应用统计chapter6.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第六章：抽样与抽样分布,第,6,章 统计量及其抽样分布,6.1,统计量,6.2,关于分布的几个概念,6.3,由正态分布导出的几个重要分布,6.4,样本均值的分布与中心极限定理,6.5,样本比例的抽样分布,6.6,两个样本平均值之差的分布,6.7,关于样本方差的分布,6.1,统计量,6.1.1,统计量的概念,6.1.2,常用统计量,6.1.3,次序统计量,6.1.4,充分统计量,常用的总体参数,总体参数,总体平均值,总体方差,总体标准差,总体比率,统计量,(,statistic,),设,X,1,X,2,X,n,是从总体,X,中抽取的容量为,n,的一个样本，如果由此样本构造一个函数,T,(,X,1,X,2,X,n,),，,不依赖于任何未知参数,，则称函数,T,(,X,1,X,2,X,n,),是一个统计量,样本均值、样本比例、样本方差等都是统计量,统计量是样本的一个函数,统计量是统计推断的基础,常用统计量,样本统计量,样本平均值,样本方差,样本标准差,样本比率,常用统计量,样本统计量,样本变异系数,样本,k,阶矩,样本,k,阶中心矩,常用统计量,样本统计量,样本偏度系数,样本峰度系数,次序统计量,一,组样本观测值,X,1,X,2,X,n,由小到大的排序,X,（,1,）,X,（,2,）,X,（,i,）,X,（,n,）,后，称,X,（,1,）,，,X,（,2,）,，,，,X,（,n,）,为次序统计量,中位数、分位数、四分位数等都是次序统计量,充分统计量,统计量加工过程中一点信息都不损失的统计量通常称为,充分统计量,【,例,】,某电子元件厂欲了解其某产品的不合格率,p,，质检员抽检了,100,个电子元件，检查结果是，除前,3,个是不合格品（记为,X,1,=1,X,2,=1,X,3,=1,）,其他都是合格品（记为,X,i,0,，,i,4,，,5,，,100,）。当企业领导问及抽检结果时，质检员给出如下两种回答：,（,1,）抽检的,100,个元件中有,3,个不合格（记为 ）,（,2,）抽检的,100,个元件中前,3,个不合格（,X,1,=1,X,2,=1,X,3,=1,）,6.2,关于分布的几个概念,6.2.1,抽样分布,6.2.2,渐进分布,6.2.3,随机模拟获得的近似分布,6.2.1,三种不同性质的分布,总体分布,样本分布,抽样分布,总体分布,(,population distribution,),总体中各元素的观察值所形成的分布,分布通常是未知的,可以假定它服从某种分布,总体,样本分布,(,sample distribution,),一个样本中各观察值的分布,也称经验分布,当样本容量,n,逐渐增大时，样本分布逐渐接近总体的分布,样本,抽样分布,(,sampling distribution,),样本统计量的概率分布，,是一种理论分布,在重复选取容量为,n,的样本时，由该统计量的所有可能取值形成的相对频数分布,样本统计量,是随机变量,样本均值,样本比例，样本方差等,结果来自,容量相同,的,所有,可能样本,提供了样本统计量长远而稳定的信息，是进行推断的理论基础，也是抽样推断科学性的重要依据,抽样分布的形成过程,(,sampling distribution,),总体,计算样本统计量,如：样本均值、比例、方差,样本,6.2.2,渐近分布,样本统计量的极限分布常称为,渐近分布,6.2.3,随机模拟获得的近似分布,利用计算机应用随机模拟方法获得统计量的近似分布,6.3,由正态分布导出的几个重要分布,6.3.1,2,分布,6.3.2,t,分布,6.3.3,F,分布,2,分布,由阿贝,(,Abbe,),于,1863,年首先给出，后来由海尔墨特,(,Hermert,),和卡,皮尔逊,(,KPearson,),分别于,1875,年和,1900,年推导出来,设 ，则,令 ，则,Y,服从自由度为,1,的,2,分布，即,当总体 ，从中抽取容量为,n,的样本，则,2,分布,(,2,distribution,),分布的变量值始终为正,分布的形状取决于其自由度,n,的大小，通常为不对称的正偏分布，但随着自由度的增大逐渐趋于对称,期望为：,E,(,2,)=,n,，,方差为：,D,(,2,)=2,n,(,n,为自由度,),可加性：若,U,和,V,为两个独立的,2,分布随机变量，,U,2,(n,1,),，,V,2,(,n,2,),则,U,+,V,这一随机变量服从自由度为,n,1,+,n,2,的,2,分布,2,分布,(,性质和特点,),c,2,分布,(,图示,),不同容量样本的抽样分布,c,2,n,=1,n,=4,n,=10,n,=20,t,分布,t,分布,t,-,分布,是由,W.S.Gosset(1876-1937),于,1908,年在一篇署名为“,student”,的论文中首次提出，因此又称为,“学生氏”分布,。,设随机变量,X,N(0,1),Y,，且,X,和,Y,相互独立，则随机变量 的分布称为,自由度,为,n,的,t,-,分布，并记为,T,t,(,n,),t,分布,t,-,分布 是一概率分布簇。,某一特定的,t,分布依赖于参数,n,称之为自由度。,随着自由度的增加，,t,-,分布与正态分布之间的差距将会不断减小,(,n,30),。,随着自由度的增加，,t,-,分布的离散程度也将减小。,t,-,分布的均值为,0,，方差为,t,分布,x,t,分布与标准正态分布的比较,t,分布,标准正态分布,t,不同自由度的,t,分布,标准正态分布,t,(,df,=13),t,(,df,=5),z,t,分布表的使用,【,例,】,某银行向审计部门报告，其向企业发放的短期贷款中，未偿还的贷款额近似服从正态分布，平均值为,8.5,万元，标准差未知。现审计人员为了验证这个报告结果，随机抽取了,25,个项目进行检查，查得平均拖欠贷款额为,7.6,万元，标准差为,1.6,万元。审计人员所关心的问题是，如果总体均值为,8.5,万元，那么能抽到的样本其平均值不超过,7.6,万元的概率有多大？,例题分析,解,：由于总体标准差未知，所以采用,t,分布,其中，,n,=25,自由度,n,-1=24,F,分布,由统计学家费希尔,(,R.A.Fisher,),提出的，以其姓氏的第一个字母来命名,设若,U,为服从自由度为,n,1,的,2,分布，即,U,2,(,n,1,),，,V,为服从自由度为,n,2,的,2,分布，即,V,2,(,n,2,),且,U,和,V,相互独立，则,称,F,为服从自由度,n,1,和,n,2,的,F,分布，记为,F,分布,(,F,distribution,),F,分布,(,F,distribution,),不同自由度的,F,分布,F,（1,10),(5,10),(10,10),6.4,样本均值的分布与中心极限定理,一个总体参数推断时样本,统计量的抽样分布,样本均值的抽样分布,在重复选取容量为,n,的样本时，由样本均值的所有可能取值形成的相对频数分布,一种理论概率分布,推断总体均值,的理论基础,样本均值的抽样分布,(,例题分析,),【,例,】,设一个总体，,含有,4,个元素,(,个体,),，即总体单位数,N=,4,。,4,个个体分别为,x,1,=1,，,x,2,=2,，,x,3,=3,，,x,4,=4,。,总体的均值、方差及分布如下,总体分布,1,4,2,3,0,.1,.2,.3,均值和方差,样本均值的抽样分布,(,例题分析,),计算出各样本的均值，如下表。并给出样本均值的抽样分布,3.5,3.0,2.5,2.0,3,3.0,2.5,2.0,1.5,2,4.0,3.5,3.0,2.5,4,2.5,4,2.0,3,2,1,1.5,1.0,1,第二个观察值,第一个,观察值,16,个样本的均值（,x,）,x,样本均值的抽样分布,1.0,0,0.1,0.2,0.3,P,(,x,),1.5,3.0,4.0,3.5,2.0,2.5,样本均值的分布与总体分布的比较,(,例题分析,),=2.5,2,=1.25,总体分布,1,4,2,3,0,.1,.2,.3,抽样分布,P,(,x,),1.0,0,.1,.2,.3,1.5,3.0,4.0,3.5,2.0,2.5,x,样本来自正态分布,【,正态分布再生定理,】,：设 为一组随机变量，若它们相互独立，而且都服从正态分布 ；则服从正态分布 。,已知时，样本均值的抽样分布,【,正态分布再生定理,】,：,如果容量为,n,的随机样本抽自平均数为,u,方差为 的正态分布总体，则样本平均数 也服从,正态,分布，该分布的期望值为 ，方差为 。,当,N,远远大于,n,时，即时，也可将不退还抽样看作退还抽样,。,其中,已知时，样本均值的抽样分布,样本来自非正态总体,【,中心极限定理,】,设 为一组随机变量，若它们相互,独立，而且具有相同分布；期望,方差 ；则服从,正态,分布 。,【,注,】,对任意分布形态的平均数为,u,，,方差为 的总体进行随机抽样，只要样本容量足够大（,n,30,）,则样本平均数抽样分布逼近期望值为 ，方差为 的,正态,分布,样本均值的抽样分布,样本均值的抽样分布,其中,通常把,n,30,作为“,n,很大”的标准。样本容量,n,30,称为,大样本,，否则称为,小样本,。,中心极限定理,x,的分布趋于正态分布的过程,样本均值的抽样分布,（例题分析）,【,例,】,某类钢制产品的重量，经过多次衡量，取得有差异的一系列数据，这些数据近似的服从正态分布，设平均值为,2800,公斤，方差为,9000,公斤。现假定从该总体中抽出容量为,10,的随机样本。问这个样本的平均重量小于或等于,2750,公斤的概率为多大？,样本均值的抽样分布,（例题分析）,【,解,】,：样本来自于标准差已知的正态分布总体，故抽样分布为正态分布。其中,样本均值的抽样分布,（例题分析）,【,例,】,从海外,A,地区、,B,地区、和,C,地区到货了,3,批大豆,，,分别为,1000,包、,10000,包和,100000,包，已知,3,批大豆中平均每包重量都为,100,公斤,标准差都是,4,公斤,。,现从每批中都按,不重复,抽样抽取样本容量,n,=500,包的样本，来测定这,3,批大豆的每包平均重量，要求分别标出样本平均重量短秤半公斤的概率,。,样本均值的抽样分布,（例题分析）,解：,从,A,地区大豆抽样的,从,B,地区大豆抽样的,样本均值的抽样分布,（例题分析）,从,C,地区大豆抽样的,如果不作总体修正，则,样本均值的抽样分布,（例题分析）,A,地区,B,地区,C,地区,抽样分布与总体分布的关系,总体分布,正态分布,非正态分布,大样本,小样本,正态分布,正态分布,非正态分布,未知时，样本均值的抽样分布,总体是正态总体或非正态总体但样本量很大,未知，总体是正态总体,未知，总体非正态总体且样本量很大,未知，总体非正态总体且样本量很小,分布未知,6.5,样本比例的抽样分布,比例,(proportion),总体,(,或样本,),中具有某种属性的单位与全部单位总数之比,不同性别的人与全部人数之比,合格品,(,或不合格品,),与全部产品总数之比,总体比例可表示为,样本比例可表示为,样本比例的抽样分布,样本比例的数学期望,样本比例的标准差,重复抽样,不重复抽样,样本比例的抽样分布,3.,当样本容量很大，即 时，由中心极限定理有：,样本比例的抽样分布,（例题分析）,【,例,】,假定我们已知办公室人员所填写的表格中有,5,至少包括一处笔误。如果我们检查一个由,475,份表格组成的简单随机样本，其中至少含一处笔误的表格所占的比例在,3,和,7.5%,之间的概率有多大？,例题分析,解,：由于,n,较大,较小，,n,23.55.,所以可用正态近似处理，认为样本比率的抽样分布服从正态分布,6.6,两个,样本均值之差的抽样分布,样本统计量的抽样分布,(,两个总体参数推断时,),两个样本均值之差的抽样分布,两个样本比例之差的抽样分布,两个样本方差比的抽样分布,两个样本均值之差的抽样分布,两个,独立,总体都为正态分布，即 ，,两个样本均值之差 的抽样分布服从正态分布，其分布的数学期望为两个总体均值之差,方差为各自的方差之和,两个样本均值之差的抽样分布,m,1,s,1,总体,1,s,2,m,2,总体,2,抽取简单随机样样本容量,n,1,计算,x,1,抽取简单随机样样本容量,n,2,计算,x,2,计算每一对样本,的,x,1,-,x,2,所有可能样本,的,x,1,-,x,2,m,1,-,m,2,抽样分布,两个样本均值之差的抽样分布,（例题分析）,【,例,】,一个市场分析人员研究顾客在甲乙,2,个不同类型的食品杂货店中所花费的时间，他在每个商店中各观察了一个由,75,人组成的样本，发现商店甲的顾客所花费的平均时间为,55,分钟，商店乙的顾客所花的平均时间为,49,分钟。假定甲乙,2,个商店的顾客所花费平均时间的真值无差别，且标准差对每个总体来说都是,15,分钟，问观察到样本差大于或等于,6,分钟的概率有多大？,两个样本均值之差的抽样分布,（例题分析）,解,：两样本是相互独立，都服从正态分布。或总体不是正态总体，单位大样本。故均值差的分布为正态分布，且均值为 ，方差为,两个样本比例之差的抽样分布,两个总体都服从二项分布,分别从两个总体中抽取容量为,n,1,和,n,2,的独立样本，当两个样本都为大样本时，两个样本比例之差的抽样分布可用正态分布来近似,分布的数学期望为,方差为各自的方差之和,两个样本比例之差的抽样分布（例题分析）,【,例,】,一项抽样调查表明甲城市的消费者中有,15,的人喝过商标为“圣洁”牌的矿泉水，而乙城市的消费者中只有,8,的人喝过该种矿泉水。如果这些数据是真实的，样本那么当我们分别从甲城市抽取,120,人，乙城市抽取,140,人组成两个独立随机时，样本比例差不低于,0.08,的概率有多大？,两个样本比例之差的抽样分布（例题分析）,6.7,关于,样本方差的分布,6.7.1,样本方差的分布,6.7.2,两个样本方差比的分布,样本方差的分布,在重复选取容量为,n,的样本时，由样本方差的所有可能取值形成的相对频数分布,对于来自正态总体的简单随机样本，则比值,的抽样分布服从自由度为,(,n,-1),的,2,分布，即,两个样本方差比的分布,两,个总体都为正态分布，,即,X,1,N,(,1,1,2,),，,X,2,N,(,2,2,2,),从两,个总体中分别抽取容量为,n,1,和,n,2,的独立样本,两,个样本方差比的抽样分布，服从分子自由度为,(,n,1,-1),，,分母自由度为,(,n,2,-1),的,F,分布，即,