向量的内积的概念.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,向量的内积的概念,向量的长度,向量的正交性,向量空间的正交规范基的概念,向量组的正交规范化,正交阵、正交变换的概念,1.,预备知识：向量的内积,下页,关闭,n,维向量是空间三维向量的推广，本节通过定义向,量的内积，从而引进,n,维向量的度量概念：向量的长度，,夹角及正交。,定义,1,设有,n,维向量,向量内积的概念,在,空间解析几何中，两向量的数量积,在,直角坐标系中表示为,推广到,n,维向量即有：,上页,下页,返回,内积,。,内积的,运算规律,：,上页,下页,返回,向量的长度,由,向量内积的性质,(,v,),自然引入向量的长度。,定义,1,令,向量长度的性质：,上页,下页,返回,单位向量,。,正交向量组,：指一组两两正交的非零向量。,向量的正交性,空间解析几何中两向量垂直推广到,n,维向量，可得向量的正交性概念。,上页,下页,返回,夹角,。,定理,1,证,上页,下页,返回,例,1,解,已知,3,维向量空间,R,3,中两个向量,上页,下页,返回,上页,下页,返回,就是,R,4,的一个正交规范基。,向量空间的规范正交基,定义,3,上页,下页,返回,上页,下页,返回,向量组的正交规范化,上页,下页,返回,上页,下页,返回,就,得,V,的一个正交规范基。,然后只要把它们单位化，即取,上页,下页,返回,试用施密特正交化过程把这组向量正交规范化。,解,例,2,上页,下页,返回,再把,它们单位化，取,上页,下页,返回,解,例,3,它的基础解系为,上页,下页,返回,把,基础解系正交化，即为所求。取,上页,下页,返回,由于正交化过程十分繁锁，因而在求正交向量组时，只要抓住向量正交的本质，可以避免正交化过程。,x,1,+,x,2,+,x,3,=0,的基础解系为例，,使得前两个分量与,的前两个,分量对应,乘积之和为零即可，,容易验证,要求两两正交的基础解系，只要取,从而取,以例,3,中求齐次线性方程组,上页,下页,返回,Ex.1,解,其,基础解系可取为,上页,下页,返回,定义,4,如果,n,阶方阵,A,满足,A,T,A,=,E,(,即,A,1,=,A,T,),那么称,A,为,正交阵,。上式用,A,的列向量表示，即是,上页,下页,返回,是,正交阵。,例,4,解,P,的每一个行向量都是单位向量，且两两正交，所以,P,是正交阵。,验证矩阵,上页,下页,返回,这就说明：方阵,A,为,正交阵,的充分必要条件是,A,的列,(,行,),向量都是单位向量且两两正交。从而正交阵,A,的,n,个列,(,行,),向量构成向量空间,R,n,的一个规范正交基。,定义,5,若,P,为正交阵，则线性变换,y,=,P x,称为,正交变换,。,这就说明：正交变换保持线段长度保持不变。从而利用正交变换化二次型为标准形不会改变二次型的几何特征。,设,y,=,P x,是正交变换，则有,上页,下页,返回,(,i).,正交矩阵,A,的行列式,|,A,|=1,或,|,A,|=,1;,(ii).,正交矩阵,A,是可逆的，且,A,1,=,A,T,；,(iii).,正交矩阵,A,的逆矩阵,A,1,也是正交矩阵；,(,iv).,同阶正交矩阵,A,与,B,的乘积也是正交矩阵。,正交矩阵在本章中占有重要的地位，因此，必须牢记正交矩阵的,性质,：,上页,返回,