数学物理方法chapt.pptx

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,序言,对一个物理问题处理，通常需要三个步骤,利用物理定律将物理问题翻译成数学问题；,解该数学问题；,将所得数学结果翻译成物理，即讨论所得结 果物理意义。,第1页,数学物理方法 主要内容,第一章、复变函数,第二章、复变函数积分,第三章、幂级数展开,第四章、留数定理,第五章、傅里叶变换,第六章、拉普拉斯变换,第七章、数学物理定解问题,第八章、分离变数法,第九章、二阶常微分方程级数解法,第十章、球函数,复变函数论,数学物理方程,第2页,第一篇 复变函数论,第3页,一.复数,二.复数表示,三.复数运算,四.复变函数,五.导数,六.解析函数,七.平面标量场,第一章 复变函数,第4页,复数引入,第5页,需尤其指出：能够证实当有三个不一样实根时，若要用公式法来求解，则不可能不经过负数开方,(,参考：范德瓦尔登着,代数学,丁石孙译,科学出版社，,1963,年,).,至此，我们明白了这么事实，此方程根求得必须引入虚数概念.,卡丹诺公式出现于十七世纪，那时虚数地位就应确定下来，但对虚数本质还缺乏认识.,“,虚数”这个名词是由十七世纪法国数学家笛卡儿（,Descartes,）正式取定.,“,虚数”代表意思是“虚假数”，“实际不存在数”，以后还有些人“论证”虚数应该被排除在数世界之外.由此给虚数披上了一层神秘外衣.,第6页,十八世纪，瑞士数学家欧拉,(Leonhard Euler,，1707-1783,),试图深入解释虚数到底是什么数，他把虚数称之为“幻想中数”或“不可能数”.他在,对代数完整性介绍,(1768,1769,年在俄国出版，,1770,年在德国出版,),一书中说：因为全部能够想象数或者比零大，或者比零小，或者等于零，即为有序数.所以很清楚，负数平方根不能包含在可能有序数中，就其概念而言它应该是一个新数，而就其本性来说它是不可能数,.,因为它们只存在于想象之中.因而通常叫做虚数或幻想中数，于是,Euler,首先引入符号作为虚数单位.,第7页,十八世纪末至十九世纪初，挪威测量学家Wessel(威塞尔)、瑞士工程师阿尔甘（Argand）以及德国数学家高斯（Gauss）等都对“虚数”(也称为“复数”)给出了几何解释，并使复数得到了实际应用.,尤其地,在十九世纪，有三位代表性人物，即柯西（Cauchy，17891857）、维尔斯特拉斯（Weierstrass，18151897）、黎曼（Rieman，18261866）.柯西和维尔斯特拉斯分别应用积分和级数研究复变函数，黎曼研究复变函数映像性质，经过他们不懈努力，终于建立了系统复变函数论.,第8页,1.1 复数概念,第9页,复数无序性,实数能够比较大小，是有序，但复数不能比较大小，即复数是无序.,复数相等,假如,且,则,复数共轭,第10页,1.2 复数表示,1.2.1 复数几何表示复数平面,(1)直角坐标表示法:,在坐标平面,xoy,上,用点(x,y)表示复数,x,y,复矢量,xoy,复平面,第11页,第12页,第13页,第14页,例:将 用代数式,三角式和指数式表示出来,第15页,2 复数几何表示-复数球面,p,p,复平面上点复数球面上点存在一一对应关系,第16页,1.3 复数运算,1.,四则运算,两条基本规则 a 代数运算规则 b,复数四则运算也满足交换律、结合律和分配律。,第17页,2 复数乘幂与方根,两个复数相乘，其模等,于它们模乘积，其辐角等于它们辐角和.,复数乘幂,第18页,第19页,复数方根,第20页,例1,求,根,例2,将,与,表示为,与,幂,例3,试确定不等式,所确定点集是什么图形？,第21页,第22页,1.4 复变函数,第23页,1.4.1 复变函数定义,若在复数平面(或复数球面)上存在一个点集E,对于E每一点(每一个z值),按照一定规律有一个或多个复数值,与之相对应,则称,为z函数-复变函数.z称为,宗量记做,比较 实变函数,第24页,区分,a:,自从有了复变函数论，实数领域中 禁 区或不能解释问题，比如：,负数不能开偶数次方；,负数没有对数；,指数函数无周期性；,正弦、余弦函数绝对值不能超出1；,等已经不复存在,.,b,:,实变函数能够用几何图形表示出来;,复变函数不能经过同一平面或同一空间上几何 图形表示出来,它几何意义是两个复平面上点集之间对应(,z平面到w平面一个映射,),第25页,例,:试研究复变函数,将z平面以下曲线变成,平面上曲线,1.双曲线,2.倾角,直线,第26页,1.4.2 区域概念,内点,z,0,z,0,外点,z,0,境界点,第27页,区域严格,定义是,同时满足以下两个条件点集：,(i),全由内点组成；,(ii),含有连通性 即点集中任意两点都能够用一条折线连接起来且折线点全都属于该点集；区域可用,B表示,注,：通常所谓某区域是连通，即指,B,中任何两点都能够用完全属于,B,一条折线连接起来,z,1,z,2,第28页,闭区域,：,区域B及境界限组成点集称为闭区域，用,表示,注：若无特殊申明区域仅包含内点，不含境界点，区域指是开区域,区域,B,边界闭区域,1.4.3 复变函数例子,第29页,多项式,为正整数,有理分式,为正整数,根式,初等函数定义式,第30页,第31页,第32页,上述极限值存在和相等和,路径无关,第33页,1.5 导数,设函数 是定义于区域 上单值函数，若,在 上某点 极限 存在，,且与 方式无关,则称函数 在点,可导，此极限值称为 在点,导数,，记为,或,即,1.5.1,第34页,求导公式,第35页,第36页,1.5.2 柯西黎曼条件（CR条件）,复变函数可导必要条件,第37页,复变函数可导充分必要条件,函数 偏导数,存在，且连续，而且满足C-R条件,第38页,1.6 解析函数,若函数 在点 及其邻域上处处可,导，则称 在点 解析,若函数 在区域D上每一点都解析，则称 是区域D上解析函数,1.6.1,第39页,复变函数在某点解析,某点可导,某点极限存在,某点连续,第40页,怎样判断一个函数是否解析,函数 在D内解析充要条件：,a:及 在D内处处可微,b:及 在D内处处满足C-R条件,第41页,1.6.2 解析函数与调和函数关系,调和函数,：假如在区域B内实变函数 含有二阶连续偏导数且满足laplace方程,则称 为区域D内调和函数，其中,是laplace算符,第42页,2 共轭调和函数,：,假如两个实函数 及 均为区域D内调和函数且又满足C-R条件，则称 为 共轭调和函数,第43页,3 解析函数，调和函数 及共轭调和函数之间关系,若 在区域B内解析，由CR条件,同理,因为 和 满足C-R条件，所以 为 共轭调和函数,第44页,解析函数两个主要特征,a:,b:,已知一个调和函数，要求组成一个解析函数方法,不定积分法(推荐),曲线积分法,全微分法,第45页,1.7 平面标量场,1.平面静电场:无源,复势,电势,？,第46页,通量函数,第47页,2.平面无旋液流,梯度旋度0,速度表示为速度势 梯度,复势,速度势,流量函数,第48页,3.平面温度场,均匀物体中稳定温度分布,复势,温度分布,热流量函数,第49页,