高中数学推理与证明2.3数学归纳法.pptx

剖析题型 提炼方法,实验解读,构建知识网络 强化答题语句,探究高考 明确考向,*,*,*,*,2.3,数学归纳法,第二章,推理与证实,1/45,学习目标,1.,了解数学归纳法原理,.,2.,能用数学归纳法证实一些简单数学命题,.,2/45,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,3/45,问题导学,4/45,知识点数学归纳法,对于一个与正整数相关等式,n,(,n,1)(,n,2),(,n,50),0.,思索,1,验证当,n,1,，,n,2,，,，,n,50,时等式成立吗？,答案,成立,.,思索,2,能否经过以上等式归纳出当,n,51,时等式也成立？为何？,答案,不能，上面等式只对,n,取,1,至,50,正整数成立,.,5/45,梳理,(1),数学归纳法定义,普通地，证实一个与,n,相关命题，可按以下步骤进行：,(,归纳奠基,),证实当,n,取第一个值,n,0,(,n,0,N,*,),时命题成立；,(,归纳递推,),假设当,n,k,(,k,n,0,，,k,N,*,),时命题成立，证实当,时命题也成立,.,只要完成这两个步骤，就能够断定命题对从,n,0,开始全部正整数,n,都成立,.,这种证实方法叫做数学归纳法,.,正整数,n,k,1,6/45,(2),数学归纳法框图表示,n,=,n,0,n,=,k,n,=,k,+1,从,n,0,开始全部正整数,n,7/45,1.,与正整数,n,相关数学命题证实只能用数学归纳法,.(,),2.,数学归纳法第一步,n,0,初始值一定为,1.(,),3.,数学归纳法两个步骤缺一不可,.(,),思索辨析 判断正误,8/45,题型探究,9/45,类型一用数学归纳法证实等式,证实,例,1,用数学归纳法证实：,1,4,2,7,3,10,n,(3,n,1),n,(,n,1),2,，其中,n,N,*,.,10/45,证实,(1),当,n,1,时，左边,1,4,4,，右边,1,2,2,4,，左边右边，等式成立,.,(2),假设当,n,k,(,k,1,，,k,N,*,),时等式成立，,即,1,4,2,7,3,10,k,(3,k,1),k,(,k,1),2,，,那么当,n,k,1,时，,1,4,2,7,3,10,k,(3,k,1),(,k,1),3(,k,1),1,k,(,k,1),2,(,k,1),3(,k,1),1,(,k,1)(,k,2,4,k,4),(,k,1),(,k,1),1,2,，,即当,n,k,1,时等式也成立,.,依据,(1),和,(2),可知等式对任何,n,N,*,都成立,.,11/45,反思与感悟,用数学归纳法证实恒等式时，一是搞清,n,取第一个值,n,0,时等式两端项情况；二是搞清从,n,k,到,n,k,1,等式两端增加了哪些项，降低了哪些项；三是证实,n,k,1,时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联络，并朝,n,k,1,证实目标表示式变形,.,12/45,证实,13/45,(2),假设当,n,k,(,k,1,，,k,N,*,),时等式成立，,14/45,即当,n,k,1,时，等式也成立,.,综合,(1),，,(2),可知，对一切,n,N,*,，等式成立,.,则当,n,k,1,时，,15/45,类型二用数学归纳法证实不等式,证实,16/45,故左边,右边，不等式成立,.,(2),假设当,n,k,(,k,2,，,k,N,*,),时，命题成立，,则当,n,k,1,时，,17/45,方法一,(,分析法,),只需证,(3,k,2)(3,k,3),(3,k,1)(3,k,3),(3,k,1)(3,k,2),3(3,k,1)(3,k,2),0,，,只需证,(9,k,2,15,k,6),(9,k,2,12,k,3),(9,k,2,9,k,2),(27,k,2,27,k,6),0,，,只需证,9,k,5,0,，显然成立,.,所以当,n,k,1,时，不等式也成立,.,18/45,方法二,(,放缩法,),所以当,n,k,1,时，不等式也成立,.,由,(1)(2),可知，原不等式对一切,n,2,，,n,N,*,均成立,.,19/45,证实,20/45,(2),假设当,n,k,(,k,1,，,k,N,*,),时，不等式成立，,21/45,当,n,k,1,时，不等式成立,.,由,(1)(2),知对于任意正整数,n,，不等式成立,.,22/45,反思与感悟,用数学归纳法证实不等式四个关键,(1),验证第一个,n,值时，要注意,n,0,不一定为,1,，若,n,k,(,k,为正整数,),，则,n,0,k,1.,(2),证实不等式第二步中，从,n,k,到,n,k,1,推导过程中，一定要用到归纳假设，不应用归纳假设证实不是数学归纳法，因为缺乏归纳假设,.,23/45,(3),用数学归纳法证实与,n,相关不等式普通有两种详细形式：一是直接给出不等式，按要求进行证实；二是给出两个式子，按要求比较它们大小，对第二类形式往往要先对,n,取前几个值情况分别验证比较，以免出现判断失误，最终猜出从某个,n,值开始都成立结论，惯用数学归纳法证实,.,(4),用数学归纳法证实不等式关键是由,n,k,时成立得,n,k,1,时成立，主要方法有比较法、分析法、综正当、放缩法等,.,24/45,证实,证实,当,n,1,时，,a,1,a,2,，命题成立；,当,n,k,1,时，命题也成立,.,由,得，对任意正整数,n,，都有,a,n,2.,25/45,类型三归纳,猜测,证实,解答,(1),用,a,表示,a,2,，,a,3,，,a,4,；,26/45,解答,(2),猜测,a,n,表示式,(,用,a,和,n,表示,),，并用数学归纳法证实,.,27/45,下面用数学归纳法证实,.,当,n,1,时，,28/45,假设当,n,k,(,k,1,，,k,N,*,),时猜测成立，,所以当,n,k,1,时，,29/45,所以当,n,k,1,时猜测也成立,.,依据,与,可知猜测对一切,n,N,*,都成立,.,30/45,反思与感悟,“,归纳,猜测,证实,”,普通步骤,31/45,跟踪训练,3,考查以下各式,2,2,1,3,4,4,1,3,4,5,6,8,1,3,5,5,6,7,8,16,1,3,5,7,你能做出什么普通性猜测？能证实你猜测吗？,解答,32/45,解,由题意得，,2,2,1,3,4,4,1,3,4,5,6,8,1,3,5,5,6,7,8,16,1,3,5,7,，,，,猜测：,(,n,1)(,n,2)(,n,3),2,n,2,n,135,(2,n,1),，,下面利用数学归纳法进行证实,.,(1),当,n,1,时，猜测显然成立；,(2),假设当,n,k,(,k,1,，,k,N,*,),时，猜测成立，即,(,k,1)(,k,2)(,k,3),2,k,2,k,135,(2,k,1),，,33/45,那么当,n,k,1,时，,(,k,1,1)(,k,1,2)(,k,1,3),2(,k,1),(,k,1)(,k,2),2,k,(2,k,1)2,2,k,135,(2,k,1)(2,k,1)2,2,k,1,135,(2,k,1),2,k,1,135,2(,k,1),1,所以当,n,k,1,时猜测成立,.,依据,(1)(2),可知对任意正整数猜测均成立,.,34/45,达标检测,35/45,1,2,3,4,5,答案,解析,36/45,1,2,3,4,5,37/45,1,2,3,4,5,2.,用数学归纳法证实,“,1,a,a,2,a,2,n,1,(,a,1),”.,在验证,n,1,时，左端计算所得项为,A.1,a,B.1,a,a,2,C.1,a,a,2,a,3,D.1,a,a,2,a,3,a,4,解析,将,n,1,代入,a,2,n,1,得,a,3,，故选,C.,解析,答案,38/45,3.,若命题,A,(,n,)(,n,N,*,),在,n,k,(,k,N,*,),时成立，则有,n,k,1,时命题成立,.,现知命题对,n,n,0,(,n,0,N,*,),时成立，则有,A.,命题对全部正整数都成立,B.,命题对小于,n,0,正整数不成立，对大于或等于,n,0,正整数都成立,C.,命题对小于,n,0,正整数成立是否不能确定，对大于或等于,n,0,正整数都成立,D.,以上说法都不正确,解析,由已知，得,n,n,0,(,n,0,N,*,),时命题成立，则,n,n,0,1,时命题成立，,在,n,n,0,1,时命题成立前提下，又可推得，,n,(,n,0,1),1,时命题也成立，,依这类推，可知选,C.,1,2,3,4,5,答案,解析,39/45,4.,用数学归纳法证实,1,2,2,2,2,n,1,2,n,1(,n,N,*,),过程以下：,(1),当,n,1,时，左边,1,，右边,2,1,1,1,，等式成立,.,(2),假设当,n,k,(,k,N,*,),时等式成立，即,1,2,2,2,2,k,1,2,k,1,，则当,n,k,1,时，,1,2,2,2,2,k,1,2,k,2,k,1,1.,所以当,n,k,1,时，等式也成立,.,由此可知对于任何,n,N,*,，等式都成立,.,上述证实，错误是,_.,解析,本题在由,n,k,成立证实,n,k,1,成立时，,应用了等比数列求和公式，,而未用上归纳假设，这与数学归纳法要求不符,.,1,2,3,4,5,答案,解析,未用归纳假设,40/45,证实,1,2,3,4,5,41/45,左边右边，等式成立,.,假设当,n,k,(,k,1,，,k,N,*,),时，等式成立,.,当,n,k,1,时，,1,2,3,4,5,42/45,1,2,3,4,5,43/45,1,2,3,4,5,左边右边，等式成立,.,即对全部,n,N,*,，原式都成立,.,44/45,在应用数学归纳法证题时应注意以下几点：,(1),验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证初始值不一定是,1.,(2),递推是关键：正确分析由,n,k,到,n,k,1,时式子项数改变是应用数学归纳法成功证实问题保障；,(3),利用假设是关键：在第二步证实中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法关键步骤，不然这么证实就不是数学归纳法证实,.,规律与方法,45/45,