复变函数--第九章.ppt

第九章,Z,变换,Fourier,变换和,Laplace,变换是研究连,续时间函数的重要工具,本章将要介绍的,Z,变换则是研究离散时间函数的重要工具,.,1,Z,变换的定义,2,Z,变换的性质,9.1,Z,变换的概念与性质,9.1.1,Z,变换的定义,定义,9.1,设 是无限序列,.,如果级数 在,z,平面的某一区域内收敛,其中,z,为复参变量,则由这个级数所确定的函数,称为序列,f,(,n,),的,Z,变换,记为,显然,Z,变换的定义式是,Laurent,级数,所以如果,存在收敛域,则为圆环域,且,F,(,z,),在圆环域内解析,.,序列 通常称为双边序列,.,如果在,时 则称右,(,左,),边序列,.,果存在常数 使得,则右边序列,f,(,n,),的,Z,变换 在,定理,9.1,(,Z,变换存在定理,),设 为常数,.,如,内存在,.,如果存在常数 使得,则左边序列,f,(,n,),的,Z,变换 在,内存在,.,如果 且上面两个不等式都,成立,则双边序列,f,(,n,),的,Z,变换,在 内存在,.,证明 如果 那么,当 时,收敛,则,在 内存在,.,如果 那么,令 于是,当 时,收敛,于是,在 内存在,.,例,9.1,设序列 其中,n,是非负整数，,求,F,(,z,).,根据,Z,变换的定义,当 时,下面再给出几个序列,Z,变换的例子,注意它们,之间的差异,.,例,9.2,设序列 求,F,(,z,).,根据,Z,变换的定义,当 时,例,9.3,设序列,求,F,(,z,).,根据,Z,变换的定义,当 时,例,9.4,设指数序列 其中,为复数，求,F,(,z,).,根据,Z,变换的定义,当 时,9.1.2,Z,变换的性质,以下假定所讨论的序列均满足,Z,变换存在定理,的条件,.,(1),线性性质,设,a,b,是常数，,则,例,9.5,求正弦序列 和余弦序列,的,Z,变换,其中,同样可得,利用线性性质和,当 时,(2),位移性质,双边序列的位移性质,:,设,f,(,n,),是双边序列,则对整数,m,有,证明 根据,Z,变换的定义,令 于是,右边序列的位移性质,:,设,f,(,n,),是右边序列,则对正整数,m,有,(,右移,),(,左移,).,证明 根据,Z,变换的定义,令 于是,因为,f,(,n,),是右边序列,所以,同样,对,令,例,9.6,求变换 和,其中,n,为非负整数,.,利用线性性质和 可得,再利用线性性质及,设,因为,所以当 时,从而利用 可得,例,9.7,求变换 和,其中,n,为非负整数,.,所以由,当 时,因为当 时,(3),微分性质,设 则,所以在收敛区域内,于是,因为,例,9.8,利用微分性质求变换,(,参见例,9.6).,解由,已知,所以,(4),相似性质,设 则对任意,证明 根据,Z,变换的定义,(5),卷积性质,设,则,证明 根据,Z,变换和卷积定义,令 于是,(6),初值定理,设 则,(7),终值定理,设 且 存在,则,9.2,Z,逆变换,已知,F,(,z,),及其收敛域,求对应的序列,f,(,n,),这样,的运算过程称为,Z,逆变换，记为,可以将,F,(,z,),在其收敛域内展开为,Laurent,级数来,求,Z,逆变换,.,例,9.9,求 的,Z,逆变换,其收,敛域分别为 和,解根据例,3.17,F,(,z,),在 展开,Laurent,级数为,F,(,z,),在 展开的,Laurent,级数为,下面的定理给出了,Z,逆变换的积分表达式，从,而可以应用复变函数论中的留数理论作为工具,来,求出,Z,逆变换,.,定理,9.2,设,收敛域,则,其中,C,为 内任意一条包含原点的正向光,滑闭曲线,.,证明由,Z,变换的定义有,于是 由于,所以沿曲线,C,求积分可得,如果 在,C,的内部区域中只有有限个,奇点,则由 和,可以利用留数来求,Z,逆变换,即,如果,F,(,z,),的收敛域为 一般将,f,(,n,),看做,右边序列,这时只需求 时的留数,.,因为,所以当,例,9.10,求 的,Z,逆变换,其,收敛域分别为 和,时,在,C,的内部区域中只有一个,1,级极点 当,(1),收敛域为,时,在,C,的内部区域中除,1,级极点 外,还有级数随,n,变化的极点,故当 时,当 时,是,1,级极点,所以,当 时,是,2,级极点,所以,可以得到,(2),收敛域为 此时将,f,(,n,),看做右边序列,即只考虑,对 内的任意一条包含原点的正向光滑闭,曲线,C,其内部区域含有函数,的两个,1,级极点 和 所以,9.3,Z,变换的应用,Z,变换在离散系统分析中得到广泛应用,.,描述,线性时不变离散系统的数学模型是常系数线性差分,方程,.,利用,Z,变换的位移性质可把差分方程变成代数,方程,然后求出待求量的,Z,变换表达式,再经逆变换,得到原差分方程的解,.,应用,Z,变换求解离散系统中出,现的常系数线性差分方程,与用,Laplace,变换解微分,方程的过程是类似的,.,像原函数,(,差分方程的解,),像函数,差分方程,像函数的,代数方程,Z,逆变换,Z,变换,解代数方程,例,9.11,求二阶常系数线性差分方程,满足初始条件 的解,.,解设 对差分方程取,Z,变换,并利用,(,右边序列的左移性质,),可得,代入初始条件求出,在 中将,Y,(,z,),展开为,Laurent,级数为,所以,例,9.12,求二阶常系数线性差分方程,满足初始条件,的解,.,解设 对差分方程取,Z,变换,由,(,右边序列的左移性质,),在 内,代入初始条件 求出,对 内任意一条包含原点的正向光滑闭曲线,C,其内部区域含有函数,的,1,级极点 和,2,级极点 于是利用留数,方法可求出,例,9.13,已知离散控制系统的状态方程为,初始条件为 控制变量为,求,解对状态方程组取,Z,变换,得,于是,所以,从而,例,9.14,考虑单输入单输出离散系统,假设初始条件都为,0,对系统方程取,Z,变换,得,从而有,称,H,(,z,),为上述单输入单输出离散系统的传递函数,.,考虑由状态方程和输出方程,描述的多输入多输出系统,其中,x,(,k,),是状态向量,u,(,k,),是输入向量,y,(,k,),是输出向量,.,同样假设初始,状态为,0,对状态方程取,Z,变换,得,于是可以求出,称 为上述多输入多输出,离散系统的传递矩阵,.,对于由状态方程和输出方程,描述的多输入多输出线性连续系统,其中,x,(,t,),是状,态向量,u,(,t,),是输入向量,y,(,t,),是输出向量,由线性,方程组解的公式可知,当系统用计算机进行控制时,控制信号在一个,采样周期内取常值,即,其中,t,k,为第,k,次采样时刻,.,这样在时间区间 中,由,x,(,t,),的连续性,令 得到,设,T,为采样周期,记,则得到离散化的状态方程为,其中,如果矩阵,A,可逆,可见,离散化的输出方程为,e,1,(,t,),R,C,e,2,(,t,),L,v,1,v,2,i,2,i,1,考虑,RLC,网络,系统,.,其状态方程,和输出方程为,其中,和,是加在网络两端的电压,.,设采样,周期,T,=1,当,时,将其离散化得到状态方程为,输出方程为,于是这个离散系统的传递矩阵为,解差分方程,解差分方程组,本章主要内容,基本性质,逆,变换,线性性质,位移性质,微分性质,相似性质,卷积定理,初值定理,终值定理,Z,变换,留数基本定理,Laurent,级数,本章的重点,3.,Z,变换在解差分方程中的应用,2.,Z,逆变换,1.,Z,变换的定义及其性质,第九章 完,