个正互反阵 满足,（,8.2.4,）,2 结构成对比较矩阵,则 称为,一致性矩阵,，简称,一致阵,。,第16页,轻易证实阶一致阵 有以下性质。,1.秩为1，惟一非零特征根为 ；,2.任一列向量都是对应于特征根 特征向量。,假如得到成对比较阵是一致阵，像（8.2.3）式 自然应取对应于特征根 ，归一化特征向量（即分量之和为1）表示诸原因，对上层原因 权重，这个向量称为,权向量,。,2 结构成对比较矩阵,第17页,假如成对比较阵 不是一致阵，但在不一致允许范围内，则用最大特征根（记作 ）对应于特征向量（归一化后）作为权向量 。,直观地看，因为矩阵 特征根和特征向量连续地依赖于矩阵元素，所以当 离一致性要求不远时，特征根和特征向量与一致阵相差不大。,2 结构成对比较矩阵,第18页,对应于成对比较矩阵最大特征根 特征向量，经归一化(使向量中各元素之和等于1)后记为 。元素为同一层次原因对于上一层次原因某原因相对主要性排序权值，这一过程称为,层次单排序,。,能否确认层次单排序，需要进行一致性检验，所谓一致性检验是指对 确定不一致允许范围。,定理1,阶一致阵唯一非零特征根为 。,3 计算权向量并做一致性检验,第19页,定理1,阶正互反阵 最大特征根 ，当且仅当 时 为一致阵。,因为 连续依赖于 ，则 比 大越多，不一致性越严重。用最大特征值对应特征向量作为被比较原因对上层某原因影响程度权向量，其不一致程度越大，引发判断误差越大。因而能够用数值大小来衡量 不一致程度。,3 计算权向量并做一致性检验,第20页,定义,一致性指标,:,，有完全一致性；,靠近于 ，有满意一致性；,越大，不一致越严重。,3 计算权向量并做一致性检验,第21页,2,.,则可得一致性指标：,3 计算权向量并做一致性检验,为衡量 大小，引入,随机一致性指标,。方法为：,1.随机结构500个成对比较矩阵：,n,1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11,RI,0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51,第22页,普通，当一致性比率 时，认为 不一致程度在允许范围之内，有满意一致性，经过一致性检验。可用其归一化特征向量作为权向量，不然要重新结构成对比较矩阵 ，对 加以调整。,注：随机一致性指标 定义,一致性比率,：,3 计算权向量并做一致性检验,第23页,“选择旅游地”中，准则层对目标成对比较阵,最大特征根：,权向量(特征向量)：,一致性指标：,随机一致性指标 (查表可得)，,一致性比率为,经过一致性检验。,3 计算权向量并做一致性检验,第24页,计算某一层次全部原因对于最高层(总目标)相对主要性权值，称为,层次总排序,。,这一过程是从最高层次到最低层次依次进行。,4 计算组合权向量并做组合一致性检验,第25页,层 个原因对总目标 排序为：,，层 个原因对上层 中原因 层次单排序为,层层次总排序为：,4 计算组合权向量并做组合一致性检验,第26页,即 层第 个原因对总目标权值为：,4 计算组合权向量并做组合一致性检验,第27页,层次总排序一致性检验：,设 层 对上层(层)中原因 层次单排序一致性指标为 ，随机一致性指标为 ，则层次总排序一致性比率为：,当 时 ，认为层次总排序经过一致性检验。层次总排序含有满意一致性，不然需要重新调整判断矩阵元素取值。到此，依据最下层（决议层）层次总排序做出最终决议。,4 计算组合权向量并做组合一致性检验,第28页,在旅游决议问题中我们已经得到了第二层（准则层）对,第一层（目标层）权向量，记作,用一样方法结构第3层（方案层）对第2层每一个准则成对比较阵，不妨设它们为：,4 计算组合权向量并做组合一致性检验,第29页,这里矩阵 中元素 是方案（旅游地）,与 对于准则 （景色、费用等）优越性比较尺度。,由第3层成对比较阵 计算出权向量 ，最大特征,根 和一致性指标 ，结果列入下表：,4 计算组合权向量并做组合一致性检验,第30页,不难看出，因为 时随机一致性指标 所以上面 均可经过一致性检验。,下面问题是由各准则对目标权向量 和各方案对每一准则权向量 ，计算各方案对目标权向量，称为,组合权向量,，记作,对于方案 ，它在景色等5个准则中权重用 第1个分量表示，而5个准则对于目标权重又用权向量 表示，所以方案在目标中组合权重应为它们对应项两两乘积之和，即,4 计算组合权向量并做组合一致性检验,第31页,一样能够算出 ,在目标中组合权重为0.246和0.456，于是组合权向量 ，结果表明,方案在旅游地选择中占权重近于 1/2，远大于 ,。即应作为第1选择地点。,4 计算组合权向量并做组合一致性检验,第32页,