复变函数的映射.pptx

理学院,从第二章开始，利用分析方法，即经过微分、积分和级数分别探讨了解析函数性质和应用,.,在这一章中，我们将从几何角度对解析函数性质和应用进行讨论,.,第七章 共 形 映 射,在第一章中已经介绍过，一个复变函数 在几何上能够看作把,z,平面上一个点集变到,w,平面上一个点集映射,(,或变换,).,对解析函数来说，由它所组成变换（简称解析变换）还需作深入研究,.,第1页,共形映射之所以主要，原因在于它能把在比较复杂区域上所讨论问题转到比较简单区域上进行讨论,.,所以，在处理诸如流体力学、弹性力学、电磁学等实际问题中，发挥了主要作用,.,在这一章中，我们先分析解析函数所组成映射特征，引出,共形映射,这一主要概念,.,然后深入研究分式线性函数和几个初等函数所组成共形映射,.,第2页,1,、解析变换保域性,2,、解析变换保角性,导数几何意义,3,、单叶解析变换共形性,1,解析变换特征,第3页,1,、解析变换保域性,要探讨解析变换几何特征，首先要搞清楚复平面上一个点集,(,曲线或区域,),与它像集之间对应关系,.,第4页,第5页,其次，,要证实 中任意两点,均能够用一条完全含于 折线联结起来,.,因为 是区域，,可在 内取一条联结 折线,于是，,第6页,因,f,(,z,),不为常数,就是联结 而且,完全含于 一条曲线,.,从而，,仿照柯西积分定理,古萨证实第三步，,能够找到一条联结,内接于 且完全含于 折线,于是 是连通,.,第7页,符合定理条件解析函数,w=f,(,z,),将,z,0,一个充分小邻域变成,w,0,=,f,(,z,0,),一个曲边邻域,.,第8页,假如,要求,:,y,x,C,.,.,正向,:,t,增大方向,;,2,、解析变换保角性,导数几何意义,在数学分析中,我们知道，导数用来刻画因变量相对于自变量改变情况，且含有相当显著几何意义,.,那么，一个复变函数导数将会刻画怎样关系呢？又有什么样几何意义呢？,第9页,当,p,方向与,C,一致,.,C,.,.,y,x,C,.,y,x,第10页,之间夹角,.,.,第11页,C,.,y,x,v,u,.,第12页,或,v,u,.,导数辐角几何意义,.,第13页,第14页,说明,:,转动角大小与方向跟曲线,C,形状无关,.,映射,w,=,f,(,z,),含有转动角不变性,.,.,.,第15页,则有,结论,:,夹角,方向不变性质,此性质称为,保角性,.,在其大小和方向上都等同于经过,第16页,C,v,u,y,x,.,.,.,.,第17页,C,v,u,y,x,.,.,.,.,第18页,所以,:,方向无关,.,所以这种映射又含有,伸缩率不变性,.,第19页,解,第20页,反之放大,.,第21页,经过以上分析,有,第22页,解,对于复平面上任意一点,D,，有,（极限存在）,定义,7.1,对于定义在,D,内变换,w=f,(,z,),假如它在,D,内任意一点含有保角性和伸缩率不变性，则称,w=f,(,z,),是,第一类保角变换；,假如它在,D,内任意一点保持曲线交角大小不变但方向相反和伸缩率不变，则称,w=f,(,z,),是,第二类保角变换,.,第23页,需要尤其指出是，,是必要，,不然,保角性将不成立,.,解,第24页,其导数为,第25页,第26页,第27页,3,、单叶解析变换共形性,第28页,第29页,第30页,第31页,第32页,第33页,第34页,第35页,第36页,