时间序列分析4-差分方程.pptx

返回,上页,下页,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,差分方程初步,第1页,时间序列分析时间序列计量经济学,方法以,差分方程,理论为基础。是相关含随机成份差分方程预计。,人们通常将时间序列分析用于预测变量时间路径。因为序列可预测成份能够,外推,至未来期间，所以，揭示序列,动态路径,可使得预测效果大为改进。伴随人们对,动态经济学,兴趣日益增加，时间序列计量经济学已经开始受到新重视。于是，从动态经济模型中很自然地产生了随机差分方程，经过恰当预计方程能够用于解释经济数据和进行假设检验。,模型作用：预测、解释、检验,第2页,第一节 差分方程基本概念,一、差分概念,定义1,设函数,y,t,=,f,(,t,)在,t,=,-,2,-,1,0,1,2,处有定义,对应函数值为,y,-,2,y,-,1,y,0,y,1,y,2,则函数,y,t,=,f,(,t,)在时间,t,一阶差分,定义为,D,y,t,=,y,t,+,1,-,y,t,=,f,(,t,+,1),-,f,(,t,),依此定义类推,有,D,y,t,+,1,=,y,t,+,2,-,y,t,+,1,=,f,(,t,+,2),-,f,(,t,+,1),D,y,t,+,2,=,y,t,+,3,-,y,t,+,2,=,f,(,t,+,3),-,f,(,t,+,2),第3页,一阶差分性质,(1)若,y,t,=,C,(,C,为常数),则,D,y,t,=,0;,(2)对于任意常数,k,D,(,ky,t,),=,k,D,y,t,;,(3),D,(,y,t,+,z,t,),=D,y,t,+D,z,t,第4页,定义2,函数,y,t,=,f,(,t,)在时刻,t,二阶差分,定义为一阶差分差分,即,D,2,y,t,=D,(,D,y,t,),=D,y,t,+,1,-D,y,t,=,(,y,t,+,2,-,y,t,+,1,),-,(,y,t,+,1,-,y,t,),=,y,t,+,2,-,2,y,t,+,1,+,y,t,依此定义类推,有,D,2,y,t,+,1,=D,y,t,+,2,-D,y,t,+,1,=,y,t,+,3,-,2,y,t,+,2,+,y,t,+,1,D,2,y,t,+,2,=D,y,t,+,3,-D,y,t,+,2,=,y,t,+,4,-,2,y,t,+,3,+,y,t,+,2,类推,计算两个相继二阶差分之差,便得到,三阶差分,D,3,y,t,=D,2,y,t,+,1,-D,2,y,t,=,y,t,+,3,-,3,y,t,+,2,+,3,y,t,+,1,-,y,t,D,3,y,t,+,1,=D,2,y,t,+,2,-D,2,y,t,+,1,=,y,t,+,4,-,3,y,t,+,3,+,3,y,t,+,2,-,y,t,+,1,第5页,普通地,k,阶差分,(,k,为正整数)定义为,这里,第6页,二、差分方程,定义3,含有未知函数,y,t,=,f,(,t,)以及,y,t,差分,y,t,2,y,t,函数方程,称为,常差分方程,(简称差分方程);出现在差分方程中差分最高阶数,称为,差分方程阶,.,n,阶差分方程普通形式为,F,(,t,y,t,y,t,n,y,t,),=,0,其中,F,是,t,y,t,y,t,n,y,t,已知函数,且,n,y,t,一定要在方程中出现,第7页,定义3,含有两个或两个以上函数值,y,t,y,t,+,1,函数方程,称为,(常)差分方程,出现在差分方程中未知函数下标最大差,称为,差分方程阶,n,阶差分方程普通形式为,F,(,t,y,t,y,t,+,1,，,y,t,+,n,)=0,其中,F,为,t,y,t,y,t,+,1,，,y,t,+,n,已知函数,且,y,t,和,y,t,+,n,一定要在差分方程中出现.,第8页,三、差分方程解,定义4,假如将已知函数,y,t,=,j,(,t,)代入方程,F,(,t,y,t,y,t,+,1,，,y,t,+,n,)=0,使其对,t,=,-,2,-,1,0,1,2,成为恒等式,则称,y,t,=,j,(,t,)为方程解.含有,n,个任意(独立)常数,C,1,C,2,C,n,解,y,t,=,(,t,C,1,C,2,C,n,),称为,n,阶差分方程通解.在通解中给任意常数,C,1,C,2,C,n,以确定值所得解,称为,n,阶差分方程特解.,第9页,比如,函数,y,t,=,at,+,C,(,a,为已知常数,C,为任意常数)是差分方程,y,t,+,1,-,y,t,=,a,通解.而函数,y,t,=,at,y,t,=,at,-,1,均是这个差分方程特解.,由差分方程通解来确定它特解,需要给出确定特解定解条件.,n,阶差分方程,F,(,t,y,t,y,t,+,1,，,y,t,+,n,)=0常见定解条件为初始条件.,y,0,=,a,0,y,1,=,a,1,，,y,n,-,1,=,a,n,-,1,，,这里,a,0,a,1,a,2,，,a,n,-,1,均为已知常数,第10页,只要保持差分方程中时间滞后结构不变,不论对,t,提前或推后一个相同等间隔值,所得新方程与原方程是等价,即二者有相同解.比如,方程,ay,t,+,1,-,by,t,=,0,与方程,ay,t,+,2,-,by,t,+,1,=,0,都是相互等价,第11页,四、线性差分方程及其基本定理,形如,y,t,+,n,+,a,1,(,t,),y,t,+,n,-,1,+,a,2,(,t,),y,t,+,n,-,2,+,+,a,n,-,1,(,t,),y,t,1,+,a,n,(,t,),y,t,=,f,(,t,),差分方程,称为,n,阶非齐次线性差分方程,.其中,a,1,(,t,),a,2,(,t,),a,n,-,1,(,t,),a,n,(,t,)和,f,(,t,)都是,t,已知函数,且,a,n,(,t,)0,f,(,t,)0.而形如,y,t,+,n,+,a,1,(,t,),y,t,+,n,-,1,+,a,n,-,1,(,t,),y,t,+,1,+,a,n,(,t,),y,t,=,0,差分方程,称为,n,阶齐次线性差分方程,.其中,a,i,(,t,)(,i,=,1,2,，,n,)为,t,已知函数,且,a,n,(,t,)0.,第12页,假如,a,i,(,t,),=,a,i,(,i,=,1,2,n,)均为常数(,a,n,0),则有,y,t,+,n,+,a,1,y,t,+,n,-,1,+,a,2,y,t,+,n,-,2,+,+,a,n,-,1,y,t,+,1,+,a,n,y,t,=,f,(,t,)，,y,t,+,n,+,a,1,y,t,+,n,-,1,+,a,2,y,t,+,n,-,2,+,+,a,n,-,1,y,t,+,1,+,a,n,y,t,=,0,分别称为,n,阶常系数非齐次线性差分方程,和,n,阶常系数齐次线性差分方程,.,第13页,定理1(齐次线性差分方程解叠加原理),若,y,1,(,t,),y,2,(,t,),y,m,(,t,)是齐次线性差分方程,y,t,+,n,+,a,1,y,t,+,n,-,1,+,a,2,y,t,+,n,-,2,+,+,a,n,-,1,y,t,+,1,+,a,n,y,t,=,0,m,个特解(,m,2),则其线性组合,y,(,t,),=,A,1,y,1,(,t,),+,A,2,y,2,(,t,),+,+,A,m,y,m,(,t,)也是方程解,其中,A,1,，,A,2,，,A,m,为任意常数,定理2,n,阶齐次线性差分方程,y,t,+,n,+,a,1,y,t,+,n,-,1,+,a,2,y,t,+,n,-,2,+,+,a,n,-,1,y,t,+,1,+,a,n,y,t,=,0,一定存在,n,个线性无关特解,第14页,定理3(齐次线性差分方程通解结构定理),假如,y,1,(,t,),y,2,(,t,),y,n,(,t,)是齐次线性差分方程,y,t,+,n,+,a,1,y,t,+,n,-,1,+,a,2,y,t,+,n,-,2,+,+,a,n,-,1,y,t,+,1,+,a,n,y,t,=,0,n,个线性无关特解,则方程通解为：,y,A,(,t,),A,1,y,1,(,t,),+,A,2,y,2,(,t,),+,+,A,n,y,n,(,t,)，,其中,A,1,，,A,2,，,A,n,为,n,个任意,(,独立,),常数,第15页,定理4(非齐次线性差分方程通解结构定理),假如 (,t,)是非齐次线性方程,y,t,+,n,+,a,1,(,t,),y,t,+,n,-,1,+,a,2,(,t,),y,t,+,n,-,2,+,+,a,n,-,1,(,t,),y,t,1,+,a,n,(,t,),y,t,=,f,(,t,)一个特解,y,A,(,t,)是其对应齐次线性方程,y,t,+,n,+,a,1,y,t,+,n,-,1,+,a,2,y,t,+,n,-,2,+,+,a,n,-,1,y,t,+,1,+,a,n,y,t,=,0通解,那么,非齐次线性差分方程通解为：,y,(,t,),=,y,A,(,t,),+,(,t,),即,y,(,t,),=,A,1,y,1,(,t,),+,A,2,y,2,(,t,),+,+,A,n,y,n,(,t,),+,(,t,)，,这里,A,1,，,A,2,A,n,为,n,个任意(独立)常数,第16页,第二节 一阶常系数线性差分方程,一阶常系数线性差分方程普通形式为,y,t,+1,+,ay,t,=,f,(,t,),和,y,t,+1,+,ay,t,=,0,其中,f,(,t,)为,t,已知函数,a,0为常数.分别称为,一阶常系数非齐次线性差分方程,和其对应,齐次差分方程,.,第17页,一、齐次差分方程通解,将方程,y,t,+1,+,ay,t,=,0改写为:,y,t,+1,=-,ay,t,t,=,0,1,2,假定在初始时刻(即,t,=,0)时,函数,y,t,取任意值,A,那么由上式逐次迭代,算得,y,1,=-,ay,0,=-,aA,y,2,=-,ay,1,=,(,-,a,),2,A,方程通解为,y,t,=,A,(,-,a,),t,t,=,0,1,2,假如给定初始条件,t,=,0时,y,t,=,y,0,则,A,=,y,0,此时特解为：,y,t,=,y,0,(,-,a,),t,第18页,二、非齐次方程通解与特解,1.迭代法求通解,将方程改写为,y,t,+1,=,(,-,a,),y,t,+,f,(,t,),t,=,0,1,2,逐步迭代,则有,y,1,=,(,-,a,),y,0,+,f,(0),y,2,=,(,-,a,),2,y,0,+(,-,a,),f,(0)+,f,(1),y,3,=,(,-,a,),3,y,0,+(,-,a,),2,f,(0)+(,-,a,),f,(1)+,f,(2),第19页,由数学归纳法,可得,y,t,=,(,-,a,),t,y,0,+(,-,a,),t,-,1,f,(0)+(,-,a,),t,-,2,f,(1)+,f,(,t,-,1),=,(,-,a,),t,y,0,+,(,t,=,0,1,2,),，,y,A,(,t,),=,(,-,a,),t,y,0,为对应齐次方程通解.,第20页,解,例,第21页,方程通解,第22页,2.待定系数法求特解,情形,f,(,t,)为常数,方程变为,y,t,+1,+,ay,t,=,b,a,b,均为非零常数,试以 (,为待定常数)形式特解代入方程得,+,a,=,(1+,a,),=,b,当,a,-1时,可求得特解,当,a,=-,1时,改设特解 (,为待定系数),将其代入方程得,(,t,+1)+,a,t,=,(1+,a,),t,+,=,b,求得特解,第23页,方程通解为,解,例,第24页,情形,f,(,t,)为,t,多项式,不妨设,f,(,t,),=,b,0,+,b,1,t,(,t,一次多项式),即,y,t,+1,+,ay,t,=,b,0,+,b,1,t,t,=,1,2,，,其中,a,b,0,b,1,均为常数,且,a,0,b,1,0,试以特解,=,a,+,b,t,(,a,b,为待定系数)代入方程得,a,+,b,(,t,+1)+,a,(,a,+,b,t,),=,b,0,+,b,1,t,，,上式对一切,t,值均成立,其充分必要条件是：,第25页,当1+,a,0时,即,a,-1时，,方程特解为,当,a,=-1时,改设特解,=,(,a,+,b,t,),t,=,a,t,+,b,t,2,将其代入方程可求得特解,第26页,方程通解为,解,例,第27页,情形,f,(,t,)为指数函数,不妨设,f,(,t,),=,b,d,t,b,d,均为非零常数,方程变为,y,t,+1,+,ay,t,=,b,d,t,t,=,0,1,2,求得特解,当,a,+,d,0时,设方程有特解,=,m,d,t,m,为,待定系数.将其代入方程得,m,d,t,+1,+,a,m,d,t,=,b,d,t,当,a,+,d,=,0时,改设方程特解,=,td,t,为待定系数,将其代入方程可求得特解,=,btd,t,当,a,+,d,=,0时,改设方程特解,=,td,t,为待定系数,将其代入方程可求得特解,=,btd,t,求得特解,当,a,+,d,=,0时,改设方程特解,=,td,t,为待定系数,将其代入方程可求得特解,=,btd,t,第28页,方程通解为,解,例,第29页,情形,f,(,t,)为正弦、余弦型三角函数,设,f,(,t,),=,b,1,cos,t,+,b,2,sin,t,其中,b,1,b,2,均为常数,且,0,b,1,与,b,2,不一样时为零.于是非齐次方程变为,y,t,+1,+,ay,t,=,b,1,cos,t,+,b,2,sin,t,a,0,t,=,0,1,2,设方程有特解,=,a,cos,t,+,b,sin,t,a,b,均为待定系数.,将其代入方程得,a,cos,(,t,+1)+,b,sin,(,t,+1)+,a,a,cos,t,+,a,b,sin,t,=,b,1,cos,t,+,b,2,sin,t,(,a,cos,+,b,sin,+,a,a,)cos,t,+(,-,a,sin,+,b,cos,+,a,b,)sin,w,t,=,b,1,cos,t,+,b,2,sin,t,第30页,(,a,cos,+,b,sin,+,a,a,)cos,t,+(,-,a,sin,+,b,cos,+,a,b,)sin,w,t,=,b,1,cos,t,+,b,2,sin,t,上式对,t,=0,1,2,恒成立充分必要条件是,其系数行列式,第31页,当,D,0时,则可求得其解,当,D,=,(,a,+cos,w,),2,sin,2,w,=,0时,则有,改设特解,第32页,代入方程并整理可得,方程通解为,第33页,例,求差分方程,y,t,+1,-,2,y,t,=,cos,t,通解,解,对应齐次方程通解为,y,A,(,t,),=,A,2,t,设非齐次方程特解为,=,a,cos,t,+,b,sin,t,其中,a,b,为待定系数,将其代入原方程,并利用三角函数和角公式,得,第34页,所给方程通解为,第35页,第三节 二阶常系数线性差分方程,二阶常系数线性差分方程普通形式为,y,t,+,2,+,a,1,y,t,+,1,+,a,2,y,t,=,f,(,t,)，,t,=0,1,2,，,其中,f,(,t,)为,t,已知函数,a,1,a,2,为已知常数,且,a,2,0,称为,二阶常系数非齐次线性差分方程,尤其地,当,f,(,t,),0,时,方程变为,y,t,+,2,+,a,1,y,t,+,1,+,a,2,y,t,=0,称为,对应齐次差分方程,第36页,一、齐次差分方程通解,称,2,a,1,+,a,2,=0为,二阶常系数非齐次线性差分方程,或其,对应齐次差分方程,特征方程,它解,(,或根,),称为方程,特征根,(,值,),特征方程两个根为,(1)特征根为相异两实根,当,0,时,1,2,为两相异实根.,y,1,(,t,)=,1,t,与,y,2,(,t,)=,2,t,是齐次差分方程两个线性无关特解.,第37页,齐次差分方程通解,1,2,由特征方程确定,A,1,A,2,为两任意,(,独立,),常数,例,求差分方程,y,t,+,2,-,7,y,t,+,1,+,12,y,t,=0通解,解,特征方程为,2,-,7,+,12=(,-,3)(,-,4)=0,有两相异实特征根,1,=3,2,=4,原方程通解为,第38页,(2)特征根为两相等实根,当,=0,时,=,1,=,2,=为两相等实根.,方程一个特解：,y,t,(,t,)=,t,方程另一个特解为,y,(,t,)=,t,t,，,且与,t,线性无关.,方程通解为,第39页,例,求差分方程,y,t,+,2,-,4,y,t,+,1,+,4,y,t,=0通解.,解,特征方程为,2,-,4,+,4=(,-,2),2,=0，,方程有重特征根,=,1,=,2,=,2,原方程通解为,y,A,(,t,)=(,A,1,+,A,2,t,)2,t,A,1,A,2,为任意常数,第40页,(3)特征根为一对共轭复根,当,0时,1,2,为一对共轭复根.,1,2,=,i,=,r,(cos,isin,),第41页,y,1,(,t,)=,r,t,cos,t,y,2,(,t,)=,r,t,sin,t,是方程两个线性无关特解.,方程通解为,y,A,(,t,)=,r,t,(,A,1,cos,t,+,A,2,sin,t,),其中,A,1,，,A,2,为任意常数.,第42页,例,求差分方程,y,t,+,2,-,2,y,t,+,1,+,2,y,t,=0通解,解,特征方程,2,-,2,+,2=(,-,1),2,1=0,特征根为一对共轭复根,1,2,=1,i,方程通解为,第43页,二、非齐次方程特解与通解,例,求差分方程,y,t,+,2,-,7,y,t,+,1,+,12,y,t,=6通解,解,对应齐次方程通解为,y,A,(,t,)=,A,1,3,t,+,A,2,4,t,，,原方程通解为,y,t,=,y,A,(,t,),+,=,A,1,3,t,+,A,2,4,t,+,1，,这里,A,1,A,2,为任意常数,因为1,+,a,1,+,a,2,=1,-,7,+,120,设特解,=,B,B,为待定常数,将其代入原方程,求得,B,=1.,第44页,例,求差分方程,y,t,+,2,-,3,y,t,+,1,+,2,y,t,=4通解,解,特征方程为,2,-,3,+,2=(,-,1)(,-,2)=0,特征根,1,=,1,2,=,2,.,对应齐次方程通解为,y,A,(,t,)=,A,1,+,A,2,2,t,因,1,+,a,1,+,a,2,=1,-,3,+,2=0,故应设非齐次方程特解为,=,Bt,B,为待定系数,将其代入原方程,求得,B,=,-,4,原方程通解为,y,t,=,y,A,(,t,),+,=,A,1,+,A,2,2,t,-,4,t,，,这里,A,1,A,2,为任意常数,第45页,例,求差分方程,y,t,+,2,-,4,y,t,+,1,+,4,y,t,=3,+,2,t,通解.,解,对应齐次方程通解为,y,A,(,t,)=(,A,1,+,A,2,t,)2,t,此式对,t,=0,1,2,恒成立充要条件是,B,0,-,2,B,1,=3,B,1,=2.,由此解得：,B,0,=7,，,B,1,=2,设非齐次方程有特解,=,B,0,+,B,1,t,B,0,B,1,为待定系数.将其代入原方程中,得,(,B,0,-,2,B,1,),+,B,1,t,=3,+,2,t,第46页,所求非齐次方程特解为,原方程通解为,A,1,A,2,为任意常数,第47页,例,求差分方程,y,t,+,2,-,4,y,t,+,1,+,4,y,t,=5,t,通解,解,对应齐次方程通解为,y,A,(,t,)=(,A,1,+,A,2,t,)2,t,设所给非齐次方程特特为,=,B,5,t,B,为待定系数.,将其代入所给方程,可得,B,5,t,+,2,-,4,B,5,t,+,1,+,4,B,5,t,=5,t,非齐次方程特解为,所给方程通解为,其中,A,1,A,2,为任意常数,第48页,第四节 差分方程在经济学中应用,一、存款模型,设,S,t,为,t,期存款总额,i,为存款利率,则,S,t,与,i,有以下关系式：,S,t,+1,=,S,t,+,iS,t,=(1+,i,),S,t,t,=0,1,2,，,其中,S,0,为初始存款总额,第49页,二、动态供需均衡模型(蛛网定理),设,D,t,表示,t,期需求量,S,t,表示,t,期供给量,P,t,表示商品,t,期价格,则传统动态供需均衡模型为：,其中,a,b,a,1,b,1,均为已知常数.,(1)式表示,t,期(现期)需求依赖于同期价格；,(2)式表示,t,期(现期)供给依赖于(,t,-1)期(前期)价格,(3)式为供需均衡条件,第50页,若在供需平衡条件下,而且价格保持不变,即,P,t,=,P,t,-,1,=,P,e,，,静态均衡价格,需求曲线与供给曲线交点(,P,e,Q,e,)即为该种商品静态均衡点,动态供需均衡模型等价差分方程,方程一个特解,方程通解为,第51页,若初始价格,P,0,已知时,将其代入通解,可求得任意常数,A,=,P,0,-,P,e,此时,通解改写为,假如初始价格,P,0,=,P,e,那么,P,t,=,P,e,这表明没有外部干扰发生,价格将固定在常数值,P,e,上,即静态均衡,假如初始价格,P,0,P,e,那么价格,P,t,将随,t,改变而改变.,动态价格,P,t,伴随,t,无限增大逐步地振荡趋近于静态均衡价格,P,e,.,第52页,普通商品价格与供需关系图,第53页,三、凯恩斯(Keynes.J.M)乘数动力学模型,设,Y,t,表示,t,期国民收入,C,t,为,t,期消费,I,t,为,t,期投资,I,0,为自发(固定)投资,I,为周期固定投资增量.凯恩斯国民经济收支动态均衡模型为：,(1),式为均衡条件,即国民收入等于同期消费与同期投资之和;,(2),式为消费函数,即现期消费水平依赖于前期国民收入,(,消费滞后于收入一个周期,),a,(,0),为基本消费水平,b,为边际消费倾向,(0,b,1);(3),式为投资函数,这里仅考虑为固定投资,第54页,在(1)(2)(3)式中消去,C,t,和,I,t,得到一阶常系数非齐次线性差分方程：,Y,t,-,bY,t,-,1,=,a,+,I,0,+,I,方程一个特解,方程通解为,其中,A,为任意常数.称系数 为凯恩斯乘数.,第55页,四、哈罗德(Harrod.R.H)经济增加模型,设,S,t,为,t,期储蓄,Y,t,为,t,期国民收入,I,t,为,t,期投资,s,称为边际储蓄倾向(即平均储蓄倾向),0,s,1,k,为加速系数.,哈罗德宏观经济增加模型为：,其中,s,k,为已知常数,(1)式表示,t,期储蓄依赖于前期国民收入;(2)式表示,t,期投资为前两期国民收入差加速,且预期资本加速系数,k,为常数;(3)式为均衡条件.,第56页,经整理后得齐次差分方程,其通解为,其中,A,为任意常数,哈罗德称之为“确保增加率”,其经济意义就是：假如国民收入,Y,t,按确保增加率 增加,那么就能确保,t,期储蓄与,t,期投资到达动态均衡,即,I,t,=,S,t,t,=0,1,2,第57页,假定,t,-,1期收入,Y,t,-,1,满足于通解,而,t,期收入,Y,t,因为某种外部干扰满足,设,B,0,那么有,因,kB,0,故,I,t,S,t,.表示:总投资将大于总供给,(,由储蓄提供,),从而对收入产生一个向上压力,迫使收入较以前增加得更多.充分地说明了,“确保增加率”确保了国民收入增加.,第58页,五、萨缪尔森(Samuelson P.A)乘数加速数模型,设,Y,t,为,t,期国民收入,C,t,为,t,期消费,I,t,为,t,期投资,G,为政府支出,(,各期均相同,),.萨缪尔森将乘数和加速数两个参数同时引进而得到国民经济收支均衡模型,(,也称为乘数,-,加速数模型,),：,其中,G,0为常数,b,称为边际消费倾向(常数),k,为加速数.,第59页,将(2)(3)两式代入(1)并经整理后得：,Y,t,-,b,(1+,k,),Y,t,-,1,+,bkY,t,-,2,G,其特解,其经济意义为：国民收入均衡值等于凯恩斯乘数与政府支出自发投资,G,乘积.,对应齐次方程为,Y,t,-,b,(1+,k,),Y,t,-,1,+,bkY,t,-,2,=0，,其特征方程为,2,-,b,(1+,k,),+,bk,=0,，,特征方程判别式,=,b,2,(,1,k,),2,-,4,bk,=,b,b,(1+,k,),2,-,4,k,第60页,当,0时,特征方程有两相异实根,齐次方程通解为：,Y,A,(,t,)=,A,1,1,t,+,A,2,2,t,(,A,1,A,2,为任意常数),当,=0时,特征方程有一对相等实特征根,齐次,方程通解为：,(,A,1,A,2,为任意常数),第61页,当,0时,特征方程有一对共轭复根：,齐次,方程通解为：,Y,(,t,)=,t,(,A,1,cos,t,+,A,2,sin,t,),A,1,A,2,为任意常数,.,第62页,方程,Y,t,-,b,(1+,k,),Y,t,-,1,+,bkY,t,-,2,G,通解,第63页,