高考数学复习数学归纳法总复习.pptx

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D.0,解析,边数最少凸,n,边形是三角形,.,C,4/49,3.,假如命题,p,(,n,),对,n,=,k,成立，则它对,n,=,k,+2,也成立,.,若,p,(,n,),对,n,=2,成立，则以下结论正确是,(),A.,p,(,n,),对全部正整数,n,都成立,B.,p,(,n,),对全部正偶数,n,都成立,C.,p,(,n,),对全部正奇数,n,都成立,D.,p,(,n,),对全部自然数,n,都成立,解析,归纳奠基是：,n,=2,成立,.,归纳递推是：,n,=,k,成立，则对,n,=,k,+2,成立,.,p,（,n,）对全部正偶数,n,都成立,.,B,5/49,4.,某个命题与自然数,n,相关，若,n,=,k,(,k,N,+,),时命题,成立，那么可推得当,n,=,k,+1,时该命题也成立，现,已知,n,=5,时,该命题不成立,那么能够推得,(),A.,n,=6,时该命题不成立,B.,n,=6,时该命题成立,C.,n,=4,时该命题不成立,D.,n,=4,时该命题成立,解析,方法一,由,n,=,k,(,k,N,+,),成立,可推得当,n,=,k,+1,时该命题也成立,.,因而若,n,=4,成立，必有,n,=5,成立,.,现知,n,=5,不成立，所以,n,=4,一定不成立,.,方法二,其逆否命题“若当,n,=,k,+1,时该命题不成,立，则当,n,=,k,时也不成立”为真，故“,n,=5,时不,成立”,“,n,=4,时不成立”,.,C,6/49,5.,用数学归纳法证实,1+2+3+,n,2,=,则当,n,=,k,+1,时左端应在,n,=,k,基础上加上,(),A.,k,2,+1,B.,（,k,+1,）,2,C.,D.,（,k,2,+1,）,+,（,k,2,+2,）,+,（,k,2,+3,）,+,（,k,+1,）,2,解析,当,n,=,k,时，左边,=1+2+3+,k,2,，,当,n,=,k,+1,时，,左边,=1+2+3+,k,2,+,（,k,2,+1,）,+,（,k,+1,）,2,，,当,n,=,k,+1,时，左端应在,n,=,k,基础上加上,（,k,2,+1,）,+,（,k,2,+2,）,+,（,k,2,+3,）,+,（,k,+1,）,2,.,C,7/49,题型一 用数学归纳法证实等式,用数学归纳法证实,:,对任意,n,N,+,用数学归纳法证实步骤为：归纳,奠基：验证当,n,=1,时结论成立；归纳递推：假,设当,n,=,k,（,k,N,+,）时成立，推出当,n,=,k,+1,时结论,也成立,.,题型分类 深度剖析,8/49,证实,所以等式成立,.,(2),假设当,n,=,k,(,k,N,+,),时等式成立,即有,9/49,所以当,n,=,k,+1,时,等式也成立,.,由（,1,）（,2,）可知,对一切,n,N,+,等式都成立,.,用数学归纳法证实与正整数相关一,些等式时，关键在于,“,先看项,”,，搞清等式两边,组成规律，等式两边各有多少项，项多少与,n,取值是否相关，由,n,=,k,到,n,=,k,+1,时等式两边变,化项，然后正确写出归纳证实步骤，使问题,得以证实,.,10/49,知能迁移,1,用数学归纳法证实：,证,明,（,1,）当,n,=1,时，等式左边,等式右边 所以等式成立,.,（,2,）假设,n,=,k,（,k,N,+,）时等式成立，,那么当,n,=,k,+1,时，,11/49,即,n,=,k,+1,时等式成立,.,由（,1,）（,2,）可知，对任意,n,N,+,等式均成立,.,12/49,13/49,题型二 用数学归纳法证实整除问题,用数学归纳法证实,a,n,+1,+(,a,+1),2,n,-1,(,n,N,+,）,能被,a,2,+,a,+1,整除,.,解,（,1,）当,n,=1,时，,a,2,+(,a,+1)=,a,2,+,a,+1,可被,a,2,+,a,+1,整除,.,（,2,）假设,n,=,k,(,k,N,+,),时，,a,k,+1,+(,a,+1),2,k,-1,能被,a,2,+,a,+1,整除，,验证,n,=1,时命题是否成立,假设,n,=,k,时命题成立,推证,n,=,k,+1,时命题成立,得结论,14/49,则当,n,=,k,+1,时，,a,k,+2,+(,a,+1),2,k,+1,=,a,a,k,+1,+(,a,+1),2,(,a,+1),2,k,-1,=,a,a,k,+1,+,a,(,a,+1),2,k,-1,+(,a,2,+,a,+1)(,a,+1),2,k,-1,=,a,a,k,+1,+(,a,+1),2,k,-1,+(,a,2,+,a,+1)(,a,+1),2,k,-1,由假设可知,a,a,k,+1,+(,a,+1),2,k,-1,能被,a,2,+,a,+1,整除，,(,a,2,+,a,+1)(,a,+1),2,k,-1,也能被,a,2,+,a,+1,整除，,a,k,+2,+,（,a,+1,）,2,k,+1,也能被,a,2,+,a,+1,整除，,即,n,=,k,+1,时命题也成立，,对任意,n,N,+,原命题成立,.,证实整除问题关键是,“,凑项,”,，而,采取增项、减项、拆项和因式分解等伎俩，凑出,n,=,k,时情形，从而利用归纳假设使问题获证,.,15/49,知能迁移,2,求证：（,3,n,+1,）,7,n,-1(,n,N,+,),能被,9,整除,.,证实,(1),当,n,=1,时,(3,n,+1)7,n,-1=27,能被,9,整除,.,(2),假设,n,=,k,(,k,N,+,),时命题成立，即,(3,k,+1)7,k,-1,能被,9,整除，,那么,n,=,k,+1,时：,3(,k,+1)+1,7,k,+1,-1=,(3,k,+1)+3,(1+6)7,k,-1,=(3,k,+1)7,k,-1+(3,k,+1)67,k,+217,k,=,(3,k,+1)7,k,-1,+3,k,67,k,+(6+21)7,k,.,以上三项均能被,9,整除,.,则由（,1,）（,2,）可知，命题对任意,n,N,+,都成立,.,16/49,题型三 用数学归纳法证实不等式,用数学归纳法证实：对一切大于,1,自然,数，不等式,均成立,.,应注意到题目条件，第一步应验证,n,=2,时不等式成立,.,证实,（,1,）当,n,=2,时，左边,左边,右边，不等式成立,.,（,2,）假设,n,=,k,(,k,2,且,k,N,+,),时不等式成立，,17/49,则当,n,=,k,+1,时，,当,n,=,k,+1,时，不等式也成立,.,由（,1,）（,2,）知，对于一切大于,1,自然数,n,不等,式都成立,.,18/49,在由,n,=,k,到,n,=,k,+1,推证过程中，应用放,缩技巧，使问题得以简化,.,用数学归纳法证实不等,式问题时，从,n,=,k,到,n,=,k,+1,推证过程中，证实不等,式惯用方法有比较法、分析法、综正当、放缩,法等,.,19/49,知能迁移,3,已知函数,f,(,x,)=,x,-sin,x,数列,a,n,满足,:,0,a,1,1,a,n,+1,=,f,(,a,n,),n,=1,2,3,.,证实,:,(1),0,a,n,+1,a,n,1,(2),证实,(1),先用数学归纳法证实,0,a,n,1,n,=1,2,3,.,(),当,n,=1,时，由已知结论成立,.,(),假设当,n,=,k,(,k,N,+,),时结论成立，即,0,a,k,1.,因为,0,x,0,所以,f,(,x,),在,(0,1),上是增函数,.,又,f,(,x,),在,0,，,1,上连续，,从而,f,(0),f,(,a,k,),f,(1),即,0,a,k,+1,1-sin 11.,20/49,故当,n,=,k,+1,时，结论成立,.,由,()(),可知，,0,a,n,1,对一切正整数都成立,.,又因为,0,a,n,1,时，,a,n,+1,-,a,n,=,a,n,-sin,a,n,-,a,n,=-sin,a,n,0,所以,a,n,+1,a,n,.,总而言之,0,a,n,+1,a,n,1.,（,2,）设函数,g,(,x,)=sin,x,-,x,+,由（,1,）知，当,0,x,1,时，,sin,x,x,.,从而,g,(,x,)=,21/49,所以,g,(,x,),在（,0,，,1,）上是增函数,.,又,g,(,x,),在,0,，,1,上连续，且,g,(0)=0,，,所以当,0,x,0,成立,.,于是,g,(,a,n,)0,即,22/49,题型四 归纳、猜测、证实,（,12,分）已知等差数列,a,n,公差,d,大于,0,且,a,2,a,5,是方程,x,2,-12,x,+27=0,两根，数列,b,n,前,n,项和为,T,n,，且,（,1,）求数列,a,n,、,b,n,通项公式；,（,2,）设数列,a,n,前,n,项和为,S,n,，试比较 与,S,n,+1,大小，并说明理由,.,(1),由,a,2,、,a,5,是方程根，求出,a,n,，再,由 求出,b,n,.,(2),先猜测 与,S,n,+1,大小关系，再用数学归纳,法证实,.,23/49,解,又,a,n,公差大于,0,，,a,5,a,2,a,2,=3,a,5,=9.,5,分,24/49,6,分,25/49,下面用数学归纳法证实：,当,n,=4,时，已证,.,9,分,26/49,=(,k,2,+4,k,+4)+2,k,2,+2,k,-1,(,k,+1)+1,2,=,S,(,k,+1)+1,11,分,12,分,27/49,（,1,）归纳,猜测,证实是高考重点,考查内容之一，这类问题可分为归纳性问题和,存在性问题，本例中归纳性问题需要从特殊情况,入手，经过观察、分析、归纳、猜测，探索出一,般规律,.,（,2,）数列是定义在,N,+,上函数，这与数学归纳法,利用范围是一致，而且数列递推公式与归,纳原理实质上是一致，数列中有不少问题惯用,数学归纳法处理,.,28/49,知能迁移,4,如图所表示，,P,1,（,x,1,，,y,1,）、,P,2,（,x,2,，,y,2,）、,、,P,n,（,x,n,，,y,n,）（,0,y,1,y,2,y,n,）是曲线,C,：,y,2,=3,x,（,y,0,）上,n,个点，点,A,i,（,a,i,，,0,）（,i,=1,，,2,，,3,，,，,n,）在,x,轴正半轴上，且,A,i,-1,A,i,P,i,是,正三角形（,A,0,是坐标原点）,.,(1),写出,a,1,、,a,2,、,a,3,；,(2),求出点,A,n,（,a,n,，,0,）（,n,N,+,）横坐标,a,n,关于,n,表示式并证实,.,29/49,解,（,1,）,a,1,=2,a,2,=6,a,3,=12.,(2),依题意，得,即,(,a,n,-,a,n,-1,),2,=2(,a,n,-1,+,a,n,).,由（,1,）可猜测：,a,n,=,n,(,n,+1)(,n,N,+,).,下面用数学归纳法给予证实：,当,n,=1,时，命题显然成立；,假设当,n,=,k,(,k,N,+,),时命题成立,即有,a,n,=,k,(,k,+1),则当,n,=,k,+1,时，由归纳假设及,(,a,k,+1,-,a,k,),2,=2(,a,k,+,a,k,+1,),30/49,得,a,k,+1,-,k,(,k,+1),2,=2,k,(,k,+1)+,a,k,+1,即,(,a,k,+1,),2,-2(,k,2,+,k,+1),a,k,+1,+,k,(,k,-1),（,k,1,）（,k,+2,）,=0,，,解之得，,a,k,+1,=(,k,+1)(,k,+2)(,a,k,+1,=,k,(,k,-1)1)”,时，由,n,=,k,(,k,1),不等式成立，,推证,n,=,k,+1,时，左边应增加项数是,(),A.2,k,-1,B.2,k,-1,C.2,k,D.2,k,+1,解析,增加项数为（,2,k,+1,-1,）,-(2,k,-1)=,2,k,+1,-2,k,=2,k,.,C,35/49,3.,对于不等式,(,n,N,+,),，某同学用数学归纳法,证实过程以下：,（,1,）当,n,=1,时，不等式成立,.,（,2,）假设当,n,=,k,(,k,N,+,),时，不等式成立，,即 则当,n,=,k,+1,时，,所以当,n,=,k,+1,时，不等式成立，则上述证法,(),A.,过程全部正确,B.,n,=1,验得不正确,C.,归纳假设不正确,D.,从,n,=,k,到,n,=,k,+1,推理不正确,解析,在,n,=,k,+1,时，没有应用,n,=,k,时假设,不是数,学归纳法,.,D,36/49,4.,用数学归纳法证实“,n,3,+(,n,+1),3,+(,n,+2),3,(,n,N,+,),能被,9,整除”，要利用归纳假设证,n,=,k,+1,时情况,只需展开,(),A.(,k,+3),3,B.(,k,+2),3,C.(,k,+1),3,D.(,k,+1),3,+(,k,+2),3,解析,假设当,n,=,k,时，原式能被,9,整除,即,k,3,+(,k,+1),3,+(,k,+2),3,能被,9,整除,.,当,n,=,k,+1,时,(,k,+1),3,+(,k,+2),3,+(,k,+3),3,为了能用上面,归纳假设，只需将,(,k,+3),3,展开，让其出现,k,3,即,可,.,A,37/49,5.,证实 当,n,=2,时，,左边式子等于,(),A.1 B.,C.D.,解析,当,n,=2,时，左边式子为,D,38/49,6.,用数学归纳法证实不等式,(,n,2,n,N,+,),过程中，由,n,=,k,递推到,n,=,k,+1,时不等,式左边,(),A.,增加了一项,B.,增加了两项,C.,增加了,B,中两项但降低了一项,D.,以上各种情况均不对,39/49,解析,答案,C,40/49,二、填空题,7.,若,f,(,n,)=1,2,+2,2,+3,2,+(2,n,),2,则,f,(,k,+1),与,f,(,k,),递推,关系式是,.,解析,f,(,k,)=1,2,+2,2,+(2,k,),2,，,f,(,k,+1)=1,2,+2,2,+(2,k,),2,+(2,k,+1),2,+(2,k,+2),2,，,f,(,k,+1)=,f,(,k,)+(2,k,+1),2,+(2,k,+2),2,.,f,(,k,+1)=,f,(,k,)+(2,k,+1),2,+(2,k,+2),2,41/49,8.,用数学归纳法证实,(,n,N,且,n,1),第一步要证不等式是,.,解析,n,=2,时，左边,42/49,9.,已知整数正确序列以下：,(,1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),，,，则第,60,个数对是,.,解析,本题规律：,2=1+1,；,3=1+2=2+1,；,4=1+3=2+2=3+1,；,5=1+4=2+3=3+2=4+1,；,；,一个整数,n,所拥有数对为,(,n,-1),对,.,设,1+2+3+(,n,-1)=60,n,=11,时还多,5,对数，且这,5,对数和都为,12,，,12=1+11=2+10=3+9=4+8=5+7,，,第,60,个数对为（,5,，,7,）,.,(5,7),43/49,三、解答题,10.,已知数列,a,n,中，,(,n,N,+,).,证,明：,0,a,n,a,n,+1,1.,证实,(1),n,=1,时，,0,a,1,a,2,1,故结论成立,.,(2),假设,n,=,k,（,k,N,+,）时结论成立，,即,0,a,k,a,k,+1,1,44/49,即,0,a,k,+1,a,k,+2,1,也就是说,n,=,k,+1,时，结论也成立,.,由,(1)(2),可知，对一切,n,N,+,都有,0,a,n,a,n,+1,1.,45/49,11.,用数学归纳法证实对于任意正整数,n,(,n,2,-1)+,2(,n,2,-2,2,)+,n,(,n,2,-,n,2,)=,证实,（,1,）当,n,=1,时，左式,=1,2,-1=0,所以等式成立,.,（,2,）假设,n,=,k,(,k,N,+,),时等式成立,即,(,k,2,-1)+2(,k,2,-2,2,)+,k,(,k,2,-,k,2,),那么,(,k,+1),2,-1,+2,(,k,+1),2,-2,2,+,k,(,k,+1),2,-,k,2,+(,k,+1),(,k,+1),2,-(,k,+1),2,46/49,=(,k,2,-1)+2(,k,2,-2,2,)+,k,(,k,2,-,k,2,)+(2,k,+1)(1+2+,k,),所以当,n,=,k,+1,时等式成立,.,由（,1,）（,2,）知对任意,n,N,+,等式成立,.,47/49,12.,在数列,a,n,、,b,n,中，,a,1,=2,b,1,=4,且,a,n,b,n,，,a,n,+1,成,等差数列，,b,n,a,n,+1,b,n,+1,成等比数列（,n,N,+,），求,a,2,a,3,a,4,与,b,2,b,3,b,4,值，由此猜测,a,n,b,n,通,项公式，并证实你结论,.,解,由条件得,2,b,n,=,a,n,+,a,n,+1,=,b,n,b,n,+1,.,又,a,1,=2,b,1,=4,由此可得,a,2,=6,b,2,=9,a,3,=12,b,3,=16,a,4,=20,b,4,=25,猜测,a,n,=,n,(,n,+1),b,n,=(,n,+1),2,.,用数学归纳法证实：,当,n,=1,时，,a,1,=2,b,1,=4,结论成立,.,48/49,假设当,n,=,k,（,k,N,+,）时结论成立，即,a,k,=,k,(,k,+1),b,k,=,（,k,+1,）,2,，那么当,n,=,k,+1,时，,a,k,+1,=2,b,k,-,a,k,=2(,k,+1),2,-,k,(,k,+1)=(,k,+1),(,k,+1)+1,所以,当,n,=,k,+1,时，结论也成立,.,由知，,a,n,=,n,(,n,+1),b,n,=(,n,+1),2,对一切正整数都,成立,.,返回,49/49,