演绎、归纳、类比.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,演绎、归纳和类比,推理,推理就是从一个或几个已知判断推出一个新判断的思维形式。,任何推理都是由两部分组成，一部分是推理所依据的已知判断，即前提；一部分是推出的新判断，即结论。,推理分为演绎推理、归纳推理和类比推理,演绎推理,所谓演绎推理，是由一般性知识的前提，推出个别性知识结论的推理，即从一般到个别的推理。,三段论：大前提、小前提和结论,公理一：凡肯定一类就能肯定一类中的一部分,公理二：凡否定一类就能否定一类中的一部分,演绎法,归纳推理,归纳推理是以个别知识的判断为前提，推出一般性知识的判断为结论的推理。,根据前提中是否考察了某类事物的全部对象，归纳推理可分为完全归纳推理和不完全归纳推理两种。,归纳推理的几个特点,1.,归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围,2.,归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象,因而结论具有猜测性,3.,归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观察、经验和实验的基础之上,归纳推理的一般步骤：,试验、观察,概括、推广,猜测一般性结论,结论,对于所有的自然数,n,前五个均是质数,4=2+2,6=3+3,6,3+3,，,8,3+5,，,10,5+5,12,5+7,，,14,7+7,，,16,5+11,18=7+11,，,1000,29+971,1002=139+863,前提,:,“,任何一个大于,2,的偶数都可以表示为两个素数之和,”,-,歌德巴赫猜想,结论,:,目前最佳的结果是中国数学家陈景润於,1966,年证明的，称为陈氏定理,.“,任何充份大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而後者仅仅是两个质数的乘积。”通常都简称这个结果为大偶数可表示为,“,1+2”,的形式。,例,1.,已知数列,a,n,的第,1,项,a,1,=1,，且,（,n,=1,2,),试归纳出这个数列的通项公式,.,分别把,n=1,2,3,4,代入 得,:,归纳,:,例,2.,有三根针和套在一根针上的若干金属片,.,按下列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上,.,1.,每次只能移动一个金属片,;,2.,较大的金属片不能放在较小的金属片上面,.,试推测,:,把,n,个金属片从,1,号针移到,3,号针,最少需要移动多少次,?,n=1,时,n=2,时,n=1,时,n=3,时,n=2,时,n=1,时,n=2,时,n=1,时,n=3,时,n=4,时,n=3,时,n=2,时,n=1,时,n=4,时,n=3,时,n=2,时,n=1,时,归纳,:,例,2,:,数一数图中的凸多面体的面数,F,、顶点数,V,和棱数,E,然后用归纳法推理得出它们之间的关系,.,多面体,面数,(F),顶点数,(V),棱数,(E),三棱锥,四棱锥,三棱柱,五棱锥,立方体,正八面体,五棱柱,截角正方体,尖顶塔,4,6,4,5,5,6,5,9,8,多面体,面数,(F),顶点数,(V),棱数,(E),三棱锥,四棱锥,三棱柱,五棱锥,立方体,正八面体,五棱柱,截角正方体,尖顶塔,4,6,4,5,5,6,5,9,8,6,6,8,6,12,8,12,6,10,多面体,面数,(F),顶点数,(V),棱数,(E),三棱锥,四棱锥,三棱柱,五棱锥,立方体,正八面体,五棱柱,截角正方体,尖顶塔,4,6,4,5,5,6,5,9,8,6,6,8,6,12,8,12,6,10,7,7,9,16,9,10,15,10,15,F+V-E=2,猜想,欧拉公式,类比推理,类比推理是两个对象在一系列属性上相同，而且已知其中一个对象还具有其他属性，由此推断另一个对象也具有同样属性的推理。,类比的推理是一种“合情推理”，不是证明，它无法保证已知相同的属性与推出的属性之间有必然的联系。但是，它是获得新思路，新发现的一种观点、一种手段。,类比推理是探索真理的重要逻辑形式。,类比推理的逻辑形式,类比推理可用如下公式表示：,A,对象具有,a,、,b,、,c,、,d,属性，,B,对象具有,a,、,b,、,c,属性，,因此，,B,对象可能也有,d,的属性,类比推理的特征,(1),类比推理的方向是从个别到个别，或从一般到一般。,(2),类比推理的结论是或然的。,类比的结果是猜测性的,不一定可靠,但它却有,发现的功能,.,检验猜想,。,观察、比较,联想、类推,猜想新结论,类比推理的一般步骤,:,找出,两类对象之间可以确切表述的,相似特征,；,用一类对象的已知特征去,推测另一类对象的特征,，,从而得出一个猜想；,即,类比推理的一般模式,:,所以,B,类,事物,可能,具有,性质,d,.,A,类事物具有性质,a,b,c,d,B,类事物具有性质,a,b,c,(,a,b,c,与,a,b,c,相似或相同）,1.,工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿,发明了锯,;,2.,人们仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理,发明了潜水艇,.,3.,科学家对火星进行研究,发现火星与地球有许多类似的特征,;1),火星是绕太阳运行、绕轴自转的行星,;2),有大气层,在一年中也有季节变更,;3),火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存,等等,.,科学家,猜想,;,火星上也可能有生命存在,.,平面向量,空间向量,若 ，则,若 ，则,利用,平面向量,的性质类比得,空间向量,的性质,例,3.,在平面几何里,有,勾股定理,:“,设,ABC,的两边,AB,、,AC,互相垂直，则,AB,2,+AC,2,=BC,2,.”,拓展到空间，,类比平面几何的勾股定理,，“设三棱锥,A-BCD,的三个侧面,ABC,、,ACD,、,ADB,两两互相垂直，研究三棱锥的侧面面积与底面面积的关系,可以得出的猜想是,_.”,D,A,B,C,a,b,c,c,2,=,a,2,+,b,2,直角三角形,C,90,3,个边的长度,a,，,b,，,c,2,条直角边,a,，,b,和,1,条斜边,c,类比平面内直角三角形的勾股定理,得空间中四面体性质的猜想,3,个面两两垂直的四面体,PDF,PDE,EDF,90,4,个面的面积,S,1,，,S,2,，,S,3,和,S,3,个“直角面”,S,1,，,S,2,，,S,3,和,1,个“斜面”,S,例,4,、试将平面上的圆与空间的球进行类比,.,圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合,.,球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合,.,圆,弦,直径周长,面积,球,截面圆,大圆,表面积,体积,圆的概念和性质,球的概念和性质,与圆心距离相等的两弦相等,与圆心距离不相等的两弦不相等,距圆心较近的弦较长,以点,(,x,0,y,0,),为圆心,r,为半径的圆的方程为,(,x,-,x,0,),2,+(,y,-,y,0,),2,=,r,2,圆心与弦,(,非直径,),中点的连线垂直于弦,球心与不过球心的截面,(,圆面,),的圆点的连线垂直于截面,与球心距离相等的两截面面积相等,与球心距离不相等的两截面面积不相等,距球心较近的面积较大,以点,(,x,0,y,0,z,0,),为球心,r,为半径的球的方程为,(,x,-,x,0,),2,+(,y,-,y,0,),2,+(,z,-,z,0,),2,=,r,2,例,5:,利用圆的性质类比得出球的性质,球的体积,球的表面积,圆的周长,圆的面积,等差数列,等比数列,定义,通项公式,前,n,项和,例,6.,利用等差数列性质类比得等比数列性质,等差数列,等比数列,中项,性质,n,+,m,=,p,+,q,时,a,m,+,a,n,=,a,p,+,a,q,n,+,m,=,p,+,q,时,a,m,a,n,=,a,p,a,q,任意实数,a,、,b,都有等差中项，为,当且仅当,a,、,b,同号时才有等比中项，为,成等差数列,成等比数列,下标等差,项等差,下标等差,项等比,例,4,：试根据等式的性质猜想不等式的性质。,等式的性质：,(1),a,=,b,a,+,c,=,b,+,c,;,(2),a,=,b,ac,=,bc,;,(3),a,=,b,a,2,=,b,2,;,等等。,猜想不等式的性质：,(1),a,b,a,+,c,b,+,c,;,(2),a,b,ac,bc,;,(3),a,b,a,2,b,2,;,等等。,思考,：这样猜想出的结论是否一定正确呢？,又如,在平面内，若,a,c,b,c,则,a,/,b,.,类比到空间，你会得到 什么结论？并判断正误,.,错误,（,可能相交）,猜想,:,在空间中，若,a,g,，,b,g,则,a,/,b,。,归纳推理和类比推理的共同点,归纳推理,和,类比推理,都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为,合情推理,.,从具体问题出发,观察、分析、比较、联想,归纳、类比,提出猜想,分割问题中的类比,1,问题,：,5,个平面最多把空间分为几个部分？,平面互相尽可能,多,地相交，才能分割最多。如果,5,个平面全都平行，那末空间分成的是,6,部分，就较,少。但,5,个平面如何相交最多以致分割最多，一时也,想不清楚，先把问题一般化，再把问题特殊化，逐渐找规律。,2,问题一般化：,n,个平面最多把空,间分为几个部分？,记分为 个部分，再令,把问题特殊化,。,3,问题特殊化：从简单的情况做起，以,便“类比”,4,个平面的情况不易想清楚了。但想到要使,平面,相交最多,，才能把空间,分割最多,。平面相,交最多，有两个含义，一是每个平面都与其它,的所有平面相交，二是每个平面都不过它以外,任意三个平面的交点（三个平面一般情况下相,交于一个点）。,由此我们想到了空间的四面体，这似,乎是四个平面相交最多（从而分割最多）,的情况，把四面体的四个面延展成四个平,面，是否就能把空间分为最多的部分呢？,到底现在把空间分成了几个部分呢？暂难想,象。由此我们想到去类比“直线分割平面”的情,形。,4,类比,3,条直线分割平面的情形,这也可以看成是把三角形的三条边均,延长为直线，看这,3,条直线把平面分为几,部分。数一数，是,7,部分。这对我们有什,么启示？,我们分析一下这,7,个部分：,是有限的,部分，原三角形内部；而几个无限部分，,或与原三角形有公共顶点（,，,，,），或与原三角形有公共边（,，,，,）。,把它们加起来，于是,1+3+3=7,。所以,3,条直线分割平面，最多分为,7,个部分。,5,类比考虑四面体的四个面延展成,4,个平,面，把空间分为几个部分：有限部分（四面体,内部）数为,1,；无限部分与原四面体或有一个,公共顶点（有,4,个部分），或有一条公共棱（有,6,个部,分），或有一个公共面（有,4,个部分），于是所分空,间总的部分数为,1+4+6+4=15,。,以下仍要考虑,这就是一开始提出的问题：,5,个平面最多把空间,分为几个部分？,这一问题在平面上的类似问题是什么？是,5,条还是,4,条直线分割平面？又如何类比？想不,清楚了。对我们来说，不如在“一般情形”下考,虑问题：个平面分割空间和 条直线分割平面。,条直线“处于一般位置”的要求也可以说是：任,何两条不平行；任何三条不共点。个平面“处,于一般位置”的要求是：任两平面不平行；任,四平面不共点,（或说任三平面不共线）这是四,平面不共点的必要条件，并非充分,。,进而，我们类比直线上的问题：个一般,位置的点分割直线的问题。,这一问题比较简单：,个点最多把直线分为 个部分。这,对我们会有启发。,如果我们把极端情况,有零个分割元素,的情况,也考虑在内，那么被“分割”成的部,分数是,1,。,下图综合列出点分直线、直线分平面、平,面分空间的已取得的结果。,6,类比一般化,（解释记号 ，然后看图）,分割元素,个 数,被分成的部分数,点分直线,直线分平面,平面分空间,0,1,1,1,1,2,2,2,2,3,4,4,3,4,7,8,4,5,15,5,6,于是，我们得到了一系列待解决的问,题。孤立的问题有时难于理解，而,解决系,列问题有时比解决弧立问题好入手,。现,在，原问题“”已处在系列问题之,中，比之原来的情形，求解已有进展。,7,（用类比的观点）猜想,观察上表中已得到的结果，表中的数字间有什么,联系？有什么规律性？,从最右一列，先以为有“,2,的方幂”的规律，但,8,后,边的 表明这个猜想不对。,反复求索的结果，我们可能忽然看到表中有,3 4,；,7 8,7 15,，,以及联想到,3+4=7,，,7+8=15,。,这是一个独特的联系：表中已出现的每个数都可,由它“头上”的数与“左肩”上的数相加而得到。,这是我们解决原问题的钥匙吗？我们,猜想它确是规律。那我们把表按此规律，,顺沿到 ，原问题的解就是？,分割元素,个 数,被分成的部分数,点分直线,直线分平面,平面分空间,0,1,1,1,1,2,2,2,2,3,4,4,3,4,7,8,4,5,（,11,）,15,5,6,（,16,）,（,26,）,类比不是证明,但这种类比不是证明，只是合理的猜,测；还需要分析这一猜测，以便证实这一,猜测，或者否定这一猜测。这才是用类,比、归纳的方法去研究问题的决定性步,骤。,8,分析、推理,我们的分析从,“时直线分平面”,入手，我们,已经通过“顺沿上表,”,猜想：,4,条直线最多把平面,划分为,11,个部分。它是正确的吗？我们在,3,条直线分,平面 为,7,个部分的基础上，再添加一条直线（用红,色），这条直线与原来的每条直线都相交，但又不过,任意两条直线的交点。如右图。我们数一下，现在确,实把平面分成了,11,个部分。所以这猜测是对的，但它,为什么是对的呢？我们再作分析，增加一些理性认,识，也许还能从中找到理解一般情形的线索。,3,条直线分平面为,7,个部分；,4,条直线就分平面为,11,个部分了，即增加了,4,部分；从,3,条直线添一条直,线，为什么分割平面正好多出,4,部分？分析一下：新,添的直线与原来,3,条直线每条都相交，而且交在与原,交点不同的点，这就交出了,3,个新交点，这,3,点把新添,的直线分为,4,段，每一段把它穿过的（由前,3,条直线分,成的）那个区域一分为二，因此“平面分割”增加了,4,个部分，这就是“,4”,的来历，而且这个分析表明，这,个“,4”,也正是,3,点把直线分为,4,部分的“,4”,，也就是“,11”,左肩上的“,4”,。,11=4+7,原来是这样产生的。这种分析,已经是逻辑推理了，令人信服，极大地增强了我们对,所发现的规律的信心。,9,再类比得一般情形的公式,及,我们再类比分析 时平面分空间的情,况。这时我们不容易在平面的黑板上作立体图,了，只能借助于刚才四面体延展的那个图来想,像。但是我们可以,从思维上、语言上类比,刚才,的情形。,我们在,3,个平面分空间为,8,个部分的基础,上，再添加一个平面，这个平面与原来的,3,个,平面都相交，并且又不过原来,3,平面的交点，,从而不过原来任两平面的交线，这就交出了,3,条新直线，这,3,条直线把新添加的平面分为,7,个,部分（就是上面“类比一般化”的大表格中的,“,7”,），每一部分把它穿过的（由前,3,个平面分,成的）区域一分为二，因此“空间分割”增加了,7,个部分，而原有,8,个部分，这就是,15=7+8,的来,历。,这里的 到 的过渡，并没有任何特殊,的地方，我们可以完全类似地分析由 向 过渡时,发生的情况，得到一般的表达式。,与段落“,8,”,类似地可以得到公式：,与段落“,9,”,类似地可以得到公式：,这两个公式都是递推公式。这种递推公式与斐波,那契数列的递推公式有区别，但思想精神是相通的。,我们只再叙述一遍较为复杂的,公式,得到的过程,。它实际上只要在上面的叙述中，,把“,3,个平面”换为“个平面”，把“,8,个部分”,换为“个部分”，把“,3,条新直线”换为,“条新直线”，把“,7,个部分”换为“个,部分”，把“,15”,换为“”就完成了。,简单说，是在“上上屏”的叙述中，做下边的,代换：，,，,，,。,个平面把空间最多分为 个部分，求 ，,不厌其繁地详细说一遍，就是：,我们在 个平面分空间为 个部分的基,础上，再添加一个平面，这个平面与原来的 个,平面都相交，并且又不过原来任,3,个平面的交点，从,而不过原来任两平面的交线，这就交出了 条新直,线，这 条直线把新添的平面分为 个部,分，每一部分把它穿过的（由前 个平面分成的）,区域一分为二，因此，“空间分割”增加了 个,部分，而原有 个部分，所以现在，空间共被分,割成的“部分数”是 。,这就是推出这一公式的逻辑推理过程。,10,推出显公式 及,上边得到的还只是递推公式、关系公式，我,们希望进一步得到像 那样的、关于 及 的显公式，即直接用 的解析式来,表达 及 。,下边的技巧是常用的。,1,）直线分平面的情形,2,）平面分空间的情形,