应用统计学第3章.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,本章主要介绍以下,3,类综合统计指标：,度量中心（集中）趋势的平均指标,度量离散程度（变异性）的指标,度量偏斜程度的指标,度量两种数值变量关系的指标,第,3,章 统计数据的描述度量,1,常用的这类指标有以下五种：算术平均数、中位数、众数、四分位数、几何平均数、五数汇总和箱线图。,3.1,度量集中趋势的指标,2,（,1,）基本公式：,1.,算术平均数,3,(1),简单算术平均数,（,2,）算术平均数的计算,n,总体单位总数；,x,i,第,i,个单位的标志值。,(2),加权算术平均数,x,i,第,i,组的代表值,(,组中值或该组变量值,),；,f,i,第,i,组的频数,。,4,使,用,Excel,函,数求加权算术平均数,利用,Excel,“,数学和三角函数,”,中的,SUMPRODUCT,函数可以方便地计算出,分组数据的加权算术平均数。,语法规则：,格式：,SUMPRODUCT(,),功能：,返回两个或多个区域中对应元素乘积之和。,例,：利用比特啤酒公司各销售点分组频数分布数据，求各销售点的平均销售量。,5,2.,几何平均数,当统计资料是各时期的发展速度等前后期的两两比环数据，要求每时期的平均发展速度时，就需要使用几何平均数。,几何平均数是,n,个数连乘积的,n,次方根。,（,1,）简单几何平均数,（,2,）加权几何平均数,f,i,各比率出现的频数,6,例,：,某公司原料成本随时间增长的情况如下,表,求原料成本的平均年增长率。,解一,：,解二,：,年平均增长率,=1.0688,-,1=6.88%,7,（,3,）使用,Excel,求几何平均数,可以使用,Excel,统计函数中的,GEOMEAN,函数返回几何平均数。,语法规则：,格式：,GEOMEAN,(,),功能：,返回所有参数中数据的几何平均数。,8,将总体各单位标志,值,按由小到大的顺序排列后,处于中间位置的标志值称为,中位数,，记为,M,e,。,中位数是一种位置平均数，不受极端数据的影响。当统计资料中含有异常的或极端的数据时，中位数比算术平均数更具有代表性。,比如有,5,笔付款：,9,元，,10,元，,10,元，,11,元，,60,元,付款的均值为,20,元，显然这并不是一个很好的代表值，而中位数,M,e,=10,元则更能代表平均每笔的付款数。,3.,中位数,9,(1),使用,Excel,的统计函数返回,未分组数据的中位数,可以使用,Excel,统计函数中的,MEDIAN,函数返回未分组数据的中位数。,格式：,MEDIAN,(,),功能：,返回所有参数中数据的中位数。,10,(2),分组数据中位数的确定,对于分组数据的统计资料，中位数要用插值法来估算。,(1),计算各组的累计频数,；,(2),确定中位数所在的组,是累计频数首次包含中位数位次,f,/2,的组,。,其中：,L,中位数所在组的下限；,S,m,-1,中位数所在组前一组的累计频数；,f,m,中位数所在组的频数；,d,中位数所在组的组距。,11,例,：计算下表数据的中位数,解,：,f,/2=27.5,，,中位数在,“,15-25,”,的组中，,12,4.,众数,是总体中出现次数最多的标志值,，记为,M,0,。,众数明确反映了数据分布的集中趋势，也是一种位置平均数，不受极端数据的影响。但并非所有数据集合都有众数，也可能存在多个众数。,在某些情况下，众数是一个较好的代表值。,例如在服装行业中，生产商、批发商和零售商在进行生产和存货决策时，更感兴趣的是最普遍的尺寸而不是平均尺寸。,又如，当要了解大多数家庭的收入状况时，也要用到众数。,13,(1),未分组数据众数的确定,在数据量很大的时候，可以使用,Excel,统计函数中的,MODE,函数返回众数。,格式：,MODE,(,),功能：,返回所有参数中数据的众数。,14,(2),分组数据众数的确定,对于分组数据的统计资料，众数也要用插值法来估算。,(1),确定众数所在的组,对于等距分组，众数组是频数最高的组,；,(2),使用以下插值公式计算,其中：,L,众数组的下限,1,众数组与前一组的频数之差,2,众数组与后一组的频数之差,d,众数组的组距,1,2,众数,L,d,15,例,：,计算下表数据的众数,解：,众数组是,“,15-25,”,的组，则,16,算术平均数、中位数和众数间的关系,0,x,f,(,M,e,，,M,0,),0,x,f,M,e,M,0,0,x,f,M,e,M,0,2,.,频数分布为右偏态 时，众数小于中位数，算术平均数大于中位数,。,3,.,频数分布为左偏态时，众数大于中位数，算术平均数小于中位数,。,1.,频数分布呈完全对称的单峰分布，算术平均数、中位数和众数三者相同。,17,补充习题,补充题,3,：某地区私营企业注册资金分组资料如下，求该地区私营企业注册资金的平均数、中位数和众数。,18,补充题,3,答案,f/2=143/2=71.5,，,中位数所在组为,“,100,150,”,的组，,众数组为,“,100,150,”,的组，,19,5.,四分位数,(,概念要点,),1.,集中趋势的测度值之一,2.,排序后处于,25%,和,75%,位置上的值,3.,不受极端值的影响,4.,可用于定序数据，也可用于数值型数据，但不能用于定类数据,Q,L,Q,M,Q,U,25%,25%,25%,25%,20,未分组数据：,组距分组数据：,下四分位数,(,Q,L,),位置,=,N+,1,4,上四分位数,(,Q,U,),位置,=,3(,N+,1),4,下四分位数,(,Q,L,),位置,=,N,4,上四分位数,(,Q,L,),位置,=,3N,4,四分位数位置的确定,21,数值型未分组数据的四分位数,(7,个数据的算例,),原始数据,:,23 21 30 32 28 25 26,排 序,:,21,23,25 26 28,30,32,位 置,:,1 2 3 4 5 6 7,N+,1,Q,L,=,23,7+,1,Q,L,位置,=,4,=,4,=2,Q,U,位置,=,3(,N+,1),4,3(7,+,1),4,=,=6,Q,U,=,30,22,数值型未分组数据的四分位数,(6,个数据的算例,),原始数据,:,23 21 30 28 25 26,排 序,:,21 23 25 26 28 30,位 置,:,1 2 3 4 5 6,Q,L,=21+0.75(23-21),=,22.5,Q,L,位置,=,N+,1,4,=,6+,1,4,=1.75,Q,U,位置,=,3(,N+,1),4,3(6,+,1),4,=,=5.25,Q,U,=28+0.25(30-28),=,28.5,23,数值型分组数据的四分位数,上四分位数,:,下四分位数,:,24,数值型分组数据的四分位数,Q,L,位置,50/4,12.5,Q,U,位置,350/4,37.5,表,某车间,50,名工人日加工零件数分组表,按零件数分组,频数（人）,累积频数,105,110,110,115,115,120,120,125,125,130,130,135,135,140,3,5,8,14,10,6,4,3,8,16,30,40,46,50,合计,50,【,例,】,根据表中的数据，计算,50,名工人日加工零件数的四分位数,25,使用,Excel,统计函数中的,QUARTILE,函数,在数据量很大的时候，可以使用,Excel,统计函数中的,QUARTILE,函数返回四分位数，语法规则如下：,格式：,QUARTILE(,数据集,第,nthquart,分位数,),功能：返回不同,nthquart,的四分位数。,如果,nthquart,等于,函数,QUARTILE,的返回值,0,最小值,1,第一四分位数,(,第,25,个百分点值,),2,中位数,(,第,50,个百分点值,),3,第三四分位数,(,第,75,个百分点值,),4,最大值,26,6.,五数汇总和箱线图,五数汇总包括最小值、第一分位数、中位数、第三分位数和最大值这样五个数据，即,箱线图,(,亦称箱须图,),提供了基于五数汇总的几何图形,27,箱线图和四种不同类型分布图的联系,c),右偏分布,a),钟形分布,b),左偏分布,d),矩形分布,28,x,频数,要分析总体的分布规律，仅了解中心趋势指标是不够的，还需要了解数据的离散程度或差异状况。几个总体可以有相同的均值，但取值情况却可以相差很大。,变异指标就是用来表示数据离散程度特征的。变异指标主要有：极差、平均差、标准差和变异系数。,3.2,度量离散程度的指标,29,【,案例,】,道格拉斯公司应如何选择供应商,道森公司和克拉克公司是道格拉斯公司的两家供货商。两家供货商都表示大约需要,10,个工作日交付定货。下表是两家供应商定货交付时间的历史数据。今后道格拉斯公司应选择哪家供应商供货？,30,1.,极差,极差也称全距，是一组数据的最大值和最小值之差,通常记为,R,。,显然，一组数据的差异越大，其极差也越大。,极差是最简单的变异指标，它广泛应用于产品质量管理中控制质量的差异，一旦发现超过控制范围，就采取措施加以纠正，以保证产品质量的稳定。,但极差有很大的局限性，它仅考虑了两个极端的数据，没有利用其余数据的信息，因而是一种比较粗糙的变异指标。,31,2.,平均差,平均差是各数据与其均值离差绝对值的算术平均数，通常记为,A.D,。,平均差越大，反映数据间的差异越大。,但由于使用了绝对值，其数学性质很差，因而很少使用。,32,3.,四分位差,1.,离散程度的测度值之一,2.,也称为内距或四分间距,3.,上四分位数与下四分位数之差,Q,D,=,Q,U,-,Q,L,4.,反映了中间,50%,数据的离散程度,不受极端值的影响,用于衡量中位数的代表性,33,4.,方差和标准差,方差和标准差是应用得最为广泛的变异指标。标准差是方差的算术平方根，也称均方差或根方差。,应注意总体方差、标准差与样本方差、标准差是有区别的。,(1),总体方差和总体标准差,总体方差,是各总体数据与其均值离差平方的均值，记为,2,，,总体标准差记为,。,34,(2),样本方差与样本标准,差,样本方差记为,S,2,，,样本标准差记,为,S,，,在推断统计中，它们分别是总体方差和标准差的优良估计。,其中：,n,为样本容量，,X,i,为样本观察值,为样本均值。,35,未分组数据方差和标准差的计算,方差和标准差的手工计算非常烦琐，只要求掌握以下两种方法。,使用计算器的统计功能,(SD,或,STAT,功能,),使用,Excel,的统计函数,VARP,(,),功能：,返回所有参数中数据的总体方差。,STDEVP,(,),功能：,返回所有参数中数据的总体标准差。,VAR,(,),功能：,返回所有参数中数据的样本方差。,STDEV,(,),功能：,返回所有参数中数据的样本标准差。,36,5.,变异系数,当需要比较不同总体的离散程度时，如果使用的度量单位不同，或它们在数量级上相差很大，则用绝对数值表示的方差和标准差就缺乏可比性，此时就应使用相对变异指标,(,变异系数,),。,例如，对汽车发动机的汽缸而言，,0.05,毫米的标准差就很大了，但对建筑工程而言则可完全忽略不记。,相对变异指标中最重要的是,标准差系数,，,是标准差与均值之比，,记为,V,。,37,6.Z,值,极端值是远离均值的量。,Z,值有助于定义极端值。,Z,值越大，数据远离均值的距离越大。,Z,值记为，是数据与均值的差再除以标准差。其计算公式如下：,通常，,Z,值小于,3.0,或大于,+3.0,时，认为数据中含有极端值。,38,总体分布的特征不仅与均值和变异指标有关，而且与分布的偏斜程度有关，如对称分布、右偏分布和左偏分布。这种分布形态上的数量特征，往往具有重要的社会经济意义。偏度系数是度量偏斜程度的指标，主要有以下两种计算方法：,一、用标准差为单位计量的偏度系数,该偏度系数记为,SK,，,计算公式为,SK,是无量纲的量，取值通常在,-,3,+,3,之间，其绝对值越大，表明偏斜程度越大。当分布呈右偏态时，,SK,0,，,故也称正偏态；当分布为左偏态时，,SK,0,，,故也称负偏态。,3.3,度量偏斜程度的指标,39,二、,使用三阶中心矩计量的偏度系数,该偏度系数是用三阶中心矩除以标准差的三次方来度量偏斜程度，记为,，计算公式为,称为三阶中心矩。,偏度系数,可以适用任何数据。,和,SK,的计算方法 不同，因此根据同一资料计算的结果也不相同。,可以使用,Excel,统计函数中的,SKEW,函数返回数据的偏度系数,，语法规则如下：,格式：,SKEW(,，,，,),功能：返回所有参数中数据的偏度系数。,40,1.,协方差：协方差测试了两数值变量,(,和,),的线性联系，表示为,Cov,(,X,Y,),。其计算用下列公式表示。,2.,相关系数：相关系数测定了两数值变量间的线性相关强度。相关系数的值从完全负相关,1,到完全正相关,+1,。,3.4,度量两种数值变量关系的指标,41,使用,Excel,求各种统计指标,当数据量很大时，手工计算统计指标是非常烦琐的，尤其是标准差、方差数等的计算量很大。,使用,Excel【,工具,】,“,数据分析,”,“,描述统计,”,功能，可以方便地计算出各种综合统计指标。,42,