参数区间估计.ppt

,参数区间估计,引言,前面，我们讨论了参数点估计.它是用样本算得的一个值去估计未知参数.但是，点估计值仅仅是未知参数的一个近似值，它没有反映出这个近似值的误差范围，使用起来把握不大.区间估计正好弥补了点估计的这个缺陷.,譬如，在估计湖中鱼数的问题中，若我们根据一个实际样本，得到鱼数,N,的极大似然估计为1000条.,若我们能给出一个区间，在此区间内我们合理地相信,N,的真值位于其中.这样对鱼数的估计就有把握多了.,实际上，,N,的真值可能大于1000条，,也可能小于1000条.,也就是说，我们希望确定一个区间，使我们能以比较高的,可靠程度,相信它包含真参数值.,湖中鱼数的真值,这里所说的,“,可靠程度,”,是用概率来度量的，称为置信概率，置信度或置信水平.,习惯上把置信水平记作,，这里 是一个,很小的正数.,置信水平的大小是根据实际需要选定的.,例如，通常可取置信水平,=0.95,或,0.9,等.,根据一个实际样本，由给定的置信水平，我,小的区间 ，使,们求出一个尽可能,置信区间.,称区间 为 的,置信水平为,的,教材已经给出了概率分布的上侧分位数（分位点）的定义，为便于应用，这里我们再简要介绍一下,.,在求置信区间时，要查表求分位数,.,设,0 1,对随机变量,X,，,称满足,的点 为,X,的概率分布的上 分位数,.,例如:,设0 1,对随机变量,X,，,称满足,的点 为,X,的概率分布的上 分位数.,标准正态分布的,上 分位数,例如:,设0 1,对随机变量,X,，,称满足,的点 为,X,的概率分布的上 分位数.,分布的上 分位数,自由度为,n,的,设0 1,对随机变量,X,，,称满足,的点 为,X,的概率分布的上 分位数.,F,分布的上 分位数,自由度为,n,1,n,2,的,一、置信区间定义：,满足,设 是 一个待估参数，给定,若由样本,X,1,X,2,X,n,确定的两个统计量,则称区间 是,的,置信水平,（置信度、,置信概率）为,的置信区间.,分别称为置信下限和置信上限.,一旦有了样本，就把 估计在区间,内.,这里有两个要求:,可见，,对参数 作区间估计，就是要设法找出两个只依赖于样本的界限(构造统计量),(,X,1,X,n,),(,X,1,X,n,),2.估计的精度要尽可能的高.如要求区间,长度 尽可能短，或能体现该要求的其它准则.,1.要求 以很大的可能被包含在区间,内，就是说，概率 要尽可能大.,即要求估计尽量可靠.,可靠度与精度是一对矛盾，,一般是在保证可靠度的条件下,尽可能提高精度.,N,(0,1),选,的点估计为,求参数 的置信度为 的置信区间.,例1,设,X,1,X,n,是取自,的样本，,二、置信区间的求法,明确问题,是求什么参数的置信区间?,置信水平是多少？,寻找未知参数的,一个良好估计,.,解：,寻找一个待估参数和,估计量的函数，要求,其分布为已知.,有了分布，就可以求出,U,取值于任意区间的概率.,对给定的置信水平,查正态分布表得,对于给定的置信水平(,大概率,),根据,U,的分布，,确定一个区间,使得,U,取值于该区间的概率为,置信水平.,使,为什么,这样取,？,对给定的置信水平,查正态分布表得,使,从中解得,也可简记为,于是所求,的,置信区间为,从例,1,解题的过程，我们归纳出求置信区间的一般步骤如下,:,1.,明确问题,是求什么参数的置信区间,?,置信水平,是多少,?,2.,寻找参数 的一个良好的点估计,T,(,X,1,X,2,X,n,),3.,寻找一个待估参数 和估计量,T,的函数,S,(,T,),且其分布为已知,.,4.对于给定的置信水平,，根据,S,(,T,),的分布，确定常数,a,b,，,使得,P,(,a,S,(,T,),b,)=,5.,对“,a,S,(,T,),b,”,作等价变形,得到如下,形式:,则 就是 的100(,)的置信区间.,可见，确定区间估计很关键的是要寻找一个待估参数 和估计量,T,的函数,S,(,T,),且,S,(,T,),的分布为已知,不依赖于任何未知参数,(这样我们才能确定一个大概率区间).,而这与总体分布有关，所以，,总体分布的形式是否已知，是怎样的类型，至关重要,.,这里，我们主要讨论总体分布为,正态,的情形.若样本容量很大，即使总体分布未知，应用中心极限定理，可得总体的近似分布，于是也可以近似求得参数的区间估计.,教材上讨论了以下几种情形：,单个正态总体均值 和方差 的区间估计,.,两个正态总体均值差 和方差比,的区间估计,.,下面我们举几个例子说明其应用方法,.,统计三大分布回顾,记为,分布,1,、,定义,:,设 相互独立,都服从正态,分布,N,(0,1),则称随机变量：,所服从的分布为自由度为,n,的 分布,.,分布是由正态分布派生出来的一种分布,.,分布的密度函数为,来定义,.,其中伽玛函数 通过积分,T,的密度函数为：,记为,T,t,(,n,).,定义,:,设,X,N,(0,1),Y,且,X,与,Y,相互独立，则称变量,所服从的分布为自由度为,n,的,t,分布,.,2,、,t,分布,3,、,F,分布,定义,:,设,X,与,Y,相互独立，则称统计量,服从自由度为,n,1,及,n,2,的,F,分布，,n,1,称为第一自由度，,n,2,称为第二自由度，记作,F,F,(,n,1,n,2,).,若,X,F,(,n,1,n,2,),，,X,的概率密度为,定理,1,(,样本均值的分布,),设,X,1,X,2,X,n,是取自正态总体,的样本，则有,定理,2,(,样本方差的分布,),设,X,1,X,2,X,n,是取自正态总体,的样本,分别为样本均值和样本方差,则有,定理,3,设,X,1,X,2,X,n,是取自正态总体,的样本,分别为样本均值和样本方差,则有,定理,4,(,两总体,样本,均值差的分布,),分别是这两个样本的,且,X,与,Y,独立,X,1,X,2,是取自,X,的样本,取自,Y,的样本,分别是这两个样本的样本方差,均值,则有,Y,1,Y,2,是,样本,定理,5,(,两总体,样本,方差比的分布,),分别是这两个样本的,且,X,与,Y,独立,X,1,X,2,是取自,X,的样本,取自,Y,的样本,分别是这两个样本的样本方差,均值，,则有,Y,1,Y,2,是,样本,例2,已知某地区新生婴儿的体重,X,随机抽查,100,个婴儿,得,100,个体重数据,X,1,X,2,X,100,的区间估计,求,和,（置信水平为1-,）.,解：这是单总体均值和方差的估计,已知,先求均值 的区间估计.,因方差未知，取,对给定的置信度,确定分位数,使,即,均值 的置信水平为 的区间估计.,即为,从中解得,取,从中解得,再求方差 的置信水平为 的区间估计,.,对给定的置信度,确定分位数,使,于是 即为所求.,需要指出的是，给定样本，给定置信水平，,置信区间也,不是唯一,的.,对同一个参数，我们可以构造许多置信区间.,N,(0,1),取,由标准正态分布表，对任意,a,、,b,，,我们可以求得,P,(,a,U,b,),.,例如，设,X,1,X,n,是取自,的样本，,求参数 的置信水平为 的,置信区间,.,N,(0,1),例如，由,P,(-1.96,U,1.96)=0.95,我们得到,均值 的置信水平为,的,置信区间为,由,P,(-1.75,U,2.33)=0.95,这个区间比前面一个要长一些.,置信区间为,我们得到,均值 的置信水平为,的,我们总是希望置信区间尽可能短.,类似地，我们可得到若干个不同的置信,区间.,任意两个数,a,和,b,，,只要它们的纵标包含,f,(,u,),下95%,的面积，就确定一个,95%,的置信区间.,在概率密度为单峰且对称的情形，当,a,=-,b,时求得的置信区间的长度为最短.,a,=-,b,即使在概率密度不对称的情形，如,分布,，,F,分布,，习惯上仍取对称的百分位点来计算未知参数的置信区间.,我们可以得到未知参数的的任何,置信水平小于1的,置信区间，并且,置信水平越高，相应的,置信区间,平均长度,越长.,也就是说，要想得到的区间估计可靠度高，区间长度就长，估计的精度就差.这是一对矛盾.,实用中应在保证足够可靠的前提下，尽量使得区间的长度短一些.,例3,某单位要估计平均每天职工的总医疗费，观察了30天,其总金额的平均值是170元，标准差为30元，试决定职工每天总医疗费用平均值的区间估计（置信水平为0.95）.,解：,设每天职工的总医疗费为,X,，,近似服从正态分布,大样本，由中心极限定理，,E,(,X,)=,D,(,X,)=,未知，用样本标准差,S,近似代替.,取枢轴量,近似,N,(0,1),分布,对给定的置信水平 ,确定分位数,使,得均值 的置信水平为 的区间估计为,将 =170,S,=30,=1.96,n,=30,代入得,的置信水平为0.95的置信区间是,159.27,180.74,得均值 的置信水平为 的区间估计为,三、单侧置信区间,上述置信区间中置信限都是双侧的，但对于有些实际问题，人们关心的只是参数在一个方向的界限.,例如对于设备、元件的使用寿命来说，平均寿命过长没什么问题，过短就有问题了.,这时，可将置信上限取为+，而只着眼于置信下限，这样求得的置信区间叫单侧置信区间.,于是引入单侧置信区间和置信限的定义：,满足,设 是 一个待估参数，给定,若由样本,X,1,X,2,X,n,确定的统计量,则称区间 是,的置信水平为 的单侧置信区间,.,称为单侧置信下限.,又若统计量 满足,则称区间 是,的置信水平为 的单侧置信区间,.,称为单侧置信上限.,设灯泡寿命服从正态分布.求灯泡寿命均值 的置信水平为,0.95,的单侧置信下限.,例4,从一批灯泡中随机抽取5只作寿命试验，测得寿命,X,（,单位：小时）如下：,1050，1100，1120，1250，1280,由于方差 未知，取枢轴量,解：的点估计取为样本均值,对给定的置信水平,，确定分位数,使,即,于是得到 的置信水平为 的单侧置信区间为,将样本值代入得,的置信水平为,0.95,的单侧置信下限是,1065小时,的置信水平为 的单侧置信下限为,即,