概率论 非常好的课件 考试必备 李念伟第四章 数理统计.ppt

第,4,章 参数估计与假设检验,从历史的典籍中，人们不难发现许多关于钱粮、户口、地震、水灾等等的记载，说明人们很早就开始了统计的工作,.,但是当时的统计，只是对有关事实的简单记录和整理，而没有在一定理论的指导下，作出超越这些数据范围之外的推断,.,到了十九世纪末二十世纪初，随着近代数学和概率论的发展，才真正诞生了数理统计学这门学科,.,本章转入课程的第二部分,数理统计,数理统计学是研究收集数据、分析数据并据此对所研究的问题作出一定的结论的科学,.,计算机的诞生与发展，为数据处理提供了强有力的技术支持，数理统计与计算机的结合促进了数理统计学的发展,.,数理统计学所考察的数据都带有随机性,(,偶,然性,),的误差,.,这给根据这种数据所作出的结论,带来了一种不确定性,.,对数据的分析处理要借助,于概率论方法和计算机的计算,.,数理统计不同于一般的资料统计，它更侧重于应用随机现象本身的规律性进行资料的收集、整理和分析,.,数理统计学是一门应用性很强的学科,.,它是研究怎样以,有效的方式收集、整理和分析带有随机性的数据,，以便对所考察的问题作出推断和预测，直至为采取一定的决策和行动提供依据和建议,.,4.1,数理统计基础与抽样分布,由于大量随机现象必然呈现出它的规律性，因而从理论上讲，只要对随机现象进行足够多,次观察，被研究的随机现象的规律性一定能清,楚地呈现出来,.,但客观上我们对随机现象的观察试验次数是有限的，也就是说,我们获得的只是局部观察资料,.,数据又不能包括研究对象的全部信息,.,因而由此获得的结论必然包含不确定性,.,例：某种子公司，栽种了几种类别的,鲜花，收获了大量的花籽，并承诺花,籽的发芽率为,88%,，,并把,每,25,粒花籽,包成一小包出售,.,一个零售商批发了,若干包，并向顾客保证：在每包,25,粒花籽中至少有,22,粒,(88%),将能发芽，否则的话可免费调换另一包,.,每包要多于,3,粒不发芽，马上免费退换！,发芽率确实,如此吗？,这种类型的不确定性，是由于对总体的真实状态（天然状态）不知情所引起的不确定性,.,零售商面临如下两种类型的不确定性：,(1),他对种子公司出售的花籽中发芽率,P,A,是不确定的,.,这是第一类不确定性,.,(2),若种子公司出售的花籽共有一百万包，而零,售商只购买了,200,包,.,哪些包是可,接受呢？,从中购买,200,包,共,100,万包,由此他又面临着另一类不确定性；,零售商购买的,200,包仍有可能“碰巧”是从不可接受的一万包中选取的,.,即使,P,B,是,0.99,，那么种子公司出售的一百万包中也只有,99,万包是可接受的,.,这样他就要损失一笔资金,.,这就是即使可以认定发芽率确为,88%,，但一百万包中可接受的比例,P,B,仍旧没有“把握”,.,即对他所购买的,200,包中能保证发芽率为,88%,的包数不能确定,.,这一类不确定性是由于“随机性”所引起的,.,在已知,P,A,的条件下，这种不确定性的程度已在概率论部分作过讨论,.,下面我们回到第一类不确定性：,零售商对种子公司出售的花籽的发芽率不,知情,.,零售商只能够根据试验的方法（请公司进行发芽试验）来得到第一手资料,.,即抽取部分种籽进行发芽试验，通过这部,分花籽中发芽数所占比例,(,频率,),来对,P,A,的真值,进行推断,.,由此也可以说，概率论是数理统计的基础，而数理统计是概率论的重要应用,.,但它们是并列的两个学科，并无从属关系,.,在数理统计中必然要用到概率论的理论和方法,.,因为随机抽样的结果带有随机性，不能不把它当作随机现象来处理,.,统计方法具有,“,部分推断整体,”,的特征,.,需要强调说明一点：,因为我们是从一小部分样本观察值去推断该全体对象（总体）情况，即由部分推断全体,.,这里使用的推理方法是,“,不完全归纳推理,”,.,这种,归纳推理,不同于数学中的“演绎推理”,.,它在作出结论时，是根据所观察到的大量个别情况，“,归纳,”起来得出来的，而不是从一些假设、命题、已知的事实等出发，按一定的逻辑推理去得出来的,.,现在要问：从局部观察要对总体下结论有没有片面性呢？结论是否可靠？,这里不仅依赖于“进行局部观察的样本是否具有总体的代表性”，也依赖于“对从这些样本得到数据的合理加工、分析并得出论断”,.,因此“从局部观察对总体下的结论”有一定的片面性，但如果能通过科学的方法很好处理上述两个问题，所作出的结论是具有很大的可信度的,.,第一个问题是怎样进行抽样，使抽得的样本更合理,具有更好的代表性？这是,抽样方法和试验设计,问题，即进行,随机抽样,.,第二个问题是怎样从取得的样本去推断总体？这种推断具有多大的可靠性？,这是,统计推断,问题,.,本课程着重讨论第二个问题,即最常用统计推断方法,.,对于第一个问题只作简单介绍,.,合理的抽样,1,.,随机性：,使总体中每个个体抽到的机会均等,.,2,.,独立性：,每次抽样的结果不互相影响,.,随机抽样分类；,1,简单随机抽样：在总体中直接抽取样本,.,分层随机抽样：将总体分类，在不同类中分别抽,取样本,3,整群随机抽样：将总体分“块”，将每一块作为,一个个体；整块抽样,4,多阶随机抽样：先作整群随机抽样，在抽取得,“群体”中再随机抽样,.,5,系统随机抽样：,(,等距抽样,),将总体随机排序编号，按一定的步长抽样,.,对于每个经过科学、合理选取的样本，它都具有两重性：,一方面它具有特殊性，因为它毕竟是个别观察值，不能反映总体的全面性质，具有片面性,.,另一方面也要看到“普遍性即存在于特殊性之中”，即每个样本的情况又必然反映总体的一些普遍性,.,每一事物内部不但包括了矛盾的特殊性，而且包含了矛盾的普遍性，普遍性即存在于特殊性之中,.,毛泽东,矛盾论,在这个基础上再加上科学的推断方法，对总体下的结论是可信的,.,当样本有一定数量时，总体的普遍性是可以得到比较真实的反映的,.,因而统计上往往采用由多次抽取的样本来下结论,.,但此时必须明确，我们毕竟是由“,局部,”推断,“,整体,”，因而仍可能犯错误，这种矛盾的特殊性与普遍性的辩证统一在统计学中贯穿始终，是我们应该记住的基本思想,.,一个统计问题总有它明确的研究对象,.,4.1.1,总体与个体,总体中每个成员称为,个体,.,4.1,总体与样本,在实际问题中，人们关心的仅仅是研究对,象的一项,(,或几项,),特征指标，这些特征指标的,全体就称为,总体,.,某批,灯泡的寿命,该批灯泡寿命的全体就是总体,国产轿车每公里,的耗油量,国产轿车每公里耗油量的全体就是总体,为推断总体的特征特征，需按一定规则从总体中抽取若干个体进行观测试验，以获得有关总体的信息，这一抽取过程称为,“,抽样,”,，所抽取的部分个体称为,样本,.,样本中所包含的个体数目称为,样本容量,.,4.1.2,样本,从国产轿车中抽,5,辆进行耗油量试验,样本容量为,5.,由于抽到的个体带有随机性，所以相应的特征指标也带有随机性,.,从而可以把这种特征指标看作一个随机变量，因此该随机变量的分布就是特征指标在总体中的分布,.,这样，,总体就可以用一个随机变量及其分布来描述,.,记总体为,X,.,一旦取定一个样本，就得到的是,n,个具体的数,x,1,x,2,x,n,，称为样本的一次观测值，简称,样本值,记作,(,x,1,x,2,x,n,),.,容量为,n,的样本就是与总体同分布的,n,个随机变量，记作,X,1,X,2,X,n,.,2.,独立性,：,X,1,X,2,X,n,是相互独立的随机变量,.,由于抽样的目的是为了对总体进行统计推断，为使抽取的样本能很好地反映总体的信息，所以样本必须满足：,代表性,：,X,1,X,2,X,n,中每一个,X,i,与所考察的总体,X,有相同的分布,.,这样的样本称为,简单随机样本,.,它与总体分布相同且相互独立,.,数理统计就是从抽取的样本所获得的信息去推断总体的信息,-,总体分布的性质,.,由样本去推断总体情况，需要对样本进行“加,工”，需要构造一些样本的函数，把样本中所含的,(,某方面,),信息集中起来,.,4.2,统计量及其分布,4.2.1,统计量与枢轴量,定义：设 是取自总体,X,的一个样本，,若样本函数,g,(),中不包含任何未知参,数，则称,g,(),为,统计量,若 是样本的一组观测值，则称,为,统计值,.,定义 设,X,1,X,2,X,n,是取自总体,X,的一个样本,h,(,X,1,X,2,X,n,;,),样本函数，,其中,为未知参,数，,若,h,的分布已知，则,h,(,X,1,X,2,X,n,;,),称,为,枢轴量,.,定义 设,0,1,对随机变量,X,，,称满足,的点 为,X,的概率分布的,上侧分位数,.,故有,4.2.2,样本均值与样本方差,样本均值,样本方差,它反映了总体,均值的信息,它反映了总体,方差的信息,未修正的样本方差,样本,K,阶原点矩,样本,K,阶中心矩,k,=1,2,它反映了总体,K,阶矩,的信息,它反映了总体,K,阶,中心矩的信息,k,=1,2,4.2.3,样本矩,4.3,抽样分布,统计量既然是样本的函数，而样本又是随机变量，故统计量也是随机变量，因而具有概率分布，这个分布称为,统计量的,“抽样分布”,.,抽样分布就是通常的随机变量函数的分布,.,这一分布取决于统计量的形式,.,研究统计量的性质和评价一个统计推断的优良性，完全取决于其抽样分布的性质,.,解,由,X,i,N,(2,4),例,1,设 是取自正态总体,N,(2,4),的样本,求 的分布,.,引理,若,X,i,N,(,i,i,2,),(,i=,1,2,.n,),且,X,1,X,2,.,X,n,相互独立,实数,a,1,a,2,.,a,n,不全为零,则,定义 设,0,1,对随机变量,X,，,称满足,的点 为,X,的概率分布的,上侧分位数,.,故有,4.3.1,标准正态,分布的分位数,例如,:,设,X,服从标准正态分布，,为上侧分位数，则有,设 为标准正态分布的上侧分位数，即,4.3.2,分布,注：“自由度”是指能够自由取值的变量的个数,.,1,X,1,X,2,X,k,独立,X,i,(,n,i,),(,i,=,1,2,k,),则,(2),性质,:,2,若,X,(,n,),则有,EX=n,DX=,2,n,(1,),定义,:,称,n,个相互独立同,标准正态分布,的随机变量,的平方和,的分布为,n,个,自由度的 分布,记作,(3),的,密度曲线,随着,n,的增大,密度曲线逐渐趋于平缓,对称,.,(,n,=1),(,n,=10),x,f,(,x,),例如,:,自由度为,n,的 分布的上侧分位数,f,(,x,),O,x,x,f,(,x,),/,2,/,2,对于,分布，,其密度函数,“,不对称,”,.,若取上侧分位数 ，得到,此时称 为“概率对称”的分位数,.,解,(1),(2),由题意得,例,2,(1),设 是来自总体 的样本,则 服从,(),分布,.,(2),设 是取自总体,N,(0,4),的样本,服从,(),分布,.,即,故服从,4.3.3,t,分布,设随机变量,随机变量,且,它们互相独立,则称随机变量 为,n,个,自由度,的,t,分布,记作,(1),定义,(2),性质,:,1,当,T,t,(,n,),时，,2,当,n,充分大,时，,t,分布近似于标准正态分布,.,(3),t,分布的,密度曲线,:,f,(,x,),x,0,设,X,服从,t,分布，为上侧分位数，,设 为,t,分布的上侧分位数，,即,解:,且,所以,例,3,设随机变量,X,服从正态分布 ，,是自总体,X,的样本,则下列统计量服从,(),分布,.,与 独立,由,证明,:,Zt,(3),证,：,则,即,例,4,设 是来总体,的样本,又,即,则,4.3.4,F,分布,(1),定义,设随机变量 随机变量 且它们相互独立,则称随机变量 的分布为自由度是 的,F,分布,.,记作,其中,n,1,称为第一自由度，,n,2,称为第二自由度,(2),性质,:,(3),F,分布的,密度曲线,(1,10),(,10),z,f,(,z,),(10,10),F,分布分位数的转换,自由度为,n,1,n,2,的,F,分布上侧分位数,例如,:,f,(,x,),O,x,定理,1 (,样本均值的分布,),4.3.5,正态总体的抽样分布,设,X,1,X,2,X,n,是取自正态总体,的样本，则有,即,定理,2 (,样本方差的分布,),设,X,1,X,2,X,n,是取自正态总体,的样本,分别为样本均值和样本方差,则有,定理,3,设,X,1,X,2,X,n,是取自正态总体,的样本,分别为样本均值和样本方差,则有,则服从自由度为,n,-,1,的,t,分布的随机变量是,(),例,5,设 是取自总体 的样本，,记,解,：,(A),定理,4(,两正态总体均值差的分布,),分别是这两个样本的样本,且,X,与,Y,独立,X,1,X,2,是取自,X,的样本,取自,Y,的样本,分别是这两个样本的样本方差,均值,则有,Y,1,Y,2,是,又,即,故,证,：由已知有,定理,5(,两正态总体方差比的分布,),分别是这两个样本的,且,X,Y,独立,X,1,X,2,是取自,X,的样本,取自,Y,的样本,分别是这两个样本的样本方差,均值，,则有,Y,1,Y,2,是,样本,