有限元经典PPT第5章.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,计算固体力学,64,学时,研,510,周二、周四,9,、,10,、,11,节,第五章 单元构造与分析,5.1,单元形状与节点数,三节点三角形单元,CST(,常应变单元,),线性三角形单元,六节点三角形单元,线性应变三角形,二次三角形单元,八节点四边形单元,三角形单元网格划分简单；,常应变三角形单元对于弯曲，过刚；加密网格时可以收敛，收敛很慢；对于平面应变问题网格可能锁定；线性应变三角形元描写弯曲性能远优于,CST,单元,四边形单元剖分比较困难,(,但平面问题总的来说,剖分单元已可解决得,很好,),四节点四边形单元属于,Lagrange,插值,.,八节点四边形单元非完全二次元,属于,Serendipty,单元,四节点四边形单元,双线性位移场,第五章 单元构造与分析,5.1,单元形状与节点数,四节点四面体单元,线性位移场,常应变,十节点四面体单元,完全二次位移场,线性应变场,八节点四面体单元,Lagrange,插值,二十节点,Serendipity,单元,四面体单元划分网格简单，八面体单元划分网格困难得多，仍为研究前沿。,5.2,插值函数,形函数,记场函数,(,如位移,u,v,w,),为,，采用多项式插值函数,计算该函数在单元节点的值，记为,实现了用场函数在节点的值和形函数来表示场函数在单元内的分布,矩形单元,Lagrange,族和,Serendipty,族,Lagrange,插值法,一维单元,Lagrange,插值法,线性单元,二次单元,X=0,X=L,X,3,X,1,X,2,二维矩形四节点及九节点单元可用下列方式。,类似可推出,16,节点元,未知数太多,带宽不等；可以推广至三维问题；,非完全二次函数,非完全四次函数,相应于中间点的形函数是个泡泡函数,内部自由度,=,=,=,=,=,2,1,2,1,),(,),(,),(,2,1,),(,),(,),(,i,j,j,i,j,i,ij,y,N,x,N,y,x,i,j,y,N,x,N,y,x,N,f,Lagrange,插值法,一维单元,Lagrange,插值法,线性单元,二次单元,X=0,X=L,X,3,X,1,X,2,三维六面体八节点及二十七节点单元可用下列方式。,可以推广至三维问题；,非完全三次函数,非完全六次函数,相应于中间点的形函数是个泡泡函数,内部自由度,利用性质,矩形单元,Lagrange,族和,Serendipty,族,Serendipty,族单元,内部没有节点,但边界有中间点，有比较巧妙的构造方法,类似可推出,12,节点元,未知数太多,带宽不等,二维矩形八节点为例,(-1,-1),(1,1),(1,-1),(-1,1),边界中间节点,:,用一个坐标是二次，另一个坐标是线性的,Lagrange,插值的乘积,对于角节点：首先用,Lagrange,线性函数，但这一函数在与该节点相邻的两边的中间点上不为零，需要减去其不为零的值和相应该边中间节点的形函数的乘积的和。例如,5,4,3,2,7,6,8,改进三角形单元,角点有旋转自由度单元：应用于只有角节点的三角形单元；比,CST,单元性能好，比,LST,单元未知数少（每个单元,9,个未知数）为了和梁，板，壳连接需要，对于折板等计算特别有效。,构造角点有自由度的单元可以从,LST,单元退化而来，设想角点,i,和,j,发生旋转,i,j,k,m,非协调元,6,非协调元，有六个形函数，但是只有四个节点；二个形函数相当在边界的泡泡函数，相应的四个未知数相应于内宾自由度，和其它相邻单元无关。相邻单元因此变形不协调，只在单元顶点联结。结构变形时，可以在单元间出现裂缝或迭合；,x,y,2a,2b,这样的单元比柔顺，因此虽然不协调，但给出的结果更好；,其结果从上面趋于真解；（协调元从下面趋于真解）,5.3,等参单元,定义：,x,y,(-1,1),(-1,-1),(1,-1),(-1,-1),映射,坐标插值,位移插值,N,i,是相同的等参单元,等参单元的要点是：将任意物理空间坐标的单元变换到数学的自然坐标系中，采用的变换函数和描写场函数的单元形函数相同。如果位移映射的形函数阶数高，则称次参单元，否则称超参单元。,等参单元使得我们可以处理非矩形、具有曲边的单元，能够使有限元模型更适应形状复杂的物体，等参元覆盖所有的有限元类型。,单元刚度阵,应变矩阵,J-,Jacobbi,矩阵,注意,:1.,需要雅可比矩阵及其逆阵,;,2.,积分已经不可能解析地求得，必须数值积分；积分方法和精度成为讨论的一个新问题；虽然某些情况可得到解析解，但公式繁琐，编程复杂，特别是，计算的工作量可能不比数值积分的小,.,数值积分,Gauss,积分：,(1),一维,Gauss,积分,H,i,为,Gauss,权系数,i,为,Gauss,积分点,1,-1,0.5555,0.5555,0.8888,0.7746,-0.7746,0,3,1,2,2,0.0,1,Hi,n,实际计算通常选用,2,点积分,一点积分,三点积分,对于线性函数，一点积分给出精确结果,对于二次函数，二点积分给出精确结果,对于三次函数，三点积分给出精确结果,(2),二维,Gauss,积分,四点积分：,f,1,+f,2,+f,3,+f,4,九点积分：,25(f,1,+f,3,+f,7,+f,9,)/81+40(f,2,+f,4,+f,6,+f,8,)/81+64f,5,/81,b,1,2,3,5,6,7,8,9,4,(3),三维,Gauss,积分,对于矩形单元、平面四边形单元、四面体单元和六面体单元（如果单元侧面是平面），则刚度阵的被积函数是多项式，可以用适当阶数的数值积分求得精确的积分值。,对于具有曲边曲面的单元，被积函数不是多项式，而是有理式，无法用有限阶的数值积分得到准确的积分值。提高积分阶数当然可以提高积分精度，但是，计算工作量增加很大。从计算工作量考虑，选择低阶积分是必要的。,选择低阶积分公式更重要的原因是：实践发现，精确的单元刚度阵太刚，采用低阶积分可以低估单元刚度，反而使计算更精确。但是，太低阶数的积分会使单元刚度阵具有零能模式，从而使单元不稳定。,还有其它积分格式可以利用。,常用的单元形函数,(2),八节点四边形单元,1,2,3,4,5,6,7,8,(3),八节点六边形单元,(1),(2),(3),(1),四节点四边形等参元,作业：,写一个有限元程序,(,平面问题,),写出程序结构,总体流程图,各部分详细框图,写程序，并提交算例分析报告,