20142015海淀区初三数学第一学期期末试题及答案.doc

2014-2015海淀区初三数学第一学期期末练习 2015.1
1．方程的根的情况是
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.没有实数根 D.无法确定是否有实数根
2.在Rt△ABC中，∠C=90º，，则的值为
A. B. C. 　 D.
3.若右图是某个几何体的三视图，则这个几何体是
A. 长方体 B. 正方体 C. 圆柱 D. 圆锥
4.小丁去看某场电影，只剩下如图所示的六个空座位供他选择，座位号分别为1号、4号、6号、3号、5号和2号．若小丁从中随机抽取一个，则抽到的座位号是偶数的概率是
A. B. C. D.
5．如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，AB=4，则A1B1的长为
A. 1 B. 2 C. 4 　 D. 8
6．已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是反比例函数的图象上的两点，若x1＜0＜x2，则下列结论正确的是
A．y1＜0＜y2 B．y2＜0＜y1 C．y1＜y2＜0 D．y2＜y1＜0
7．如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，OD⊥AC于D，过点O作 OE∥AC交半圆O于点E，过点E作EF⊥AB于F．若AC=2，则OF的长为
A． B． C．1 D．2
8．如图1，在矩形ABCD中，AB<BC，AC，BD交于点O．点E为线段AC上的一个动点，连接DE，BE，过E作EF⊥BD于F．设AE=x，图1中某条线段的长为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图1中的

图1 图2
A．线段EF B．线段DE C．线段CE D．线段BE
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9．若扇形的半径为3cm，圆心角为120°，则这个扇形的面积为__________ cm2．
10．在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为1m，同时测得一栋建筑物的影长为12m，那么这栋建筑物的高度为 m.
11．如图，抛物线与直线y＝bx＋c的两个交点坐标分别为，，则关于x的方程的解为__________．
12． 对于正整数，定义，其中表示的首位数字、末位数字的平方和．例如：，．
规定，（为正整数）．例如：，．
（1） 求：____________，______________；
（2） 若，则正整数m的最小值是_____________．
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13.计算：.
14.如图，△ABC中，AB=AC，D是BC中点，BE⊥AC于E. 求证：△ACD∽△BCE．

15.已知是一元二次方程的实数根，求代数式的值．

16.抛物线平移后经过点，，求平移后的抛物线的表达式．

17.如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象交于A，B两点，A点的横坐标为2，AC⊥x轴于点C，连接BC.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点P是反比例函数图象上的一点，且满足△OPC与△ABC的面积相等，请直接写出点P的坐标．

18.如图，△ABC中，∠ACB=90°，， BC=8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为E．
（1）求线段CD的长；
（2）求的值．
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若，且，求整数m的值．

20. 某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，据调研显示，每个档次的日产量及相应的单件利润如下表所示（其中x为正整数，且1≤x≤10）：
质量档次
1
2
…
x
…
10
日产量（件）
95
90
…

…
50
单件利润（万元）
6
8
…

…
24
为了便于调控，此工厂每天只生产一个档次的产品．当生产质量档次为x的产品时，当天的利润为y万元．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）工厂为获得最大利润，应选择生产哪个档次的产品？并求出当天利润的最大值．

21.如图，四边形ABCD是平行四边形，点A，B，C在⊙O上，AD与⊙O相切，射线AO交BC于点E，交⊙O于点F．点P在射线AO上，且∠PCB=2∠BAF．
（1）求证：直线PC是⊙O的切线；
（2）若AB=，AD=2，求线段PC的长．

22．阅读下面材料：
小明观察一个由正方形点阵组成的点阵图，图中水平与竖直方向上任意两个相邻点间的距离都是1．他发现一个有趣的问题：对于图中出现的任意两条端点在点阵上且互相不垂直的线段，都可以在点阵中找到一点构造垂直，进而求出它们相交所成锐角的正切值．
请回答：
（1）如图1，A、B、C是点阵中的三个点，请在点阵中找到点D，作出线段CD，使得CD⊥AB；
（2）如图2，线段AB与CD交于点O．为了求出的正切值，小明在点阵中找到了点E，连接AE，恰好满足于F，再作出点阵中的其它线段，就可以构造相似三角形，经过推理和计算能够使问题得到解决．
请你帮小明计算：OC=_______________；=_______________；

图1 图2 图3

参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，计算：=_______________．

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25小题8分）
23.在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，.
（1） 求代数式mn的值；
（2） 若二次函数的图象经过点B，求代数式的值；
（3） 若反比例函数的图象与二次函数的图象只有一个交点，且该交点在直线的下方，结合函数图象，求的取值范围.

24．如图1，在△ABC 中，BC=4，以线段AB为边作△ABD，使得AD=BD， 连接DC，再以DC为边作△CDE，使得DC = DE，∠CDE=∠ADB=α．
（1）如图2 ，当∠ABC=45°且α=90°时，用等式表示线段
AD，DE之间的数量关系；
图1
（2）将线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，
连接BF，AF．
① 若α=90°，依题意补全图3， 求线段AF的长；
②请直接写出线段AF的长（用含α的式子表示）．

图2 图3 备用图

25. 在平面直角坐标系xOy中，设点，是图形W上的任意两点．
定义图形W的测度面积：若的最大值为m，的最大值为n，则 为图形W的测度面积．
例如，若图形W是半径为1的⊙O．当P，Q分别是⊙O与x轴的交点时，如图1， 取得最大值，且最大值m=2；当P，Q分别是⊙O与y轴的交点时，如图2，取得最大值，且最大值n=2．则图形W的测度面积．

（1）若图形W是等腰直角三角形ABO，OA=OB=1.
①如图3，当点A，B在坐标轴上时，它的测度面积S= ；
②如图4，当AB⊥x轴时，它的测度面积S= ；
（2）若图形W是一个边长为1的正方形ABCD，则此图形测度面积S的最大值为 ；
（3）若图形W是一个边长分别为3和4的矩形ABCD，求它的测度面积S的取值范围．

数学试卷答案及评分参考
阅卷须知:
1. 为便于阅卷,本试卷答案中有关解答题的推导步骤写的较为详细,阅卷时,只要考生将主要过程正确写出即可.
2. 若考生的解法与给出的解法不同,正确者可参照评分参考相应给分.
3. 评分参考中所注分数,表示考生正确做到步应得的累加分数。

一、选择题（本题共32分，每小题4分）
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
答 案
A
A
D
C
B
B
C
B

二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9． ； 10． 24 ；
11． ； 12． （1）37，26；（每个答案1分）（2）6.（2分）

三、解答题：（本题共30分，每小题5分）
13．（本小题满分5分）
解：原式 ……………………………………………………………………4分
． ………………………………………………………………………………5分
14. （本小题满分5分）
证明：∵AB=AC，D是BC中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°．…………………………………………………………………………1分
∵BE⊥AC，
∴∠BEC=90°．
∴∠ADC=∠BEC． ……………………………………………………………………2分
在△ACD和△BCE中，

∴△ACD∽△BCE．………………………………………………………………………5分
15. （本小题满分5分）
解：由已知，可得．………………………………………………………1分
∴． ………………………………………………………………………2分
∴原式=．………………………………………………5分
16. （本小题满分5分）
解：设平移后抛物线的表达式为．………………………………………1分
∵平移后的抛物线经过点，，
∴ ………………………………………………………………………3分
解得 …………………………………………………………………………4分
所以平移后抛物线的表达式为．……………………………………5分
解二：∵平移后的抛物线经过点，，
∴平移后的抛物线的对称轴为直线. …………………………………………1分
∴设平移后抛物线的表达式为．…………………………………2分
∴．.………………………………………………………………3分
∴．.………………………………………………………………………………4分
所以平移后抛物线的表达式为． …………………………………5分
17. （本小题满分5分）
解：（1）将代入中，得．
∴点A坐标为．………………………………………………………………1分
∵点A在反比例函数的图象上，
∴．……………………………………………………………………2分
∴反比例函数的解析式为．…………………………………………………3分
（2）或．……………………………………………………………5分
18. （本小题满分5分）
解：（1）∵△ABC中，∠ACB=90°，， BC=8，
∴．…………………………………………………………1分
∵△ABC中，∠ACB=90°，D是AB中点，
∴．…………………………………………………………………2分
（2）法一：过点C作CF⊥AB于F，如图．
∴∠CFD=90°．
在Rt△ABC中，由勾股定理得．
∵，
∴．………………………………3分
∵BE⊥CE，
∴∠BED=90°．
∵∠BDE=∠CDF，
∴∠ABE=∠DCF．………………………………………4分
∴． …………………………………5分
法二：∵D是AB中点，AB=10，
∴．……………………………………………………………………3分
∴．
在Rt△ABC中，由勾股定理得．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴． ………………………………………………4分
∵BE⊥CE，
∴∠BED=90°．
∴．……………………………………………………5分

四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．（本小题满分5分）
解：（1）由已知，得且，
∴且．…………………………………………………………………2分
（2）原方程的解为．
∴或． …………………………………………………………………3分
∵，
∴，．
∴．
∵，
∴．
∴．
又∵，
∴．……………………………………………………………………4分
∵m是整数，
∴．…………………………………………………………………………5分
20. （本小题满分5分）
解：（1）． ……………………………2分
（且x为整数）．
（2）∵．…………………………3分
又∵且x为整数，
∴当时，函数取得最大值1210．
答：工厂为获得最大利润，应生产第9档次的产品，当天的最大利润为1210万元．
………………………………………………………………5分
21. （本小题满分5分）
解：（1）连接OC．
∵AD与⊙O相切于点A，
∴FA⊥AD．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴FA⊥BC．
∵FA经过圆心O，
∴F是的中点，BE=CE，∠OEC=90°．……………………………………1分
∴∠COF=2∠BAF．
∵∠PCB=2∠BAF，
∴∠PCB=∠COF．
∵∠OCE+∠COF=180°-∠OEC=90°，
∴∠OCE+∠PCB=90°．
∴OC⊥PC．
∵点C在⊙O上，
∴直线PC是⊙O的切线．…………………………………………………………2分
（2） ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=2．
∴BE=CE=1．
在Rt△ABE中，∠AEB=90°，AB=，
∴．
设⊙O的半径为r，则，．
在Rt△OCE中，∠OEC=90°，
∴．
∴ ．
解得．…………………………………………………………………………3分
∵∠COE=∠PCE，∠OEC=∠CEP =90°．
∴△OCE∽△CPE．……………………………………………………………………4分
∴．
∴．
∴．……………………………………………………………………………5分
22.（本小题满分5分）
（1）如图，线段CD即为所求；……………………1分
（2）OC=，=5；……………………3分
（3）=．…………………………………5分

五、解答题：（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分）

23．（本小题满分7分）
解：（1）∵反比例函数的图象经过点，
∴．………………………………………………………………………1分
∴反比例函数的解析式为．
∵反比例函数的图象经过点，
∴．………………………………………………………………………2分
（2）∵二次函数的图象经过点，
∴．…………………………………………………………………3分
∴．
∴．
由（1）得，
∴原式

．……………………………………………………………………4分
（3）由（1）得反比例函数的解析式为．
令，可得，解得．
∴反比例函数的图象与直线交于
点，．…………………………5分
当二次函数的图象经过点时，可得；
当二次函数的图象经过点时，可得．
∵二次函数的顶点为，
∴由图象可知，符合题意的的取值范围是或．…………7分（注：只写或只写，减1分.）
24. （本小题满分7分）
（1） AD+DE=4．…………………………………………1分
（2）① 补全图形，如右图所示．……………………2分

解： 设DE与BC相交于点H，连接 AE，
交BC于点G，如图．
∠ADB=∠CDE =90°，
∴∠ADE=∠BDC．
在 △ADE与△BDC中，

∴△ADE ≌△BDC．……………………………………3分
∴AE= BC ，∠AED=∠BCD．
DE与BC相交于点H，∴∠GHE=∠DHC．
∴∠EGH=∠EDC=90°．…………………………………………………………………………4分
线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，
∴EF = CB=4， EF // CB．
∴AE= EF．CB//EF，∴∠AEF=∠EGH=90°．
AE=EF，∠AEF=90°，∴∠AFE=45°．
∴AF==4． …………………………………………………………………………5分
② ． ………………………………………………………………………………7分

25.（本小题满分8分）
解：（1）① 1；………………………………………………………………………………1分
② 1．…………………………………………………………………………………2分
（2） 2． …………………………………………………………………………………4分
（3）不妨设矩形ABCD的边AB=4，BC=3．由已知可得，平移图形W不会改变其测度面积S的大小，将矩形ABCD的其中一个顶点B平移至x轴上．
图5
图6
当顶点A，B或B，C都在x轴上时，如图5和图6，矩形ABCD的测度面积S就是矩形ABCD的面积，此时S取得最小值，且最小值为12．
………………………………5分

图7
当顶点A，C都不在x轴上时，如图7．
过A作直线AE⊥x轴于点E，过C作直线CF⊥x轴于点F，
过D作直线GH∥x轴，与直线AE，CF分别交于点H和点
G，则可得四边形EFGH是矩形．
当点P，Q分别与点A，C重合时，取得最大值，
且最大值；
当点P，Q分别与点B，D重合时，取得最大值，且最大值．
∴图形W的测度面积．
∵∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠CBF=90°．
∵∠AEB=90°，
∴∠ABE+∠BAE=90°．
∴∠BAE=∠CBF．
又∵，
∴△ABE∽△BCF．…………………………………………………………………………6分
∴．
设，则，
在Rt△ABE中，由勾股定理得．
∴．即．∵，∴
易证△ABE≌△CDG． ∴．
∴，．
∴

∴当，即时，测度面积S取得最大值．…………7分
∵，∴．∴．
∴当顶点A，C都不在x轴上时，S的范围为．
综上所述，测度面积S的取值范围是．……