Bezier曲线曲面.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,Bezier,曲线与曲面,由于几何外形设计的要求越来越高,传统的曲线曲面表示方法,已不能满足用户的需求。,1962,年，法国雷诺汽车公司的,P,.,E,.,Bezier,构造了一种以逼近为基础的参数曲线和曲面的设计方法，并用这种方法完成了一种称为,UNISURF,的曲线和曲面设计系统，,1972,年，该系统被投入了应用。,Bezier,方法将函数逼近同几何表示结合起来，使得设计师在计算机上就象使用作图工具一样得心应手。,7/7/2026,1,Bezier,曲线的定义和性质,7/7/2026,2,给定空间,n+1,个点的位置矢量,P,i,（,i=0,，,1,，,2,，,，,n,），则,Bezier,参数曲线上各点坐标的插值公式是：,其中，,P,i,构成该,Bezier,曲线的特征多边形，,B,i,n,(t),是,n,次,Bernstein,基函数：,0,=1,0!=1,曲线实例如右图所示。,Bezier,曲线定义,7/7/2026,3,Bezier,基函数,Bezier,基函数的定义,如下,n,次多项式称为,n,次,Bezier,基函数,7/7/2026,4,Bezier,基函数,Bezier,基函数的性质,正性,权性,7/7/2026,5,Bezier,基函数,对称性,降阶公式,7/7/2026,6,Bezier,基函数,升阶公式,导数,7/7/2026,7,Bezier,基函数,积分,最大值,在,t=i/n,处取得最大值,线性无关性,是,n,次多项式空间的一组基,7/7/2026,8,Bezier,曲线,Bezier,曲线的定义,n,次多项式曲线,P,（,t,）,称为,n,次,Bezier,曲线,控制顶点,控制多边形,7/7/2026,9,Bezier,曲线,Bezier,曲线的性质,端点位置,7/7/2026,10,Bezier,曲线,端点切矢量,导数曲线,7/7/2026,11,Bezier,曲线,端点曲率,曲率公式,7/7/2026,12,Bezier,曲线,仿射不变性,表达式,几何属性：形状，曲率等等,7/7/2026,13,Bezier,曲线,凸包性,凸集,凹集,点集的凸包,包含这些点的最小凸集,Bezier,曲线位于其控制顶点的凸包之内,7/7/2026,14,Bezier,曲线,直线再生性,平面曲线的保凸性,平面曲线的变差缩减性,7/7/2026,15,Bezier,曲线,拟局部性,形状的易控性,7/7/2026,16,Bezier,曲线,三次,Bezier,曲线的矩阵表示,7/7/2026,17,Bezier,曲线线性运算,De,Casteljau,算法,问题,给定参数 ，计算,t,P(t),7/7/2026,18,计算,Bezier,曲线上的点，可用,Bezier,曲线方程，但使用,de,Casteljau,提出的递推算法则要简单的多。,如图,3,.,1,.,10,所示，设 、是一条抛物线上顺序三个不同的点。过 和 点的两切线交于 点,在 点的切线交 和 于 和 ，则如下比例成立：,这是所谓抛物线的三切线定理。,三切线定理,德卡斯特里奥算法,7/7/2026,19,当,P,0,，,P,2,固定，引入参数,t,，,令上述比值为,t:(1-t),，,即有：,t,从,0,变到,1,，第一、二式就分别表示控制二边形的第一、二条边，它们是两条一次,Bezier,曲线。将一、二式代入第三式得：,当,t,从,0,变到,1,时，它表示了由三顶点,P,0,、,P,1,、,P,2,三点定义的一条二次,Bezier,曲线。并且表明：这二次,Bezier,曲线,P,2,0,可以定义为分别由前两个顶点（,P,0,，,P,1,）,和后两个顶点（,P,1,，,P,2,）,决定的一次,Bezier,曲线的线性组合。,线性组合,7/7/2026,20,Bezier,曲线计算,算法,计算过程,7/7/2026,21,Bezier,曲线计算,几何解释,7/7/2026,22,Bezier,曲线分割,分割定理,问题：一条多项式曲线被分割成两段，得到的两段曲线是不是多项式曲线？如果是，它们的表达式如何？,P=Q+R,7/7/2026,23,Bezier,曲线生成,离散生成算法,想法,7/7/2026,24,Bezier,曲线生成,程序,void,DisplayBezierCurve(Vector,P,int,n,float DELTA),if(Distance(P,n)=DELTA),显示控制多边形,P,；,else,BezierCurveSplitting(P,Q,R,n,);,DisplayBezierCurve(Q,n,DELTA,）；,DisplayBezierCurve(R,n,DELTA,）；,7/7/2026,25,Bezier,曲线的,拼接,几何设计中，一条,Bezier,曲线往往难以描述复杂的曲线形状。这是由于增加由于特征多边形的顶点数，会引起,Bezier,曲线次数的提高，而高次多项式又会带来计算上的困难，实际使用中，一般不超过,10,次。所以有时采用分段设计，然后将各段曲线相互连接起来，并在接合处保持一定的连续条件。下面讨论两段,Bezier,曲线达到不同阶几何连续的条件。,7/7/2026,26,Bezier,曲线拼接,曲线的拼接,7/7/2026,27,Bezier,曲线拼接,条件,条件,条件？,7/7/2026,28,给定两条,Bezier,曲线,P,(,t,),和,Q,(,t,),，,相应控制点为,P,i,(,i=0,1,.,n,),和,Q,j,(,j,=0,1,.,m,),，,且令 ，如图,3,.,1,.,13,所示，我们现在把两条曲线连接起来。,图,3,.,1,.13,Bezier,曲线的拼接,拼接命题,7/7/2026,29,（,1,）要使它们达到,G,0,连续的充要条件是：,P,n,=,Q,0,；,（,2,）,要使它们达到,G,1,连续的充要条件是：,P,n-1,，,P,n,=,Q,，,Q,1,三点共线，即：,（,3,）要使它们达到,G,2,连续的充要条件是：在,G,1,连续的条件下，并满足方程 。,我们将 、和 ，、代入，并整理，可以得到：,选择 和 的值，可以利用该式确定曲线段 的特征多边形顶点 ，而顶点 、已被 连续条件所确定。要达到 连续的话，只剩下顶点 可以自由选取。,连接条件,7/7/2026,30,如果从上式的两边都减去 ，则等式右边可以表示为 和 的 线性组合：,这表明 、和 五点共面，事实上，在接合点两条曲线段的曲率相等，主法线方向一致，我们还可以断定：位于直线 的同一侧。,连接条件,7/7/2026,31,Bezier,曲面,基于,Bezier,曲线的讨论，我们可以方便地可以给出,Bezier,曲面的定义和性质，,Bezier,曲线的一些算法也可以很容易扩展到,Bezier,曲面的情况。,设 为 个空间点列，则 次张量积形式的,Bezier,曲面定义为：,其中 ，是,Bernstein,基函数。依次用线段连接点列 中相邻两点所形成的空间网格，称之为特征网格。,7/7/2026,32,Bezier,曲面,Bezier,曲面的矩阵表示式是：,在一般实际应用中，不大于,4,。,7/7/2026,33,Bezier,曲面,Bezier,曲面的定义,控制定点,控制网格,7/7/2026,34,Bezier,曲面,Bezier,曲面的性质,边界线,7/7/2026,35,Bezier,曲面,角点位置,7/7/2026,36,Bezier,曲面,角点切平面,角点法矢量,7/7/2026,37,Bezier,曲面,凸包性,Bezier,曲面包含在其控制顶点的凸包之内,平面再生性,仿射不变性,拟局部性,7/7/2026,38,Bezier,曲面,离散生成算法,De,Casteljau,算法,给定 ，,计算型值点,u,v,7/7/2026,39,递推,(de,Casteljau,),算法,Bezier,曲线的递推,(de,Casteljau,),算法，可以推广到,Bezier,曲面的情形。若给定,Bezier,曲面特征网格的控制顶点 和一对参数值 ，则：,或,7/7/2026,40,Bezier,曲面,7/7/2026,41,Bezier,曲面,计算过程,7/7/2026,42,Bezier,曲面,7/7/2026,43,Bezier,曲面,分割定理,7/7/2026,44,Bezier,曲面,7/7/2026,45,Bezier,曲面,7/7/2026,46,Bezier,曲面片的拼接,Bezier,曲面片的拼接,如图,所示，,设两张,m,n,次,Bezier,曲面片,分别由控制顶点 和 定义。,7/7/2026,47,拼接条件,如果要求两曲面片达到 连续，则它们有公共的边界，即：,于是有 。,如果又要求沿该公共边界达到 连续，则两曲面片在该边界上有公共的切平面，因此曲面的法向应当是跨界连续的，即：,7/7/2026,48,习题,1,、将如下抛物线表示成,Hermite,曲线的形式。,2,、将下面的二次参数多项式曲线转换为,Bezier,曲线的表示形式。,7/7/2026,49,