方程求根的数值方法.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,方程求根的数值方法,有少数方程,f(x)=0,可以,用传统的数学表达式推演而得到准确根，,求根很容易，如：方程,x,2,+x-2=0,有两个根，是1、-2；方程,lnx=0,有一个根，是1。但,这样的方法只能解极少数简单方程,；,对于大量的由实际问题而产生的方程，,例如,下面的方程,就求不出准确根（即：一点误差都没有的根），只能用数值解法求近似根.,定理：,f(x),连续，,f(a),与,f(b),异号，,ab，,则方程,f(x)=0,在区间(,a,b),内至少有一个根，称(,a,b),是该方程的一个有根区间,。,若已知(,a,b),内有且仅有一个根，则称(,a,b),是一个,单根区间,。,确定了单根区间(,a,b),后，就可用数值求根的方法进行求近似解。常用的方法有,逐步搜索法、,图形放大法,、,数值迭代逼近法,2）,图形放大法,y=f(x),图象与,x,轴交点（的横坐标）即为,f(x)=0,根。借助计算机，逐步画图，就可得近似根。,1）,逐步搜索法,适当取一个小正数,h，,逐步计算,f(a)、f(a+h)、f(a+2h)、f(a+3h)、,的值，直到相邻两个值异号，则取这两点的中点为近似根。,3,）,数值迭代逼近法,（,1,）区间迭代法,（,缩小有根区间）,对分法,就是将,已知有根区间,a,b,一分为二，比较三个数,的正负，根据,“,介值定理,”,确定哪一半有根；重复多次。,黄金分割,法与对分法本质上一致，只不过每次压缩区间的比例不是一半，而是压缩比例为,0.618,（黄金分割比例）,区间迭代法 1）对分法,2）黄金分割法,点迭代法,1）简单迭代法,2）牛顿切线法,3）单点,割线法,4）两点,割线法,例1：用对分法求,x,4,+x-3=0,在,(1,2),内的一个根，误差,0.05。,解：设,f(x)=x,4,+x-3。,则,有根区间是(1,2),有根区间(1,1.5),有根区间(1,1.25),有根区间(1.125,1.25),有根区间(1.125,1.1875),（,2）点迭代法,若,数列,x,k,收敛，则极限值就是准确根。,满足,x=,(x),的,点称为方程的不动点，,此法,又称为,方程求解的不动点法,。,注意到,迭代函数,形式不唯一，其迭代差异可能很大,。,迭代法需要讨论的基本问题有：,迭代法函数构造、迭代序列的收敛性，收敛速度以及误差估计。,一般迭代法,：将,f(x)=0,适当变形为,x=,(x),在根的邻近找一个点,x,0,作为初始点，作迭代,定,理,（压缩映像原理）,设迭代函数,x,(x),在闭区间,a,b,上满足,：,（1）对任意,xa,b，(x)a,b；,（2）,满足Lipschitz条件,则,x,(x),在闭区间,a,b,上,存在唯一解,x,*,，,使得对,任意,xa,b,，由,x,k+1,=,(x,k,),产生的序列,x,k,收敛于,x,*,。,y=x,迭代法的几何意义,交点的横坐标,即为,f(x)=0,的根。,y=,(x),简单迭代收敛情况的几何解释,解：由,建立迭代关系,：,例,2,：,试用迭代法求方程,f(x)=x,3,-x-1=0,在区间(1，2)内的实根。,k,=0,1,2,3.,但如果由,x,=,x,3,-1,建立迭代公式,x,k+1,=x,k,3,-1,，,k=0,1,仍取,x,0,=1.5,，则有,x,1,=2.375,，,x,2,=12.39，,显然结果越来越大，,x,k,是发散序列,。,作业：,证明函数,在区间1，2上满足,迭代收敛条件。,牛顿迭代法,：方程,f,(,x,)=0,，,求导,f(x),，,在根的邻近找,一个点,x,0,作为初始点，作迭代,以此产生的序列,X,n,得到,f,(,x,)=0,的近似解，称为Newton法，又叫切线法。,当,初值,x,0,和方程的根,x,*,接近时，,f(x),近似等于,f(x,0,)+f(x,0,)(x-x,0,),，,则,f,(,x,)=0,与,f(x,0,)+f(x,0,)(x-x,0,)0,看作近似同解方程。取,x=x-f(x)/f(x),作为迭代函数。,Newton,迭代法几何解释,Newton,迭代法算法框图,Newton,迭代法算法,例1：用牛顿法求,x,4,+x-3=0,在,(1,2),内的一个根，初值为1.5。,得到方程的一个近似根1.1640，误差小于0.0001.,解：,弦截法,Newton,迭代法有一个较强的要求是存在导函数且不等于零。因此，用弦的斜率近似的替代,f(x),。,令,y=0，,解得弦与,x,轴的交点是坐标,x,2,。,定端点弦截法又称,单点割线法。,变端点弦截法又称,两点割线法,弦截法的几何解释,求解方程,f(x)=0,的快速弦截法,通常求方程的根时：,先分析确定单根区间，保证不漏根；,再用逐步搜索法或二分法找到误差较小的近似根；,最后用牛顿法或弦截法给出高精度的近似根,。,作业：求下面方程的数值解。,谢 谢！,