控制系统的数学模例题精解.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,控制系统的数学模型,例题精解,例题精解,例,2.1,弹簧阻尼,器,串并联系统如图,2.2,所示，系统为无质量模型，试建立系,统的运动方程。,解,：,（,1,）设输入为 ，输出为 ，弹簧与阻尼器并联平行移动。,（,2,）列写原始方程式。由于无质量，按受力平衡方程，各受力点任何时刻均满足,F=0,，,则对于,A,点有,y,r,y,0,其中，,F,阻尼摩擦力；,F,K1,，,F,K2,为弹性恢复力。,（,3,）写中间变量关系式,图,2.1,机械位移系统,K,1,K,2,A,y,r,y,0,（,4,）消中间变量得,（,5,）化标准型,式中，,为,时间常数，单位（秒）；,为传递,系数，无量纲。,例,2.2,已知单摆系统的运动如图,2.2,所示。,（,1,）写出运动方程式；,（,2,）求取线性化方程。,解,：,（,1,）设输入外作用力为零，输出为摆 角,，,摆球质量为,m,。,（,2,）,由牛顿定律写原始方程,式,中，,l,为摆长；,l,运动弧长；,h,为空气阻力。,（,3,）写中间变量关系式,式中，,为空气阻力系数；,l,d,d t,为,运动线速度。,mg,l,h,图,2.2,单摆运动,l,（,4,）消中间变量得运动方程式,此,方程为二阶非线性齐次方程。,（,5,）线性化。在,=,0,附近，非线性函数,sin,，,故代入,上式可得线性化方程为,例,2.3,已知机械旋转系统如图,2.3,所示，试列出系统运动方程。,f,J,M,图,2.3,机械旋转系统,解：,（,1,）设输入量为作用力矩,M,，,输出为旋转角速度,。,（,2,）,列写运动方程式,式,中，,f,为,阻尼力矩，其大小与转速成正比。,（,3,）整理成标准形为,此为,一阶线性微分方程，若输出变量改为,，,则由于,=,d,d,t,，,代入方程得,二阶,线性微分方程式,例,2.4,设有一个倒立摆安装在马达传动车上，如图,2.4,所示。倒立摆不是稳定的，如果没有适当的控制力作用在它上面，它将随时可能向任何方向倾倒。这里只考虑二维问题，即认为倒立摆只在图,2.5,所示平面内运动。控制力,u,作用于小车上。假设摆杆的重心位于其几何中心,A,。,试求该系统的运动方程式。,解：,（,1,）设输入作用力为,u,，,输出为摆角,。,（,2,）,写原始方程式。设摆杆中心,A,的坐标为 ，于是,画出系统隔离体受力图如图,2.5,所示。,o,u,图,2.5,隔离体受力图,y,M,x,l,l,A,mg,V,V,H,H,l,cos,o,图,2.4,倒立摆系统,y,u,x,mg,l,l,P,M,A,式中，,J,为摆杆围绕重心,A,的转动惯量。,摆杆重心,A,沿,x,轴方向运动方程为,摆杆重心,A,沿,y,轴方向运动方程为,即,（2.1）,（2.2）,即,摆杆围绕中心,A,点转动方程为,小车沿,x,轴方向运动方程式为,（2.3）,（2.4）,方程（,2.1,）,（,2.4,）为车载倒立摆系统运动方程组。因为还有,sin,和,c o s,项，所以为非线性微分方程组。中间变量不易相消。,（,3,）当,很小时，可对方程组线性化，由例,2.2,可知,sin,，,同理可得到,c o s,1,。,则方程式,（,2.1,）,（,2.4,）可用线性化方程表示为,用,的,算子符号将以上方程组写成代数形式，消掉中间变量,V,、,H,、,x,得,将,微分算子还原后得,此为二阶,线性化偏量微分方程。,例,2.5,RC,无源网络电路图如图,2.6,所示，试采用复数阻抗法画出系统结构图，并求传递函数,U,c2,（,s,）,/U,r,（,s,）。,u,r,u,c,2,R,1,R,2,i,1,i,2,C,1,C,2,图,2.6 RC,无源网络,解：,在线性电路的计算中，引入了复阻抗的概念，则电压、电流、复阻抗之间的关系满足广义的欧姆定律。即,如果二端元件是电阻,R,、,电容,C,或电感,L,，,则复阻抗,Z,（,s,）,分别是,R,、,1/C,s,或,L,s,。,（,1,）用复阻抗写电路方程式：,（,2,）将以上,4,式用方框图表示，并相互连接即得,RC,网络结构图，见图,2.7,（,a,）、（,b,）。,（,3,）,用结构图化简法求传递函数的过程见图,2.7,（,c,）、（,d,）、（,e,）。,（,4,）,用梅逊公式直接由图,2.7,（,b,）,写出传递函数,U,c2,（,s,）,/U,r,（,s,）。,独立回路有三个：,回路相互不接触的情况只有,L,1,和,L,2,两个回路。则,由上可,写出特征式为,前向通路只有一条,由于,P,1,与所有回路,L,1,，,L,2,，,L,3,都有,公共支路，属于相互有接触，则余子式为,代入梅逊公式得传递函数,图2.7（a）,+,+,+,+,+,+,图2.7（c）,+,+,+,图2.7（b）,+,图2.7（d）,图2.7（e）,例,2.6,有源网络如图,2.8,所示，试用复阻抗法求网络传递函数，并根据求得的结果，直接用于图,2.9,所示,PI,调节器，写出传递函数。,解：,图,2.8,中,Z i,和,Z,f,表示运算放大器外部电路中输入支路和反馈支路复阻抗，,A,点为虚地，即,U,A,0,，,运算放大器输入阻抗很大，可略去输入电流，于是,I,1,=I,2,则有,故,传递函数为,对于由运算放大器构成的调节器，上式可看作计算传递函数的一般公式。对于图,2.9,所示,PI,调节器，有,故,+,Z,f,Z i,i,1,i,2,u,i,u,c,图,2.8,有源网络,u,c,+,u,i,R,1,R,2,C,图,2.9 PI,调节器,例,2.7,求下列微分方程的时域解,x,（,t,）。,已知,（,0,）,=0,，,（,0,）,=3,。,.,解：,对方程两端取拉氏变换为,代入初始条件得到,解出,X,（,s,）,为,反,变换得时域解为,例,2.8,已知系统结构图如图,2.10,所示，试用化简法求传递函数,C,（,s,）,/,R,（,s,）。,解：,（,1,）首先将含有,G,2,的前向通路上的分支前移，移到下面的回环之外。如图,2.11,（,a,）,所示。,（,2,）将反馈环和并联部分用代数法则化简，得图,2.11,（,b,）。,（,3,）,最后将两个方框串联想乘得图,2.11,（,c,）。,G,1,G,2,H,+,+,+,+,C,（s）,R（s）,图,2.10,系统结构图,G,1,H,+,+,+,G,2,G,1,R（s）,C,（s）,(a),G,1,1+G,1,H,1+,G,2,G,1,R（s）,C,（s）,(b),G,1,+G,2,1+G,1,H,R（s）,C,（s）,(c),图,2.11,系统结构图的简化,例,2.9,已知系统结构图如图,2.12,所示，试用化简法求传递函数,C,（,s,）,/,R,（,s,）。,G,1,G,2,+,+,+,+,R（s）,C,（s）,图,2.12,系统结构图,解：,（,1,）将两条前馈通路分开，改画成图,2.13,（,a,）,的形式。,（,2,）将小前馈并联支路相加，得图,2.13,（,b,）。,（,3,）,先用串联公式，再用并联公式将支路化简为图,2.13,（,c,）。,+,+,+,+,G,1,G,2,（,a,）,+,+,G,2,G,1,+1,R（s）,R（s）,C,（s）,C,（s）,G,1,G,2,+G,2,+1,R（s）,C,（s）,（,b,）,（,c,）,图,2.13,系统结构图化简,例,2.10,已知机械系统如图,2.14,（,a,）,所示，电气系统如图,2.14,（,b,）,所示，试画出系统结构图，并求出传递函数，证明它们是相似系统。,i,y,0,F,1,F,F,2,1,2,k,1,k,2,（,a,）,R,1,R,2,i,i,1,i,2,e,i,e,0,（,b,）,C,1,C,2,图,2.14,系统结构图,（,a,）,机械系统（,b,）,电气系统,解：,（,1,）列写图,2.14,（,a,）,所示机械系统的运动方程，遵循以下原则：并联元件的合力等于两元件上的力相加，平行移动，位移相同。串联元件各元件受力相同，总位移等于各元件相对位移之和。,微分方程组为：,取,拉氏变换，并整理成因果关系有：,画,结构图如图,2.15,。,+,+,+,+,+,s,1,1,s,2,k,1,1,k,2,i,0,0,F,Y,图,2.15,机械系统结构图,求,传递函数为：,(2),列写图,2.14,（,b,）,所示电气系统的运动方程，按电路理论，所遵循的定律与机械系统相似，即并联元件总电流等于两元件电流之和，电压相等。串联元件电流相等，总电压等于各元件分电压之和。可见，电压与位移互为相似量，电流与力互为相似量。,运动方程可直接用复阻抗写出：,整理成因果关系：,画,结构图如图,2.16,所示。,+,+,+,+,+,C s,1,R,2,1,R,2,C,s,2,1,E,i,E,0,I,E,0,E,C,2,图,2.16,电气系统结构图,求传递函数为,对上述两个系统的传递函数，结构图进行比较后可以看出，两个系统是,相似的。机,电系统之间相似量的对应关系见下表。,机械系统,电气系统,i,e,i,0,e,0,y,e,C,2,F,i,F,1,i,1,F,2,i,2,k,1,1/,R,1,1/,k,2,R,2,1,2,C,1,C,2,例,2.11,RC,网络如图,2.17,所示，其中,u,1,为网络输入量，,u,2,为网络输出量。,（,1,）画出网络结构图；,（,2,）求传递函数,U,2,（,s,）,/,U,1,（,s,）。,解：,（,1,）用复阻抗写出原始方程组。,输入回路,输出回路,中间回路,（,2,）整理成因果关系式。,由输入回路得,由中间回路得,由输出回路得,即可画出结构图如图,2.18,所示。,u,1,u,2,i,2,i,1,C,1,C,2,R,1,R,2,图,2.17,RC,网络,+,+,+,+,+,R,2,u,1,u,2,I,1,I,2,C,s,1,R C s+,1,2,1,R,1,1,C s,2,1,图,2.18,网络结构图,（,3,）用梅逊公式求出,例,2.12,已知系统的信号流图如图,2.19,所示，试求传递函数,C,（,s,）,/,R,（,s,）。,1,R,C,K,G,1,G,2,G,3,1,1,1,1,-1,-1,-1,-1,图,2.19,信号流图,解：,单独回路,4,个，即，,两个互不接触的回路有,4,组，即，,3,个,互不接触的回路有,1,组，即,于是，得特征式为,从源点,R,到阱节点,C,的前向通路共有,4,条，其各前向通路总增益用,P,K,表示，则,P,K,以及余因子式分别为,因此，传递函数为,