_圆心角定理.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,人教版教材九年级数学,圆心角定理,复习回忆,1,：垂径定理的内容是什么？,2,：垂径定理的推论内容是什么？,3,：圆的对称性,圆心角 所对,的弧为,AB,，,过点,O,作弦,AB,的垂线,垂足,为,M,O,A,B,M,顶点在圆心的角,叫,圆心角,，,如,所对的弦为,AB,；,图,1,OM,是唯一的。,则垂线段,OM,的长度,即圆,心到弦的距离，叫,弦心距,图,1,中，,OM,为,AB,弦的弦心距。,1,、判别下列各图中的角是不是圆心角，,并说明理由。,2,、下列图中弦心距做对了的是（）,任意给圆心角，对应出现四个量：,圆心角,弧,弦,O,B,A,探究：,疑问：,这四个量之间会有什么关系呢？,弦心距,A,B,C,D,o,下面我们一起来观察一下：在O中有哪些圆心角？（请举出两个例子，并说出圆心角所对的弧，弦。）,如果：,AOB,=,COD,A,B,C,D,o,下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？,如果：,AOB,=,COD,A,B,C,D,o,下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？,如果：,AOB,=,COD,A,B,C,D,o,下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？,如果：,AOB,=,COD,A,B,C,D,o,下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？,如果：,AOB,=,COD,A,B,C,D,o,下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？,如果：,AOB,=,COD,A,B,C,D,o,下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？,如果：,AOB,=,COD,A,B,C,D,o,下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？,如果：,AOB,=,COD,A,B,C,D,o,下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？,如果：,AOB,=,COD,A,B,C,D,o,下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？,如果：,AOB,=,COD,A,B,C,D,o,下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？,如果：,AOB,=,COD,A,B,C,D,o,下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？,如果：,AOB,=,COD,A,B,C,D,o,下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？,如果：,AOB,=,COD,A,B,C,D,o,下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？,如果：,AOB,=,COD,A,B,C,D,o,证明,:,OA=OC，OB=OD，,AOB=COD,当点A与点C重合时，,点B与点D也重合。,AB=CD，,圆心角定理,：,在同圆中，,相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等,。,AB =CD。,已,知,:,如图,AOB,=,COD,求证,:,AB=CD，,AB =CD。,如图，,O,和,O,是等圆，,如果,AOB,=,A,O,B,那么,AB=A,B,、,AB=A,B,、,OM=O,M,为什么？,?,?,?,对于等圆的情况 ，因为两个等圆可叠合成同圆，所以等圆问题可转化为同圆问题，命题成立。,圆心角定理,:,在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。,图,5,条件,结论,在同圆或等圆中,如果圆心角相等,那么,圆心角所对的弧相等,圆心角所对的弦相等,圆心角所对的弦的弦心距相等,圆心角,弧,弦,弦心距之间的关系定理,在,同圆,或,等圆,中,相等的圆心角所对的弧相等所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等,.,O,A,B,D,A,B,D,O,A,B,D,O,A,B,D,由条件,:,AOB=AOB,AB=AB,AB=AB,OD=OD,可,推出,请大家思考一下这个定理的逆命题,在同圆或等圆中,如果弦相等,那么,弦所对的圆心角相等,弦所对的弧（指劣弧）相等,弦的弦心距相等,在同圆或等圆中,如果弦心距相等,那么,弦心距所对应的圆心角相等,弦心距所对应的弧相等,弦心距所对应的弦相等,在同圆或等圆中,如果弧相等,那么,弧所对的圆心角相等,弧所对的弦相等,弧所对的弦的弦心距相等,推论：,(,圆心角定理的逆定理,),在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量都分别相等。,1,、已知：如图，,AB,、,CD,是,O,的两条弦，,OE,、,OF,为,AB,、,CD,的弦心距，根据本节定理及推论填空：,（,1,）如果,AB=CD,，,那么,_,_,_,。,（,2,）如果,OE=OF,，,那么,_,_,_,。,（,3,）如果,AB=CD,那么,_,_,_,。,（,4,）如果,AOB=COD,，,那么,_,_,_,。,AOB=COD OE=OF AB=CD,AOB=COD AB=CD AB=CD,AOB=COD AB=CD OE=OF,OE=OF AB=CD AB=CD,巩固练习：,（,1,）圆心角定理中能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件吗,?,同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，同时在本定理和推论中的“弧”是指同为劣弧或优弧，一般选择劣弧。,这两个结论都是错误，首先,CE,、,FD,不是弦，,CEA,、,BFD,不是圆心角，就不可以用圆心角定理推论证明。,2,、如图,.AB,是,O,的直径,BC=CD=DE,，,COD=35,，求,AOE,的度数,.,O,A,B,E,D,C,证明：,BC=CD=DE,COB=,COD=,DOE=35,AOE=180,0,-COB-COD-,DOE,=75,0,证明：,AB=AC,AB=AC,，,ABC,是等腰三角形,又 ,ACB=60,ABC,是等边三角形，,AB=BC=CA,AOB=BOC=AOC,如图，在,O,中,AB=AC,ACB=60,求证,AOB=BOC=AOC.,例题：,O,B,C,A,1,、已知：如图，,AB,、,CD,是,O,的两条弦，,OE,、,OF,为,AB,、,CD,的弦心距，根据本节定理及推论填空：,（,1,）如果,AB=CD,，,那么,_,_,_,。,（,2,）如果,OE=OF,，,那么,_,_,_,。,（,3,）如果,AB=CD,那么,_,_,_,。,（,4,）如果,AOB=COD,，,那么,_,_,_,。,AOB=COD OE=OF AB=CD,AOB=COD AB=CD AB=CD,AOB=COD AB=CD OE=OF,OE=OF AB=CD AB=CD,巩固练习：,在同圆或等圆中,如果弦相等,那么,弦所对的圆心角相等,弦所对的弧（指劣弧）相等,弦的弦心距相等,在同圆或等圆中,如果弦心距相等,那么,弦心距所对应的圆心角相等,弦心距所对应的弧相等,弦心距所对应的弦相等,在同圆或等圆中,如果弧相等,那么,弧所对的圆心角相等,弧所对的弦相等,弧所对的弦的弦心距相等,已知：如图，点,P,在,O,上,点,O,在,EPF,的平分线上,，,EPF,的两边交,O,于点,A,和,B,。,求证：,PA=PB.,E,F,A,B,P,O,基础练习,已知：如图，点,O,在,EPF,的平分线上,，,O,和,EPF,的两边分别交于点,A,，,B,和,C,，,D,。,求证：,AB,CD,E,F,O,P,A,C,B,D,变式1,已知：如图，,O,的弦,AB,，,CD,相交于,点,P,，,DPO=,BPO,。,求证：,AB,CD,O,C,D,A,B,P,变式2,已知：如图，,O,的弦,AB,，,CD,相交于,点,P,，过,P,、,O,的直径为,MN,，,APO=,CPO,。,求证：,PB,PD,变式3,O,C,D,A,B,P,N,M,做一做,2.,已知：如图，在中，弦,求证：,变式：圆,O,中弦,AB,、,CD,相交于,E,，且,AB=CD,求证：,DE=BE,证：连接,DB,E,O,B,A,C,D,F,E,3,、已知：如图，,O,的两条半径,OAOB,，,C,、,D,是弧,AB,的三等分点,。,求证：,CD,AE,BF,。,继续提高,弧、弦、弦心距之间的不等量关系,一,.,在同圆或等圆中，是不是弧越长，它所对的弦越长？是不是弦越长，它所对的弧越长？,判断,1.,若两弦相等，则它们所对的弧相等。（）,2.,若两弧不等,.,则大弧所对的圆心角较大。（,3.,长度相等的两条弧是等弧。（）,二,.AB,和,CD,是,O,的两条弦，,OM,和,ON,分别是,AB,和,CD,的弦心距，如果,ABCD,，,那么,OM,和,ON,有什么关系？为什么？,O,中，如果弧,AB=2,弧,BC,，那么下列说法中正确的是（）,A.AB=BC B.AB=2BC,C.AB,2BC D.AB2BC,4.,已知,AB,是,O,的直径，,M.N,是,AO.BO,的中点。,CMAB,DNAB,分别与圆交于,C.D,点。,求证：,AC=BD,o,随堂训练,在圆,O,中，,AC=DB,，,求证：,已知：如图，点,O,是,EPF,的平分线上的一点，以,O,为圆心的圆和角的两边分别交于点,A,、,B,和,C,、,D,。求证：,OBA=OCD,。,