信号与系统课件--第七章 有限长单位脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计方法.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,引言,7.1 线性相位,FIR,滤波器的特点,7.2 窗函数设计,7.3 频率抽样设计法,7.4,IIR,与,FIR,滤波器的比较,本章小结,第七章 有限长单位脉冲响应（,FIR）,数字滤波器的设计方法,引言,IIR,数字滤波器的特点：,1、优点在于可以利用,AF,设计的现成成果，较简单、方便,2、但它不是线性相位,3、,H(z),为有理分式,FIR,数字滤波器的特点：,1、容易获得严格的,线性相位,，（同时可以有任意的幅度特性）,2、单位脉冲响应有限长，滤波器一定是,稳定,的,（全零点型）,3、总是,可实现的,（任何非因果有限长序列，经延时可成,因果性,）,4、运算量化噪声可作得很小，可用,FFT,高效运算,5、为了得到好的衰减特性，,FIR,的,H(z),的阶次比,IIR,要高,H(z),为 的多项式,FIR,数字滤波器的 ，设计方法有：,1、直接近似法-窗函数法,2、频率抽样法、等波纹逼近法,7.1 线性相位,FIR,滤波器的特点,一，实现线性相位的条件,n,0,N-1,(,a),0,N-1,n,(b),n,0,(c),0,n,(d),N,为奇数,N,为偶数,思考：对于一个多项式,H(z),，如何判断它的线性相位特性？,或 奇对称,偶对称,因果,FIR,系统满足线性相位的充要条件：,h(n),为长度,N,的实序列，并满足：,先看,h,(,n,),偶对称的情况,:,h,(,n,)=,h,(,N,-1-,n,),0,n,N,-1,将,m,=,N,-1-,n,代入,其系统函数为,即,上式改写成,滤波器的频率响应为,我们可以看到，上式的,以内全部是标量，如果我们将频率响应用相位函数,(,),及,幅度函数,H,(,),表示,那么有：,上式的幅度函数,H,(,),是标量函数，可以包括正值、负值和零，而且是,的偶对称函数和周期函数,;,而,|,H,(,e,j,)|,取值大于等于零,两者在某些,值上相位相差,。相位函数,(,),具有严格的线性相位，如图所示。,图,h,(,n,),偶对称时线性相位特性,数字滤波器的群延迟,(,),定义为,式中，,grd,(group,delay),为群延迟函数。由上式可知，当,h,(,n,),满足偶对称时，,FIR,数字滤波器具有,(,N,-1)/2,个采样的延时，它等于单位脉冲响应,h,(,n,),长度的一半。也就是说，,FIR,数字滤波器的输出响应整体相对于输入延时了,(,N,-,1)/2,个采样周期。,1,、h(n),偶对称,线性相位,二，线性相位的特点,2,、h(n),奇对称,可见，相位函数,()-都是严格的线性相位关系,：,1、h(n),偶对称时,滤波器有(,N-1)/2,个采样间隔的延时,2、h(n),奇对称时,滤波器有(,N-1)/2,个采样间隔的延时，它还是理想的正交变换网络，称为90,o,移相器,三，幅度函数的特点,h(n),实序列 有：,若,则,对线性相位,FIR,，更有：,若,则,四，线性相位,FIR,的零点,1,，一般：四个零点为一组,4个,零点（镜像、共轭）：,2,，特例：,（1）两个实零点：,（2）单位圆上的两个纯虚数：,zj,和,z=j,（3）一个单独零点：,z=1,或,z=1,7.2 窗函数设计法,一，窗函数法基本思想,1、设计目的,在于,FIR,中寻找一个,希望特性,去逼近,一般 是逐段恒定的，且边界不连续其对应的,往往是无限长，而且是非因果的,是有限长,而,2、设计方法,去近似,即，令 使,例,：（希望）理想低通、线性相位,如何用,如何在时域里选取,h(n),去近似代替?最简单方法是：,无限长、非因果的,显然，这样的,h(n),满足线性相位条件：,令,可写作,Gibbs,效应,：由于加窗截断引起了,通带和阻带内的波动,。,而,其中,一般,最终使,二、矩形窗法,其幅频特性,其中,如上面,LP，,对 用矩形窗截取后，有：,频带边界形成过渡区（取决于窗的主瓣）,可见，加窗后偏离了理想特性 ：,过渡区两边产生肩峰和余振（取决于窗的旁瓣）,增加,N,：,可缩小主瓣宽度，使过渡区变窄；却不能改变旁瓣振幅，矩形窗最大肩峰总是8.95%，所以,并不能有效减少,Gibbs,效应,。,为此，寻找窗函数来减少,Gibbs,效应：,尽量窄的主瓣宽度（将能量尽可能地集中在主瓣内）,力求尽量低矮的旁瓣高度（在,趋近于,时，能量迅速趋于零）,三，各种窗函数,(,a),矩形窗,(b),三角形窗(,Bartleet,),巴特列特窗,-13,dB,-26,dB,(c),升余弦窗(,Hanning,),汉宁窗,(d),改进的升余弦窗(,Hamming),海明窗,-31,dB,-41,dB,(e),二阶升余弦窗(,Blackman),布拉克曼窗,(f),凯泽窗(,Kaiser),可以自由调节参数，来改变窗函数的形状,以 为中心呈偶对称，,-57,dB,(,a),矩形窗,(b),三角形窗,(c),汉宁窗,(e),布拉克曼窗,(f),凯泽窗,(d),海明窗,过渡带宽,(,主瓣宽),旁瓣峰值,(,dB),阻带最小,衰减(,dB),-25,-13,-31,-41,-25,-57,-57,-21,-53,-44,-74,-80,教材,P209,表7.2.2 六种窗函数的基本参数,对加窗后的,Filter,而言,窗函数,汉宁,海明,布拉克曼,三角形,矩形,可见：1、窗函数（时域）宽度变小,将使窗谱主瓣变宽 旁瓣肩峰、余振变小 （过渡区变宽）,2、窗函数（时域）曲线,缓慢,下降,有利于旁瓣变矮小,四，窗函数法设计步骤,1，,给定所要求的,2，,先求得,或者使用计算机：在给定,当,M,很大时，有,频域抽样导致时域序列周期(,M),延拓:,3，,由,过渡区宽度,以及,阻带最小衰减,的要求，选定窗函数的形状，并估计,N,值，一般,N,要试探几次最后确定。,一般,4，,求得所设计的,FIR,的,5，,求得,（还应验算是否满足设计要求，不行时则,改变,N,或,变换窗函数,）,其中,A,与窗函数有关，如矩形窗的,A=4,例,1,用矩形窗设计一个线性相位带通滤波器,-,c,-,0,c,0,-,c,0,+,c,（,1,）设计,N,为奇数时的,h,(,n,),。,（,2,）,设计,N,为偶数时的,h,(,n,),。,（,3,）,若改用海明窗设计，求以上两种形式的,h(n),表达式。,五 举例,解,根据该线性相位带通滤波器的相位,可知该滤波器只能是,h,(,n,)=,h,(,N,-1-,n,),即,h,(,n,),偶对称的情况，,h,(,n,),偶对称时，可为第一,类和第二类滤波器，其频响,（,1,）当,N,为奇数时，,h,(,n,)=,h,(,N,-1-,n,),，,可知,H,(,e,j,),为第一类线性相位滤波器，,H,(,),关于,=0,2,有偶对称结构。题目中仅给出了,H,d,(,e,j,),在,0,上的取值，但用傅里叶反变换求,h,d,(,n,),时，需要,H,d,(,e,j,),在一个周期,-,或,0,2,上的值，因此,H,d,(,e,j,),需根据第一类线性相位滤波器的要求进行扩展，扩展结果为,0,-,c,0,+,c,-,0,-,c,-,0,+,c,-,0,+,c,0,-,c,-,0,-,c,0,+,c,则,h,(,n,)=,h,d,(,n,),R,(,n,),(2),N,为偶数时，,H,(,e,j,),为第二类线性相位滤波器，,H,(,),关于,=0,呈偶对称。所以,H,d,(,e,j,),在,-,之间的扩展同上，则,h,d,(,n,),也同上，即,:,(3),若改用海明窗,则,N,为奇数时,N,为偶数时,上面两个表达式形式虽然完全一样，但由于,N,为奇数时，对称中心点,=(,N,-1)/2,为整数，,N,为偶数时，,为非整数，因此,N,在奇数和偶数情况下，滤波器的单位脉冲响应的对,称中心不同，在,0,n,N,-1,上的取值也完全不同。,例,2,根据下列技术指标，设计一个,FIR,低通滤波器。,通带截止频率,p,=0.2,，,通带允许波动,A,p,=0.25dB,；,阻带截止频率,s,=0.3,，,阻带衰减,A,s,=50dB,。,解,查表可知，海明窗和布拉克曼窗均可提供大于,50,dB,的衰减。但海明窗具有较小的过渡带从而具有较小的长度,N,。,根据题意，所要设计的滤波器的过渡带为,由表可知，利用海明窗设计的滤波器的过渡带宽,=8/N,，,所以低,通滤波器单位脉冲响应的长度为,3,dB,通带截止频率为,理想低通滤波器的单位脉冲响应为,海明窗为,则所设计的滤波器的单位脉冲响应为,N,=80,所设计的滤波器的频率响应为,利用计算机编程实现，结果如图所示。图（,a,）,是理想低通滤波器的单位脉冲响应,h,d,(,n,);,图,(,b),是海明窗函数,;,图,(,c),是实际低通滤波器的单位脉冲响应,h,(,n,);,图,(,d),是实际低通滤波器的幅频特性,|,H,(,e,j,)|,，以,dB,为单位。滤波器长,N,=80,，,实际阻带衰减为,A,s,=53dB,，,通带波动为,A,p,=0.0316 dB,，,均,满足设计要求。,图 例,2,中低通滤波器设计结果,7.3 频率抽样设计法,一、基本思想方法,窗函数法-从时域开始去设计,频率抽样法-直接从频域去设计,有限长,代替,无限长,代替,有限多点,无限多点,逼近,力求,插值恢复,F,变换,重要的是窗函数,重要的是插值函数,二、频率抽样设计法,1，由 抽样得到,N,个,H(k),值,2，由,N,个,H(k),唯一确定有限长的,h(n),3，由,H(k),值按插值公式恢复,内插结果,平坦段：误差不大,突变段：误差很大,过渡采样点,例,3,利用频率采样法，设计一个线性相位低通,FIR,数字滤波器，其理想频率特性是矩形的,0,c,其他,已知,c,=0.5,，,采样点数为奇数,N,=33,。,试求各采样点的幅值,H,k,及相位,k,，,也即求采样值,H,(,k,),。,解,N,=33,且低通滤波器幅度特性,H,(0)=1,。可知，这属于第一类线性相位滤波器。第一类线性相位滤波器的幅度特性,H,(,),关于,=,为偶对称，即,且有：,则,H,k,满足偶对称特性，因而有：,0,k,32,又,故,0,k,8,25,k,32,9,k,24,0,k,32,频率采样法的优点是可以在频域直接设计，并且适合最优化设计,;,缺点是采样频率只能等于,2,/,N,的整数倍，因而不能确保截止频率,c,的自由取值，要想实现自由地选择截止频,率，必须增加采样点数,N,，,但这又使计算量加大。,三、频率抽样设计法特点：,可以从频域直接处理，且适合最优化设计,但截止频率只能为,/N,的整数倍，不能自由取值,进一步，如设置两个不同高度的过渡点有可能得到更好的逼近特性,H1=0.5 28dB,H1=0.394 45dB,H1=0 20dB,H(k),在突变处设置,过渡点,，会增大阻带最小衰减，减小通带边缘的起伏振荡,设计一个 的理想低通滤波器,四、线性相位的约束(对照,P199,表,7.1.1),1、第一类线性相位,FIRh(n,),偶对称，,N,奇数,2、第二类线性相位,FIRh(n,),偶对称，,N,偶数,其抽样值,4、第四类线性相位,FIRh(n,),奇对称，,N,偶数,3、第三类线性相位,FIRh(n,),奇对称，,N,奇数,小结：,IIR,与,FIR,滤波器的比较,性能特长,设计方法,稳定性,运算速度,FIR,滤 波 器,IIR,滤 波 器,总体结构,较简单、经济（由于递归结构，相同技术指标下，可以较少阶数实现）,可以实现严格的线性相位,做不到线性相位,即使在有限精度的运算中，也都是稳定的,在有限精度的运算中，有可能不稳定,可以用,FFT，,加快速度,借助模拟域成果，计算工具要求可低,一般需借助计算机,设计工具,着眼于瞬态特性时：脉冲响应不变法、阶跃响应不变法,一般用双线性变换法,结合着应用频率变换法,窗函数法较简单,频率抽样法 （适用窄带）,等波纹逼近法,都有最优化设计课题,设计范围,规格化的低通、高通、带通、带阻、全通。片断常数特性,灵活多样，可适应各种幅度、相位特性要求。,阶数比较高，成本大。,非递归结构,