函数模型与应用【高三重点复习】.ppt

第十节 函数模型及其应用,三年,9,考 高考指数,:,1.,了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义,.,2.,了解函数模型,(,如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型,),的广泛应用,.,1.,函数模型的应用是高考考查的重点,.,2.,建立函数模型解决实际问题是高考命题的热点，常与导数、均值不等式、函数的单调性、最值等交汇命题，主要考查建模能力及分析问题和解决问题的能力,.,3.,选择题、填空题、解答题三种题型都有所涉及，但以解答题为主,.,1.,三种函数模型性质比较,y,=,a,x,(,a,1,）,y,=,log,a,x,(,a,1,）,y,=,x,n,(,n,0),在,(0,+,),上的单调性,增长速度,图象的变化,相对平稳,随,n,值变化而不同,单调增函数,单调增函数,单调增函数,越来越快,越来越慢,随,x,值增大,图象与,y,轴,接近平行,随,x,值增大,图象与,x,轴,接近平行,【,即时应用,】,(1),思考：对于直线上升、指数增长、对数增长三种增长模型，你作为老板，希望公司的利润和员工奖金按何种模型增长,?,提示,:,公司的利润选择直线上升或指数模型增长,而员工奖金选择对数模型增长,.,(2),当,x,越来越大时，判断下列四个函数中，增长速度最快的是,_.,y=2,x,y=x,10,y=,lgx,y,=10 x,2,【,解析,】,由函数图象知，,y=2,x,的增长速度最快,.,答案,:,(3),函数,y=2,x,与,y=x,2,的图象的交点个数是,_.,【,解析,】,由,y=2,x,与,y=x,2,的图象知有,3,个交点,.,答案,:,3,(4),当,2,x,4,时,2,x,x,2,log,2,x,的大小关系是,_.,【,解析,】,在同一平面直角坐标系中画出,函数,y=log,2,x,y=x,2,y=2,x,的图象,在区间,(2,，,4),内从上往下依次是,y=x,2,y=2,x,y=log,2,x,的图象，,所以,x,2,2,x,log,2,x.,答案,:,x,2,2,x,log,2,x,2.,常见的几种函数模型,(1),直线模型,:,一次函数模型,y=_,图象增长特点是直,线式上升,(x,的系数,k,0),通过图象可以直观地认识它,特例是,正比例函数模型,y=_.,(2),反比例函数模型,:y=_,增长特点是,y,随,x,的增大而减小,.,kx+b(k0),kx(k,0),(3),指数函数模型,:y=,a,b,x,+c(b,0,b1,a0),型，其增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快,(,底数,b,1,a,0),，常形象地称为指数爆炸,.,(4),对数函数模型,:y=,mlog,a,x+n(a,0,a1,m0),型，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢,(,底数,a,1,m,0).,(5),幂函数模型,:y=a,x,n,+b(a0),型，其中最常见的是二次函,数模型,:_(a0),，其特点是随着自变量的增大，函,数值先减小，后增大,(a,0).,(6),分段函数模型：,其特点是每一段自变量变,化所遵循的规律不同,.,可以先将其当作几个问题，将各段的变化,规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的取值,范围,特别是端点,.,y=ax,2,+bx+c,【,即时应用,】,(1),据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近,50,年内减少了,5%,，如果按此速度，设,2011,年的冬季冰雪覆盖面积为,m,，从,2011,年起，经过,x,年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积,y,与,x,的函数关系式是,_.,(2),某公司为了适应市场需求对产品结构进行了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后期增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润,y,与时间,x,的关系，可选用六种常见模型中的,_.,(3),某种电热水器的水箱盛满水是,200 L,，加热到一定温度，即可用来洗浴,.,洗浴时，已知每分钟放水,34 L,，若放水,t,分钟时，同时自动注水总量为,2t,2,L.,当水箱内的水量达到最少时，放水程序自动停止，现假定每人洗浴用水量为,65 L,，则该热水器一次至多可供,_,人洗浴,.,【,解析,】,(1),设每年的冰雪覆盖面积与上一年的比为,a,则由题意得,1-0.05=a,50,.,a=,y=(,),x,m=,m,xN,*,.,(2),由增长特点知应选对数函数模型,.,(3),在放水程序自动停止前,水箱中的水量为,y=2t,2,-34t+200=2(t-8.5),2,+55.5,，,由二次函数的性质得，经过,8.5 min,，放水停止,共出水,34,8.5=289(L),，,289,654.45.,故至多可供,4,人洗浴,.,答案：,(1)y=,m,xN,*,(2),对数函数模型,(3)4,利用函数刻画实际问题,【,方法点睛,】,用函数图象刻画实际问题的解题思路,将实际问题中两个变量间变化的规律,(,如增长的快慢、最大、最小等,),与函数的性质,(,如单调性、最值等,),、图象,(,增加、减少的缓急等,),相吻合即可,.,【,例,1】,如图所示，向高为,H,的容器,A,，,B,，,C,，,D,中同时以等速注水，注满为止：,(1),若水深,h,与注水时间,t,的函数图象是下图中的,(a),，则容器的形状是,_;,(2),若水量,v,与水深,h,的函数图象是下图中的,(b),，则容器的形状是,_;,(3),若水深,h,与注水时间,t,的函数图象是下图中的,(c),，则容器的形状是,_;,(4),若注水时间,t,与水深,h,的函数图象是下图中的,(d),，则容器的形状是,_.,【,解题指南,】,根据实际问题中水深,h,水量,v,和注水时间,t,之间的关系，结合图象使之吻合即可,.,【,规范解答,】,(1),该题图中的,(a),说明了注入水的高度是匀速上升的，只有,C,中的容器能做到，所以应填,C,；,(2),该题图中的,(b),说明了水量,v,增长的速度随着水深,h,的增长越来越快，在已知的四个容器中，只有,A,中的容器能做到，所以应填,A,；,(3),该题图中的,(c),说明水深,h,与注水时间,t,之间的对应关系，且反映出来的是升高的速度是由快到慢再到快，在已知的四个容器中，只有,D,中的容器能做到，所以应填,D,；,(4),该题图中的,(d),说明水深,h,与注水时间,t,之间的对应关系，且反映出来的是水深升高的速度是先慢后快，在已知的四个容器中，只有,B,中的容器能做到，所以应填,B.,答案：,(1)C (2)A (3)D (4)B,【,反思,感悟,】,用函数刻画实际问题的关键是分析所给实际问题中两个变量间的关系，从中发现其变化的规律，并与函数的图象、性质联系起来，从而使问题解决,.,【,变式训练,】,如图所示，一质点,P(x,y,),在,xOy,平面上沿曲线运动，速度大小不,变，其在,x,轴上的投影点,Q(x,0),的运动速,度,V=,V(t,),的图象大致为,(),【,解析,】,选,B.,由图可知，当质点,P(x,y,),在两个封闭曲线上运动时，投影点,Q(x,0),的速度先由正到,0,、到负数，再到,0,，到正，故,A,错误；质点,P(x,y,),在终点的速度是由大到小接近,0,，故,D,错误；质点,P(x,y,),在开始时沿直线运动，故投影点,Q(x,0),的速度为常数，因此,C,是错误的，故选,B.,利用已知函数模型解决实际问题,【,方法点睛,】,利用已知函数模型解决实际问题的步骤,若题目给出了含参数的函数模型，或可确定其函数模型的图象,求解时先用待定系数法求出函数解析式中相关参数的值,再用求得的函数解析式解决实际问题,.,【,提醒,】,要结合实际意义限制自变量的范围,.,【,例,2】(1),某产品的总成本,y(,万元,),与产量,x(,台,),之间的函数关系式是,y=3 000+20 x-0.1x,2,(0 x240,xN),，若每台产品的售价为,25,万元，则生产者不亏本时,(,销售收入不小于总成本,),的最低产量是,(),(A)100,台,(B)120,台,(C)150,台,(D)180,台,(2),为了预防流感,某学校对教室采用,药熏消毒法进行消毒,.,已知药物释放过,程中，室内每立方米空气中的含药量,y(,毫克,),与时间,t(,小时,),成正比,;,药物释,放完毕后，,y,与,t,的函数关系式为,y=(a,为常数,),，如图所示，根据图中提供的信息，求从药物释放开始，每立方米空气中的含药量,y(,毫克,),与时间,t(,小时,),之间的函数关系式为,_.,【,解题指南,】,(1),结合二次函数的性质及实际意义解题即可,.,(2),结合图象通过特殊点用待定系数法求出关系式,.,【,规范解答,】,(1),选,C.,要使生产者不亏本，,则有,3 000+20 x-0.1x,2,25x,解上式得：,x-200,或,x150,又,0 x0,y,1,=(10-m)x-20,为增函数,.,又,0 x200,xN,x=200,时,生产,A,产品有最大利润为,(10-m),200-20=1 980-200m(,万美元,).,又,y,2,=-0.05(x-100),2,+460,0 x120,xN,当,x=100,时,生产,B,产品有最大利润为,460(,万美元,).,因为,(y,1,),max,-(y,2,),max,=(1 980-200m)-460,=1 520-200m,所以,当,6m7.6,时,可投资生产,A,产品,200,件,;,当,m=7.6,时,投资生产,A,产品,200,件与生产,B,产品,100,件均可,;,当,7.6m8,时,可投资生产,B,产品,100,件,.,【,反思,感悟,】,解决这类问题常见的两个误区,(1),不会将实际问题转化为函数模型，从而无法求解,.,(2),在求解过程中忽视实际问题对变量参数的限制条件,.,【,变式训练,】,(2012,西安模拟,),据气象中心观察和预测,:,发生于,M,地的沙尘暴一直向正南方向移动,其移动速度,v(km/h,),与时间,t(h,),的函数图象如图所示,过线段,OC,上一点,T(t,0),作横轴的垂线,l,梯形,OABC,在直线,l,左侧部分的面积即为,t(h,),内沙尘暴所经过的路程,s(km,).,(1),当,t=4,时,求,s,的值,;,(2),将,s,随,t,变化的规律用数学关系式表示出来,;,(3),若,N,城位于,M,地正南方向,且距,M,地,650 km,试判断这场沙尘暴是否会侵袭到,N,城,如果会,在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到,N,城,?,如果不会,请说明理由,.,【,解析,】,(1),由图象可知,:,当,t=4,时,v=3,4=12,s=,4,12=24(km).,(2),当,0t10,时,s=,t,3t=,当,10,t20,时，,s=,10,30+30(t-10),=30t-150;,当,20,t35,时，,s=,10,30+10,30+(t-20),30-,(t-,20),2(t-20)=-t,2,+70t-550.,综上，可知,s=,(3)t,0,10,时,s,max,=,10,2,=150,650,t(10,20,时，,s,max,=30,20-150=450,650,当,t(20,35,时，令,-t,2,+70t-550=650.,解得,t,1,=30,t,2,=40.20,t35,t=30.,沙尘暴发生,30 h,后将侵袭到,N,城,.,【,变式备选,】,某公司是专门生产健身产品的企业，第一批产品,A,上市销售,40,天内全部售完，该公司对第一批产品,A,上市后的市场销售进行调研，结果如图,(1),、,(2),所示,.,其中,(1),的抛物线表示的是市场的日销售量与上市时间的关系；,(2),的折线表示的是每件产品,A,的销售利润与上市时间的关系,.,(1),写出市场的日销售量,f(t,),与第一批产品,A,上市时间,t,的关系式；,(2),第一批产品,A,上市后的第几天，这家公司日销售利润最大，最大利润是多少,?,【,解析,】,(1),设,f(t,)=a(t-20),2,+60,由,f(0)=0,可知,a=,即,f(t,)=,(2),设销售利润为,g(t,),万元，则,当,30t40,时，,g(t,),单调递减；,当,0t30,时，,g(t,)=+24t,易知,g(t,),在,(0,，,),上单调递,增，,(,，,30),上单调递减，而,tN,，故比较,g(26),g(27),经计,算，,g(26)=2 839.2g(27)=2 843.1,，故第一批产品,A,上市后的,第,27,天，这家公司日销售利润最大，最大利润是,2 843.1,万元,.,【,满分指导,】,函数应用解答题的规范解答,【,典例,】(12,分,)(2011,江苏高考,),请你设计一个包装盒,.,如图所示,ABCD,是边长为,60 cm,的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得,A,B,C,D,四个点重合于图中的点,P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,.E,、,F,在,AB,上,是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点,.,设,AE=FB=,x(cm,).,(1),某广告商要求包装盒的侧面积,S(cm,2,),最大，试问,x,应取何值,?,(2),某厂商要求包装盒的容积,V(cm,3,),最大，试问,x,应取何值,?,并求出此时包装盒的高与底面边长的比值,.,【,解题指南,】,解决本题的关键是根据条件将侧面积和容积表示成,x,的函数，然后根据二次函数的最值求法和导数法求解,.,【,规范解答,】,设包装盒的高为,h(cm,),，底面边长为,a(cm,).,由已知得,2,分,(1)S=4ah=8x(30-x),4,分,=-8(x-15),2,+1 800,所以当,x=15,时,S,取得最大值,.,6,分,(2)V=,8,分,V=,由,V=0,得,x=0(,舍,),或,x=20.,9,分,当,x(0,20),时,V,0;,当,x(20,30),时,V,0.,所以当,x=20,时,V,取得极大值,也是最大值,.,11,分,此时 ，即包装盒的高与底面边长的比值为,.,12,分,【,阅卷人点拨,】,通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：,失分警示,在解答本题时有两点容易造成失分：,(1),忽视实际问题对变量,x,的限制即定义域,.,(2),将侧面积、容积求错，从而造成后续的求解不正确,.,备,考,建,议,解决函数应用的解答题，还有以下几点容易造成失分，在备考中要高度关注：,(1),读不懂实际背景，不能将实际问题转化为函数模型,.,(2),对涉及到的相关公式，记忆错误,.,(3),在求解的过程中计算错误,.,另外需要熟练掌握求解方程、不等式、函数最值的方法，才能快速正确的求解,.,1.(2012,梅州模拟,),牛奶保鲜时间因储藏时温度不同而不同，假定保鲜时间与储藏温度是一种指数函数型关系,.,若牛奶放在,0,的冰箱中，保鲜时间约是,192 h,而在,22,的厨房中则约是,42 h,，则保鲜时间,y(h,),关于储藏温度,x(),的函数解析式是,(),【,解析,】,选,D.,设,y=a,b,x,.,则由已知得,:,y=,2.(2012,佛山模拟,),某种产品市场产销,量情况如图所示，其中,l,1,表示产品各年,年产量的变化规律；,l,2,表示产品各年的,销售情况，下列叙述：,(1),产品产量、销售量均以直线上升，,仍可按原生产计划进行下去,;,(2),产品已经出现了供大于求的情况，价格将趋跌；,(3),产品的库存积压将越来越严重，应压缩产量或扩大销量,.,你认为较合理的叙述是,(),(A)(1)(2)(3)(B)(1)(3),(C)(2)(D)(2)(3),【,解析,】,选,D.,由图象知产品,品,产量、销售量均以直线上升，但产品产量比销售量上升速度快得多，由此必然产生供大于求的情况,从而导致价格下降，库存积压也越来越严重，由此分析得,(2)(3),较为合理,.,3.(2011,湖北高考,),里氏地震,M,的计算公式为,:M=lgA-lgA,0,其中,A,是测震仪记录的地震曲线的最大振幅,A,0,是相应的标准地震的振幅,.,假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是,1 000,此时标准地震的振幅为,0.001,则此次地震的震级为级,_;9,级地震的最大振幅是,5,级地震最大振幅的倍,_.,【,解析,】,当,A,0,=0.001,A=1 000,时,M=lgA-lgA,0,=lg1 000-lg0.001=,设,9,级地震的最大振幅是,A,9,5,级地震最大振幅是,A,5,则,9=lgA,9,-lgA,0,5=lgA,5,-lgA,0,，所以,lgA,9,-lgA,5,=4,，,即,答案,:,6 10 000,4.(2012,潮州模拟,),某市环保研究所对市中心每天环境污染情,况进行调查研究后,发现一天中环境综合污染指数,f(x,),与时间,x(,小时,),的关系为,f(x,)=,其中,a,是与气,象有关的参数,且,a,0,若用每天,f(x,),的最大值表示当天,的综合污染指数,并记作,M(a,).,(1),令,t=,求,t,的取值范围,;,(2),求函数,M(a,);,(3),市政府规定,每天的综合污染指数不得超过,2,试问目前市中心的综合污染是否超标,?,请说明理由,.,【,解析,】,(1)t=,x,0,24,x=0,时,t=0.,0 x24,时,t=,0t ,t,0,.,(2),令,g(t)=,当,g(t,),max,=,当,g(t),max,=g(0)=,所以,M(a)=,(3),当,a,0,),时,M(a),是增函数,M(a),当,a,时,M(a),是增函数,M(a),综上所述,市中心的综合污染没有超标,.,