第2章 数学及其思想的应用价值.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,2,章,数学,及其思想的应用,价值,韩龙淑制作,tysyhls,13754894653,数学及其思想的应用价值,教学目的：,体味数学及其思想方法的应用价值；理解数学思想的六次重大突破，从认识论和思想方法的角度体味数学新学科和新思想产生的必要性。,内容要点：,数学的应用价值；从算术到代数，从综合几何到几何代数化，从常量数学到变量数学，从必然数学到或然数学，从明晰数学到模糊数学，从手工证明到机器证明。,教学方法：,启发式讲授、讨论等相结合,教学手段：,多媒体教学,授课时数：,6,课时,数学的应用价值：,数学的实际应用价值,数学的思维熏陶价值,数学对人类的,思维训练所,具有的价值是,数学应用性,的最大体现,思维的结果,形成,思想,2.1,数学的,实际应用,价值,数学的发展除了知识等,量,的积累外，更主要的是,数学思想,的重大,突破,新学科,2.2,数学,思想的重大突破,2.1,数学的实际应用价值,数学发展的抽象程度越来越高，是否和社会实践相脱离呢？恰恰相反，数学在历史上经久不衰地发展下去，其,生命力恰恰在于实际的应用。,2x+3y=10,目前数学已渗透到自然、社会、人文等许多领域。正如马克思所说：,一门科学，只有当其成功地用到数学时才算达到完美的地步。,（一）数学在实际生活中的应用,例,1,：著名的“哥尼斯堡七桥问题”,哥尼斯堡是,18,世纪东普鲁士的一个城市，流经市区的普列格尔的河湾处，有两个小岛和七座桥，如图所示。人们提出了一个有趣的问题：能否在,一次,连续的散步中,不重复,的走过这七座桥？,例,2,：,绳子,自然打结问题,（手不离开绳子的两端）,：,数学中的扭结理论,例,3,：斐波那契数列,澳洲、新西兰动物园火灾，野兔繁殖速度惊人,一个人到集市上买了一对小兔子，,一个月后，这对小兔子长成大兔子，,然后这对大兔子,每过一个月就可生,1,对小兔子,。而每对小兔子也是一个月后长成大兔子，长成大兔子后每过一个月就可生,1,对小兔子，那么此人从市场上买回那对小兔子算起，第,12,个月时,拥有多少对兔子,(,大兔子、小兔子,),。,分析：对前几个月进行实验，观察规律，开始第,1,个月时,1,对，第,2,个月,1+1=2,对，,3,月,3,对，,4,月,5,对，,5,月,8,对，,6,月,13,对，因此,月份,1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12,小兔子,0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89,大兔子,1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144,观察可知，每月小兔子对数等于上月大兔子对数，每月大兔子对数为上月大兔子对数与,小兔子对数之和。,为了纪念兔子繁殖的创始人，人们把数列,1,，,1,，,2,，,3,，,5,，,8,，,13,，,21,，,34,，,55,，,89,，,144,，,233,，,377,称为,斐波那契数列。,有趣的是：,自然界中竟有一些现象与斐波那契数列有关。向日葵的种子盘。雏菊花，它的花心的蜗形小花，有,21,条向右转、,34,条,向左转。据说松果球、菠萝凸起的排列也为,58,和,813,。,目前此数列在数学、物理、化学和生物学中经常出现，它又具有很奇特的数学性质，所以美国数学会每三个月出版一本专门讨论此类问题的杂志，,称为斐波那契季刊。,花坛的种植问题,在一块正方形空地上种植花草，使花草面积为,正方形面积的一半,，如何种使花坛近尽,可能美观,？,数学在生活中的应用：密铺,（二）数学在生产技术中的应用,例：莫比乌斯带的运用,（演示直观图和模型）,是一种,拓扑学,结构,，它只有一个面（表面），和一个边界。,（二）数学在生产技术中的应用,数学在医疗中的应用,例：,CT,技术的应用,CT,是一种医学影像诊断技术，其原理是用射线透射人体，然后用检测器测定透射后的放射量。通过计算机处理，重建出人体断层图像并作出诊断，这是,数学的图像重建原理,在医学上的成功运用。,（三）数学在语言中的应用,数学在语言学中的运用,例：红学界的争论,文学中红楼梦共,120,回，后,40,回出自谁手？对名词、动词、形容词、副词、介词等,统计用词的相关量,，认为出自曹雪芹之手。,例：作者是谁？让数学来说话,！,1964,年，美国统计学家摩斯泰勒和瑕莱斯考证了,12,篇署名“,联邦主义者,”的文章作者，可能的作者是,两个人,，一个是,美国开国政治家汉密尔顿,，,另一位是美国第四任总统麦迪逊。,究竟是哪一位呢？统计学家在进行分析时发现汉密尔顿和麦迪逊在已有著作中的平均句长几乎完全相同。这使得这一能反映写作风格特征的数据此时失效了。,统计学家转而从,用词习惯,上来找出这两位作者的有区别性的风格特征，而且终于找到了两位作者在虚词的使用上有明显的不同。,汉密尔顿他已有的,18,篇文章中，有,14,篇使用了“,enough”,一词；而麦迪逊在他的,14,篇文章中根本未使用“,enough”,一词。,汉密尔顿喜欢用,“,while,”,，而麦迪逊总是用,“,whilst,”,。汉密尔顿喜欢用“,upon”,，而麦迪逊很少用。,然后，再把两位可能的作者的上述风格特征指标，与未知的,12,篇署名“联邦主义者”的文章中表现出来的,相应的风格特征,进行比较。,结果发现那位署名“联邦主义者”的作者就是美国第四任总统,麦迪逊。,例：,下列式子中的汉字表示不同的数目,(0,，,1,，,29),，试找出汉字所代表的数字，使算式成立，年年,岁岁,=,花相似，岁岁,年年,=,人,不同,。,分析：从第一式观察，这两位数之积等于三位数，并且年、岁,1,，因而,(,年、岁,),只有,(2,，,3),，,(2,，,4),，,(3,，,2),，,(4,，,2),四种可能。,第二次实验又可知岁岁年年，因此实验范围为,(3,，,2),，,(4,，,2),。若年,=3,，岁,=2,，,3322=726,花,=7,，相,=2,，似,=6,，相,=,岁，不符合。若年,=4,，岁,=2,，则,4422=968,花,=9,，相,=6,，似,=8,，,2244=1 2=,人 不同，人不同只能取,0,，,1,，,3,，,5,，,7,，不同为两位数，人为一位数，且不同为人的两倍，人不能为,0,，,1,，,3,，只有两种可能，人,=5,，不,=1,，同,=0,。（思维熏陶）,（四）数学在各学科中的应用,汉语言、音乐、历史、地理、思想政治、体育、英语、舞蹈、美术、计算机、经济学,2.2,数学思想的六次重大突破,从,算术,到,代数,从,常量数学,到,变量数学,从,综合几何,到,几何代数化,从,必然数学,到,或然数学,从,明晰数学,到,模糊数学,从,手工证明,到,机器证明,一、从算术到代数,例：鸡兔同笼问题,鸡兔共有头,18,只，足,60,只，问鸡兔各有多少只？,解,1,：假设,18,只全为兔，有,72,只足，多出,12,只足，多假设了,6,只兔，因此有兔,12,只，鸡,6,只。,解,2,：金鸡独立，兔后足站立，着地足数为,30,，足与头,18,差,12,，兔为,12,只。,解,3,：兔,4,足，鸡,2,足，不公平。鸡有,2,只翅膀。翅膀也算足共,72,。有,12,只翅膀，,6,只鸡,有两种思维方法：,算术方法,：尝试，调整、穷举，列表,假设，推理。,代数方法,：分析问题中的量，确定等量关 系，设未知数，列方程（不同方式），解方程。,问题：一支铅笔,4,元，一支钢笔,7,元，共有,46,元买,10,支笔，应如何购买？,算术方法（一）,尝试（猜测）,调整,有的学生,尝试,：,买,4,支铅笔,6,支钢笔，共需要,58,元。,调整,：,只有,46,元，不足，只能少买一些钢笔；买,1,支钢笔,9,支铅笔，可否？需,43,元。,再调整,：,自己有,46,元，还可多买钢笔；买,2,支钢笔,8,支铅笔，恰为,46,元。,代数方法,算术方法,：,不允许未知数参与运算（未已不平等,-,类似种族歧视）,基本特征：算,数（加,减、乘、除）,基本特征：用“术”,算（,有规律地算,）,基本特征：不同的算法,不同的计算途径或程序,基本特征：,解决一个一个的具体问题,通过“术”和“算”解决的问题是算术问题。,通过“术”和“算”体现,逻辑思维,演绎,。,代数方法特征：,分析规律,表示规律,解决问题,代数方法：,未知数参与代数运算（地位平等）,基本特征：,用字母代替数,基本特征：,用字母表示规律,量之间的相等关系、不等关系、函数关系,基本特征：通过字母的运算和运算规律,解决问题,基本特征：不同的算法,不同的计算途径或程序,基本特征,：,一类一类地解决问题,代数方法,通过字母的运算和运算规律解决的问题是代数问题。,通过运算和运算规律体现逻辑思维,演绎,算术方法与代数方法,共性：,通过“算”和“算律”解决问题,通过“算”和“算律”体现数学的逻辑思维,不同：,算术,：,“算数”,代数,：“,算字母”,算术,：,解决具体问题,代数：,解决一类问题,算术方法解法多变，易培养学生的兴趣，比冷冰冰第设,x,列方程有人情味。过早在小学引入方程，有时易使学生思维简单化甚至僵化。,练习：小明第一天读了全书的,1/4,又,4,页，第二天读了余下的,1/4,又,4,页，还剩,20,页，这本书多少页？,一只船从甲地到乙地，往返共用,2,小时，回来时是顺水，比逆水每小时多行,8,千米，第二小时比第一小时多行,6,千米，甲乙相距多少千米？,兄弟二人各有人民币若干元，哥比弟多,50,元，若哥把自己的 给弟，弟又把原来自己的 给哥，则弟比哥多,10,元，哥弟原来各有多少元？,一辆汽车从甲地到乙地，若把车速提高到原速的,1.2,倍,可比原定时间提前,1,小时到达,;,若原速行驶,120,千米后,再将速度提高到原速的,1.25,倍,则可提前,40,分钟到达,甲乙两地相距多少千米？,直观想象线段图、方形图,如何看待算术和代数方法,?,必要的,思维经历、思维方式、思维方法,想象、推理、空间感知的作用,公交车和地铁的不同感受。,代数解法有一定规律,.,例：欧拉的分遗嘱问题,一位父亲临终时让他的几个孩子按如下方式分遗产：老大,100,克朗和剩下的,1/10,，老二,200,克朗和剩下钱的,1/10,，老三拿,300,克朗和剩下的,1/10,，老四拿,400,克朗和剩下的,1/10,，依次类推，分完后发现这种方法好极了，因为每个孩子分的钱相等，问有几个孩子？每个分多少钱？,代数运算具有较大的普遍性。,代数的产生极大地拓宽了数学的应用范围。许多算术无能为力的问题在代数中轻而易举。,代数学的产生对整个数学发展产生了深远的影响，许多重大发现都与代数的思想方法有关。,二次方程,-,虚数，五次方程,-,群论,代数应用于几何,-,解析几何。,文词代数,简字代数,符号代数,二、从综合几何到几何代数化,1.,几何代数化思想产生的背景,综合几何的产生背景,几何、代数研究方法各自的优势和不足,几何：,严谨的推理方法、图形直观、解题技巧,（正方形的问题）,代数：,符号抽象、解题方法一般化、有一定的规律,数学家,韦达、,法国哲学家,笛卡尔,（蜘蛛网）,法国数学家,费尔马,解析几何的基本思想,2.,几何代数化的意义,（,1,）把几何学推向新的阶段,:,定性,定量、静态,动态,（垂直,斜率）,（,2,）为代数学的研究提供了新的工具,构造图形解不等式问题、三角函数值,直观模型和解释,例求,15,的三角函数值,（,3,）为,微积分,的创立准备了必要条件,变数的引入,曲线、轨迹、变量,变数引入数学为微积分的创立奠定了基础，解析几何的产生可看做是微积分创立的前奏。,恩格斯曾高度评价：数学中的转折点是笛卡尔的变数，有了变数,运动,进入数学，,辩证法,进入数学，有了,变数微分和积分,立刻成为必要。,（,4,）为数学的,机械化证明,提供了重要启示,推理程序机械化,定理机械化证明的方法论基础是利用代数方法把推理程序机械化，借助计算机完成，根源可追溯到几何代数化。,（,5,）对数学研究从,方法论上,予以启示,点与数对对应、曲线与方程对应、,形数结合的思想：,微分几何、空间解几、向量的思想（直线与平面垂直的判定）,三、从常量数学到变量数学,1.,变量数学产生的历史背景,16,、,17,世纪社会、生产和自然科学向数学提出了一系列与运动变化有关的新问题（航海中的非匀速、切线、面积等）,刘徽的割圆术（,割之弥细、失之弥少）,一尺之锤，日取其半，万世不竭。,2.,变量数学的形成及意义,经历两大步骤：,解析几何,的产生,-,直接前提,微积分的,产生,-,变量数学的主要标志,英国数学家牛顿：,运动学角度,1665,年,5,月,20,日,微积分的诞生之日,连续变化的量,流量,（,fluent),无限小的时间间隔,瞬,（,moment,）,流量在无限小的时间内的变化率,流数,给定流量求流数,导数,给定流数求流量,积分,符号：、,德国数学家莱布尼兹：,几何学角度,切线、面积问题,用,ydy,来代替求和，,表示一个总和，,d,表示差额。,在科学史上牛顿、,莱布尼兹各自的拥护者们为微积分的最先发明权进行过一场不愉快的争论。,牛顿日记：和莱布尼兹通信中，求极值、切线等的方法，反过来没告诉莱布尼兹。莱说他也想到了一种方法，并告诉了他。,他的方法除了定义、符号、公式和产生数的想法不一样外，几乎没有多大差异。,莱布尼兹花费心思选择最好的符号，最大限度地减少人的思维劳动。他曾说过要发明就要挑选恰当的符号，要做到这一点，就要用包含少量因素的符号来表达和比较忠实地描绘事物的本质，从而最大限度地减少人的思维劳动。,莱布尼兹的微积分符号优于牛顿的流数术符号，简洁易懂便于使用。,符号的自然性问题,英国数学袭用流数术符号，有一段时期落后于欧洲大陆。,19,世纪英国数学家巴伯奇等人成立了一个数学分析学会，反对点主义、拥护,d,主义，可见在英国使用符号,d,竟是一场奋斗的结果,。,四、从必然数学到或然数学,1.,或然数学的现实基础,必然数学：,描述研究必然现象及其关系的数学，条件和结论之间存在必然联系。,或然数学：,描述研究或然现象及其关系的数学，条件和结论之间无必然联系。,掷骰子、硬币、阴天和下雨之间,同类或然现象大量重复出现时呈现出的集体规律性,统计规律性：或然现象的现实基础。,2.,或然数学的产生和发展,概率论,或然数学产生的标志,赌博中的学问：数学家卡当,论赌博,研究或然现象的数量规律成为当时的重要研究课题。,保险事业的发展、射击、产品检验,蒲丰著：,或然算术试验,蒲丰投针试验,约会问题,例：张三和李四相约晚上,7-8,时在码头会面，商定先到者等候,15,分钟，若仍然不见对方方可离去，假如二人抵达时间在,7,点到,8,点之间，问二人会面的可能性有多大,7/16,门与汽车问题,例：有三扇可供选择的门，其中,一扇门后面是辆汽车，另两扇门后是空的。,主持人首先让你任意挑选。在你选定后比如选的,1,号门，,主持人将未选的两扇门中的一扇空门（,比如是,3,号门,）打开，然后问你，为了有更大的机会选中汽车，你是坚持原来的选择，还是愿意换另一扇门,？（即弃,1,选,2,）,试验,100,次换,40,次，猜中,24,次；不换,60,次猜中,23,次。不换概率、换的概率,五、从,明晰数学到模糊数学,1.,模糊数学产生的背景,（,1,）数学适应现代科学技术需要的产物。,所有大于,1,的实数,所有比,1,大得多的实数、高、美丽、好、老,明晰数学：,界限分明、范围确定,模糊数学：,在量上无明晰的界限,对“模糊”数学方法研究的必要性,（,2,）电子计算机的发展为模糊数学的诞生准备了摇篮,电子计算机模拟人脑的思维来处理各种复杂问题。人脑的思维活动的高度灵活性源于人类的思维带有模糊的特色，逻辑和,非逻辑思维同时其作用。,认定长大胡子的人并不需要知道其有几根胡子。,非逻辑思维无法用明晰数学刻划，,因此以,二值逻辑为理论基础的计算机,无法真实模拟人脑的思维活动，,自然不具备人脑处理复杂问题的能力，出现了智能发展障碍。,看电视把图像和声音调得清楚一些，只要稍微调机关即可，若让计算机来完成和编程会遇到语言上的困难,，“满意”、“清楚”,是模糊概念，不能被普通的程序语言接纳，这样容易的事计算机却难以办到，对人工智能的发展无疑是一极大的障碍。,要你在某日上午到校门口去接一个,“大胡子、高个子、长头发、戴宽边黑色眼镜的中年男人”，,利用计算机需将年龄、身高、胡子、头发的准确长度和根数、眼镜的边宽厘米数、黑色的程度一一输入计算机才能找到此人。若此人中途头发掉了,2,根就找不到。,为把人的自然语言算法化并编入程序，让计算机能描述和处理具有模糊量的事物，就,必须建立起一种能够描述和处理模糊数量及其关系的数学理论，这是模糊数学产生的另一背景。,计算机模拟人脑时，精确这个长处反而成了短处，具有一定的模糊性是需要的，从而让计算机吸取人脑识别与判决的优点，高效率地处理模糊系统。,模糊数学的创立者是美国加利福尼亚大学的扎德教授，,为改进和提高计算机的的功能，他认真研究了传统数学的基础,集合论，认为要从根本上解决计算机的发展和数学工具局限性的矛盾，就必须建立起新的集合论。,1965,年他发表的,模糊集合,的论文标志着模糊数学的诞生。,2.,模糊数学的思想方法,模糊数学是用数学方法研究和处理具有“模糊性现象”的数学。,扎德教授提出的描述模糊事物的新的数学方法，即是把隶属关系进一步数量化，推广了经典集合论的概念。,例,“所有大于,1,的实数”，,特征函数只取,0,，,1,两值。,而“所有比,1,大的多的实数”,使元素与几何之间非,0,则,1,的绝对隶属关系变为可取,0,到,1,之间的任意实数的相对隶属关系。,模糊集合（,Fuzzy sets,）,无明确的边界，只能说某个研究对象属于某个集合的程度，用,隶属函数,表示模糊集合。,隶属函数：,集合,X,到,0,1,上的映射，,隶属度：,任意,x,X,在该映射下对应的实数。,例：所有比,1,大得多的实数,u(x)=0,，,x,1,x,1,例,：“年轻”,和“,年老,”是两模糊概念,隶属函数为,Y(x)=,O(x)=,60,岁的人属于年老集合的程度为,0.8,，还有,0.2,非老的因素。,80,岁的人隶属于年老集合的程度为,0.97.,35,岁的人隶属于年轻集合的程度为,0.2,u(x)=1,或,0,表示,x,完全属于或完全不属于该集合。,普通集合可看作模糊集合的特例，模糊集合是普通集合的自然推广,。,模糊数学作为新兴的数学学科，是在现代科技的迫切需要下应运而生的，其研究无论是基础理论还是实际应用都得到迅速发展。,目前在综合评判、规划、识别、决策、控制等理论方面迅速发展。,已应用到林业、生物、医学、食品工业、酒、成绩评定、人工智能等方面。,六、从,手工证明到机器证明,1.,机器证明的必要性和可能性,机器证明是,20,世纪,50,年代兴起的数学领域，也是现代人工智能发展的一个方向。定理的机器证明既是计算机和人工智能发展的产物，也是数学自身发展的需要。,（,1,）现代数学的发展迫切需要把数学研究者从繁难的逻辑推演中解放出来，以从事更富有创造性的劳动,命题证明需要技巧、灵感、洞察力、富有创造力的思维活动,（歌德巴赫猜想）,（,2,）机器证明的必要性还表现在数学中存在大量传统的、单纯人脑支配、手工操作的研究方法难以揍效的问题。,冗长、工作量巨大,四色猜想的证明：,对于平面或球面上的任何地图，,用四种颜色就可使相邻的国家和地区分开，,许多数学家做了尝试未能解决。直到,1976,年借助电子计算机才解决了这道百年难题。,（,3,）机器证明的可能性,认识论角度,创造性思维活动和非创造性思维活动,把创造性工作转化为非创造性工作后，就有可能把定理的证明交给计算机完成。,例阿达姆斯的幻六角形问题（,断断续续,52,年，精神可佳，但不值得提倡,）,加拿大一位学习计算机的大二学生在电脑上用,17,秒的时间解决了阿达姆斯,52,年来解决的问题。,2.,机器证明的思想及其发展,吴文俊著书,几何定理机器证明的基本原理,对可能性和思想做了深入研究。,机器证明的思想,（,1,）,从几何的公理系统出发，引进数系统与坐标系统，使几何定理的证明转化为代数问题,（几何代数化与坐标化）,（,2,）,对几何定理题设部分的代数关系进行整理，依据确定步骤验证结论部分的代数关系可否从假设部分已整理成序的代数关系中推出。（,几何的机械化）,（,3,）,依据步骤编程，并在计算机上实施，以得出定理是否成立的最后结论。,机器证明思想的发展,思想渊源：几何代数化。,1899,年,希尔伯特的,几何基础,奠基性突破：,美国卡内基大学,兰德公司，,1956,年成功证明了罗素和怀特海著的,数学原理,中的,52,条定理。该程序应用心理学方法将人脑所遵循的一般原则、经常采用的策略、技巧等方法编进程序，让计算机具有探索解题途径的能力,启发式程序,1959,年美籍华人,王浩教授用,95,分钟时间，在机器上证明了,数学原理,中的,350,条定理。,1965,年美国数学家,鲁滨逊在改进算法程序、提高机器证明效率方面提出归结原理，具有重要的方法论意义。,70,年代美国数学家,阿佩尔和黑肯借助计算机成功解决了“四色猜想”的证明问题。,1977,年我国数学家,吴文俊证明了初等几何中的一类定理的证明可以机械化。,1980,年还借助一台微机发现了两个几何学的新定理。,我国数学家,张景中（广州大学）著的,平面几何新路,，以面积为核心建立了几何学新体系，其方法在机器证明中得到应用，,使西方学者,30,多年来未获得显著进展的用机器生成可读证明的难题得到突破。,第,2,章,数学,及其思想的应用,价值,2.1,数学的实际应用价值,2.2,数学思想的应用价值：思维价值,数学思想的六次重大突破,从,算术,到,代数,从,常量数学,到,变量数学,从,综合几何,到,几何代数化,从,必然数学,到,或然数学,从,明晰数学,到,模糊数学,从,手工证明,到,机器证明,本章回顾,