欧拉示性数与闭曲面的分类.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,欧拉示性数与闭曲面的分类,一 平面上的几何变换与不变性平面上几何图形的分类,平移变换,:,把直线变成直线，保持线段的长度和夹角不变,旋转变换,:,把直线变成直线，保持线段的长度和夹角不变,反射变换,:,把直线变成直线，保持线段的长度和夹角不变,一 平面上的几何变换与不变性平面上几何图形的分类,位似变换,:,把点变成点，直线变成直线，保持夹角不变,不能保持线段的长度，但对应线段长度之比保持不变,相似变换,:,把点变成点，直线变成直线，保持夹角不变,不能保持线段的长度，但对应线段长度之比保持不变,伸缩变换,:,把点变成点，直线变成直线，不能保持线段之比与夹角不变,但沿伸缩方向对应线段之比保持不变。,一 平面上的几何变换与不变性平面上几何图形的分类,分别按全等和相似给下列图形分类,二多面体的分类与欧拉公式的发现,观察下图中的凸多面体，试用顶点数,V,、棱数,E,和面数,F,分类。,(d),(b),(a),(c),二多面体的分类与欧拉公式的发现,多面体,顶点数,V,棱数,E,面数,F,F+V,V-E+F,a,6,9,5,11,2,b,5,8,5,10,2,c,8,12,6,14,2,d,8,12,6,14,2,二多面体的分类与欧拉公式的发现,多面体无法像平面图形一样用顶点数、棱数、面数分类。数学家欧拉通过对大量图形的分析，发现了一个重要的事实，即：无论凸多面体的顶点数,V,、棱数,E,和面数,F,怎样变化，当,F+V,相等时，它们的棱数,E,一定相等。进而他归纳出：,三 欧拉公式的证明,证法一,第一步：去掉一个面再经过连续变形变成平面上的一组“多边形”。第二步：把平面网络图中所有的小多边形都通过连对角线的方法分成若干个三角形（这些对角线不允许在多边形内相交）。第三步：上述网络图中，去掉一条最外面的边，又得到一个新的网络图。当发现有的三角形有两条边都是网络图的外边时，我们去掉这两条边和这个顶点，得到一个新的网络图。第四步：反复实施第二步、第三步，最后得到一个三角形。,三 欧拉公式的证明,证法二,用证法一中的方法，先得到平面网络图。在网络图中，去掉任意多边形的一条边，得到一个新的网络图。重复以上步骤，直到变成一个没有任何面的网络图。对上述网络图，从最边上顶点开始，去它和它相邻的边。重复以上步骤，最后，网络图只剩一个顶点。,四 拓扑变换与球面上的欧拉公式,具有以下两种特点的变换叫做,拓扑变换,（,1,）原象与象上的点是一一对应的；,（,2,）从原象到象的变换是一种“橡皮膜变形”；反之，从象返回到原象的变换也是“橡皮膜变形”，均称为“连续”变形。,四 拓扑变换与球面上的欧拉公式,设,是球面,S,上的任意一个三角剖分，则,V-E+F=2,。,即球面上的欧拉公式为：,V-E+F=2,。,亏格,(g),示性数,(,),关系,图例,0,2,2=2-2*0,1,0,0=2-2*1,2,-2,0=2-2*2,g,2-2g,2-2g,五,欧拉示性数与闭曲面的分类,六 欧拉公式与拓扑学,欧拉推动了一门新的几何学分支,拓扑学的诞生。在论文,哥尼斯堡的七座桥,的开头部分，他描述了这种新的几何：“讨论长短大小的几何学分支，一直被人们热心地研究着，但是还有一个至今几乎完全没有探索过的分支；莱布尼兹最先提起过它，称之位置的几何学。这个几何学分支只讨论与位置有关的关系，研究位置的性质，它不去考虑长短大小，也不牵涉到量的计算，但是至今未有过令人满意的定义，来刻划这门位置几何学的课题和方法,”,拓扑学就是研究“位置的几何学”的数学分支，有人把它形容为“橡皮泥的几何学”，也就是对一块“橡皮泥”可以任意揉搓，不允许撕裂，也不允许粘连，在这种情况下，研究“橡皮泥”有那些性质保持不变。现在，拓扑学已经发展成为一门成熟的数学分支，成为数学的基础学科。,六 欧拉公式与拓扑学,(1),一笔画问题,一个图，如果存在一条道路，从某个顶点出发，不重复地经过每一条边，我们把这样的图称作可以一笔画的图。这条道路称作欧拉路。如果上面这条道路的起点和终点相同则称这条道路为欧拉回路。,一笔画定理：一个图可以一笔画的充分必要条件是：它是连通的并且奇顶点个数是,0,或,2,。,六 欧拉公式与拓扑学,(2),四色问题,“四色定理”猜想：把平面划分成任意互不重叠的区域，总能用数字,1,，,2,，,3,，,4,来分别标示每个区域，使得任意两个相邻的区域都有不同的数字。,对四色问题，各区域的实际形状、大小、边界的长短都不重要。重要的是各区域的相互位置，也就是地图的拓扑结构。所以四色问题是一个拓扑问题。,六 欧拉公式与拓扑学,(3),扭结,把一根绳子随意地打上一些结，然后再把两端连结起来，这就是一条简单闭曲线。空间中的简单闭曲线也叫扭结。,如何判断一个扭结是不是平凡的，如何判断两个扭结是不是等价的，是一件很复杂的事，要用到更多的数学工具。,