两向量的向量积.ppt

上页 下页 返回 退出,Jlin,Institute of Chemical Technology,二、两向量的向量积,一、两向量的数量积,7.2,数量积 向量积,一、两向量的数量积,设一物体在常力,F,作用下沿直线从点,M,1,移动到点,M,2,.,以,s,表示位移,.,数量积的物理背景,由物理学知道,力,F,所作的功为,W,|,F,|,s,|cos,其中,为,F,与,s,的夹角,.,对于两个向量,a,和,b,它们的模,|,a,|,、,|,b,|,及它们的夹角,的余弦的乘积称为向量,a,和,b,的数量积,记作,a,b,即,a,b,|,a,|,b,|cos,.,数量积的定义,根据数量积,力,F,所作的功,W,就是力,F,与位移,s,的数量积,即,W,F,s,.,一、两向量的数量积,数量积与投影,由于,|,b,|cos,|,b,|cos(,a,b,),当,a,0,时,|,b,|cos(,a,b,),是向量,b,在向量,a,的方向上的投影,于是,a,b,|,a,|Prj,a,b,.,同理,当,b,0,时,ab,|,b,|Prj,b,a,.,所以,对于两个向量,a,和,b,它们的模,|,a,|,、,|,b,|,及它们的夹角,的余弦的乘积称为向量,a,和,b,的数量积,记作,a,b,即,a,b,|,a,|,b,|cos,.,数量积的定义,一、两向量的数量积,数量积的性质,(1),aa,|,a,|,2,.,(2),对于两个非零向量,a,、,b,如果,ab,0,则,a,b,;,反之,如果,a,b,则,ab,0,.,如果认为零向量与任何向量都垂直,则,a,b,a,b,0,.,对于两个向量,a,和,b,它们的模,|,a,|,、,|,b,|,及它们的夹角,的余弦的乘积称为向量,a,和,b,的数量积,记作,a,b,即,a,b,|,a,|,b,|cos,.,数量积的定义,一、两向量的数量积,数量积的运算律,(1),交换律,:,ab,ba,;,(2),分配律,:,(,a,b,),c,ac,bc,.,(3)(,a,),b,a,(,b,),(,ab,),(,a,)(,b,),(,ab,),其中,、,为数,.,对于两个向量,a,和,b,它们的模,|,a,|,、,|,b,|,及它们的夹角,的余弦的乘积称为向量,a,和,b,的数量积,记作,a,b,即,a,b,|,a,|,b,|cos,.,数量积的定义,一、两向量的数量积,例,1,试用向量证明三角形的余弦定理,.,要证,c,2,=,a,2,+,b,2,-,2,ab,cos,q,.,则有,c,a,-,b,从而,|,c,|,2,c,c,(,a,-,b,)(,a,-,b,),a,a,+,b,b,-,2,a,b,|,a,|,2,+,|,b,|,2,-,2|,a,|,b,|cos(,a,b,),即,c,2,a,2,+,b,2,-,2,ab,cos,q,.,证明,在,D,ABC,中,BCA,q,|,CB,|,=,a,|,CA,|,=,b,|,AB,|,=,c,提示：,数量积的坐标表示,a,a,x,i,a,y,j,a,z,k,b,b,x,i,b,y,j,b,z,k,ab,(,a,x,i,a,y,j,a,z,k,)(,b,x,i,b,y,j,b,z,k,),a,x,b,x,ii,a,x,b,y,ij,a,x,b,z,ik,a,y,b,x,j,i,a,y,b,y,j,j,a,y,b,z,j,k,a,z,b,x,k,i,a,z,b,y,k,j,a,z,b,z,k,k,a,x,b,x,a,y,b,y,a,z,b,z,.,ab,a,x,b,x,a,y,b,y,a,z,b,z,.,设,a,(,a,x,a,y,a,z,),b,(,b,x,b,y,b,z,),则,数量积的坐标表示,ab,a,x,b,x,a,y,b,y,a,z,b,z,.,设,a,(,a,x,a,y,a,z,),a,(,b,x,b,y,b,z,),则,设,(,a,b,),则当,a,0,、,b,0,时,有,向量夹角余弦的坐标表示,提示,a,b,|,a,|,b,|cos,例,2,已知三点,M,(1,1,1),、,A,(2,2,1),和,B,(2,1,2),求,AMB,.,从,M,到,A,的向量记为,a,从,M,到,B,的向量记为,b,则,AMB,就是向量,a,与,b,的夹角,.,2,0,1,1,|,|,2,2,2,=,+,+,=,a,2,1,0,1,|,|,2,2,2,=,+,+,=,b,因为,a,b,1,1,1,0,0,1,1,b,(2,1,2),(1,1,1),a,(2,2,1),(1,1,1),(1,1,0),(1,0,1),.,解,从而,所求,液体的质量为,P,=,r,A,vn,.,体积为,A,|,v,|cos,q,=,A,vn,.,这柱体的高为,|,v,|cos,q,解,单位时间内流过这区域的液体组成一个底面积为,A,、,斜高为,|,v,|,的斜柱体,.,例,3,在流速为,(,常向量,),v,的,液体内有一个平面区域,A,n,为垂直于,A,的单位向量,计算单位时间内经过这区域流向,n,所指一方的液体的质量,P,(,液体的密度为,r,),.,二、两向量的向量积,设向量,c,是由两个向量,a,与,b,按下列方式定出,:,c,的模,|,c,|,|,a,|,b,|sin(,a,b,),;,c,的方向垂直于,a,与,b,所决定的平面,c,的指向按右手规则从,a,转向,b,来确定,.,向量积的定义,右手规则,那么,向量,c,叫做向量,a,与,b,的向量积,记作,a,b,即,c,a,b,.,向量积的定义,二、两向量的向量积,向量,a,与,b,的向量积,c,a,b,:,|,c,|,|,a,|,b,|sin(,a,b,),;,c,的方向垂直于,a,与,b,所决定的平面,c,的指向按右手规则从,a,转向,b,来确定,.,向量积的性质,(1),a,a,0,;,(2),对于两个非零向量,a,、,b,如果,a,b,0,则,a,/,b,;,反之,如果,a,/,b,则,a,b,0,.,如果认为零向量与任何向量都平行,则,a,/,b,a,b,0,.,在空间直角坐标系中,i,i,j,j,k,k,?,i,j,?,j,k,?,k,i,?,(1),交换律,:,a,b,b,a,;,(2),分配律,:,(,a,b,),c,a,c,b,c,;,(3)(,a,),b,a,(,b,),(,a,b,)(,为数,),.,向量积的运算律,讨论：,提示：,i,i,j,j,k,k,0,i,j,k,j,k,i,k,i,j,.,向量积的坐标表示,设,a,a,x,i,a,y,j,a,z,k,b,b,x,i,b,y,j,b,z,k,则,提示：,a,b,(,a,y,b,z,a,z,b,y,),i,(,a,z,b,x,a,x,b,z,),j,(,a,x,b,y,a,y,b,x,),k,.,a,z,b,x,k,i,a,z,b,y,k,j,.,a,b,(,a,x,i,a,y,j,a,z,k,),(,b,x,i,b,y,j,b,z,k,),a,x,b,y,i,j,a,x,b,z,i,k,a,y,b,x,j,i,a,y,b,z,j,k,(,a,y,b,z,a,z,b,y,),i,(,a,z,b,x,a,x,b,z,),j,(,a,x,b,y,a,y,b,x,),k,.,i,i,j,j,k,k,0,i,j,k,j,k,i,k,i,j,.,a,y,b,z,i,+,a,z,b,x,j,+,a,x,b,y,k,-,a,y,b,x,k,-,a,x,b,z,j,-,a,z,b,y,i,利用三阶行列式符号,上式可写成,记忆方法,(,a,y,b,z,a,z,b,y,),i,(,a,z,b,x,a,x,b,z,),j,(,a,x,b,y,a,y,b,x,),k,.,向量积的坐标表示,设,a,a,x,i,a,y,j,a,z,k,b,b,x,i,b,y,j,b,z,k,则,a,b,(,a,y,b,z,a,z,b,y,),i,(,a,z,b,x,a,x,b,z,),j,(,a,x,b,y,a,y,b,x,),k,.,例,4,设,a,2,i,3,j,k,b,i,j,3,k,计算,a,b,.,设,a,a,x,i,a,y,j,a,z,k,b,b,x,i,b,y,j,b,z,k,则,(,a,y,b,z,a,z,b,y,),i,(,a,z,b,x,a,x,b,z,),j,(,a,x,b,y,a,y,b,x,),k,.,解,:,解,:,例,5,已知,求,OAB,的面积,根据向量积的几何意义,表示以 和,为邻边的平行四边形的面积,于是,OAB,的面积为,因为,所以三角形,OAB,的面积为,提示：,例,6,设刚体以等角速度,绕,l,轴旋转,计算刚体上一点,M,的线速度,.,刚体绕,l,轴旋转时,我们可以用在,l,轴上的一个向量,w,表示角速度,它的大小等于角速度的大小,它的方向由右手规则定出,:,即以右手握住,l,轴,当右手的四个手指的转向与刚体的旋转方向一致时,大姆指的指向就是,w,的方向,.,解,轴上任取一点,O,作向量,r,并以,表示,设点,M,到旋转轴,l,的距离为,a,再在,l,w,与,r,的夹角,那么,设线速度为,v,那么由物理学可知,|,v,|,|,w,|,a,|,w,|,r,|sin,;,a,|,r,|sin,.,v,垂直于,w,与,r,且,v,的指向是使,w,、,r,、,v,符合右手规则,.,因此有,v,w,r,.,例,6,设刚体以等角速度,绕,l,轴旋转,计算刚体上一点,M,的线速度,.,解,轴上任取一点,O,作向量,r,并以,表示,设点,M,到旋转轴,l,的距离为,a,再在,l,w,与,r,的夹角,那么,向量的概念,向量的加减法,向量与数的乘法,（,注意与标量的区别）,（,平行四边形法则）,（,注意数乘后的方向）,小结,